Графический способ решения задач
методическая разработка по алгебре (8 класс) по теме

МОУ «Чулковская СОШ№20»

 учитель математики

 Топкаева Галина Геннадьевна

Введение

Я выбрала эту тему, так как считаю её интересной. Урок рекомендую провести в 8 классе после изучения темы подобие треугольников. Текстовые задачи в школе чаще всего решаются алгебраически. Поэтому предлагаю перед этим уроком дать детям домашнее задание – решить 2 или 3 задачи (здесь приведены 3 задачи), которые они решат алгебраически, рассмотреть решение этих задач на уроке на доске, если есть возможность, сохранить эти решения. При изучении темы эти же задачи решить графически. Хотелось бы, чтобы учащиеся видели одновременно оба способа решения задачи и смогли оценить преимущества и трудности каждого способа. В презентации показан графический способ решения некоторых задач. Особенно интересным является этот метод для сильных учащихся, тем,  кто в итоговой аттестации в 9 классе собирается решить задачи на 6 баллов (несколько задач взяты из сборника заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе). В том случае, если класс слабый, можно предложить наиболее способным ученикам эту тему  как проектную работу. Более сложные задачи включены в раздел «Задачи для внеклассной работы». Приведены решения этих задач. Несколько дополнительных задач даны без решения.

Тема урока:  Применение графических методов при решении текстовых задач.

Цель урока:

1. Рассмотреть один из методов решения алгебраических задач – графически..

2. Повторить признаки подобия треугольников и их применения при решении задач.

Ход урока:

І. Проверка дом задания (ученики оформляют и показывают решения)

Задача 1.

Из двух городов навстречу друг другу  вышли одновременно  два курьера. После встречи один был в пути  16 часов, а другой - 9 часов. Сколько времени был в пути каждый?

Решение:  

Пусть скорость первого х км/ч , а скорость второго у км/ч, путь до встречиS1, а после встречи S2, а время до встречи t. Составим таблицу и рисунок.

A_________xt_______________C_____yt_____________B

A________9y_______________C_____16x_____________B

Получаем систему из двух уравнений с тремя неизвестными:

9y=xt,

yt=16x.  

   Откуда получаем,что9/t=t/16 и t2=144 и t=12.

12+16=28 (ч.) и 12+9=21(ч.)

Ответ: 28 ч. и 28 ч.

Задача 2.

 Два автомобиля выезжают одновременно навстречу друг другу из двух пунктов A и B. После встречи одному из них приходится быть в пути 2часа, а другому 9/8 часа. Найти скорость автомобилей, если между пунктами A и B 210 км?

Решение:

Пусть скорости автомобилей х км/ч и у км/ч.

A_____2x__________C______9y/8___________B     2x/y=9y/8x

A____9y/8___________C_______2x__________B      9y/8+2x=210

Получаем систему:

2x + (9/8)y = 210 ,

9y/8x=2x/y.

Решая эту систему, получим у = 80, х = 60, т.е. скорость I автомобиля 60 км/ч, II автомобиля 80км/ч

Ответ:60км/ч, 80км/ч.

Задача 3.

 Теплоход от Нижнего Новгорода до Астрахани идёт 5 суток, а от Астрахани до Нижнего Новгорода 7 суток. Сколько дней будет плыть плот от Нижнего Новгорода до Астрахани?

Решение:

1 способ (алгебраический)

Пусть x км/ч – скорость теплохода по течению, у км/ч – скорость теплохода против течения.

5x = 7y; y /x= 5/7

v реки = (x – y)/2, t = S/vреки = 5X/0.5(х-у) = 10х /(х-у) = 10 /(1-у/х ) = 10/(1-5/7)=10: 2/7 =35

Ответ: 35 дней.

2 способ (арифметический)

1) 1 : 5 = 1/5 (реки) в день проходит теплоход по течению

2) 1 : 7 = 1/7 (реки) в день проходит теплоход против течения

3) (1/5 – 1/7) : 2 = 2/35 : 2 = 1/35 (реки) в день – скорость теплохода, т.е. скорость реки.

4) 1 : 1/35 = 35 (дней)

Ответ: 35 дней.

ІІ. Изучение материала

Задачи на движение и на работу можно решать различными способами: арифметическим, алгебраическим, графическим способом. Сегодня мы рассмотрим геометрический способ с использованием графического. При решении задач на равномерное движение используют графики линейной функции. По оси абсцисс обычно откладывают время, а по оси ординат – расстояние. В таком случае абсцисса  любой точки графика движения указывает момент времени, а ордината той же точки – в каком месте пути в этот момент находится тело. Если на одном чертеже построены 2 графика движения, причём эти графики пересекаются, то абсцисса точки пересечения – это время встречи, а ордината – место встречи.. Часто этот способ решения является более рациональным, простым.

Задача 1.( из домашнего задания)

Из двух городов навстречу друг другу  вышли одновременно  два курьера. После встречи один был в пути  16 часов, а другой - 9 часов. Сколько времени был в пути каждый?

s , км

                      х                    16                               C

       В          

                                  O

                                                              D

        А                                                               t, ч.          

                  х                             9

Обозначим время движения каждого курьера  до встречи через х.

 Из подобия треугольников имеем

  х/16 = 9/х;  

  х2 = 144;

  х = 12

  12 ч. – время движения каждого до встречи.

  12 + 16 = 28 ч.- время движения первого.

   12 + 9 = 21 ч. – время движения второго.

                       Ответ: 21 ч., 28 ч

Задача 2: (из домашнего задания) – разобрать у доски.

Два автомобиля выезжают одновременно навстречу друг другу из двух пунктов A и B. После встречи одному из них приходится быть в пути 2часа, а другому 9/8 часа. Найти скорость автомобилей, если между пунктами A и B 210 км?

Построим графики движения автомобилей:

BF = AK   KD = 9/8    FC = 2

AOK   COF: (1)~

DKO   BFO:  (2)

Из (1) и (2) следует:; Пусть AK = BF = X,

X1 =  - не может быть X2 = 3/2 = 1,5

AK = 1,5; AD = 1,5 + 1,125 = 2,625 = t2

v2= 210 : 2,625 = 80 (км/ч)

BF = 1,5; BC = 1,5 + 2 = 3,5 (ч) = t1, v1 = 210 : 3,5 = 60 (км/ч).

Ответ: 60 км/ч, 80 км/ч.

Задача 3: (решаем с обсуждением) Теплоход из Нижнего Новгорода до Астрахани идет 5 суток, а от Астрахани до Нижнего Новгорода 7 суток. Сколько дней будет плыть плот от Нижнего Новгорода до Астрахани?

Решение:

ГА1 = 5 (дней)   А1С = 7 (дней)

Обозначим А1В = t  время движения теплохода из А до встречи с плотом, v-собственная скорость лодки и vт – скорость течения реки.

АГ = ВК + КМ   ВК=(5+ t) vт  ,  МК= t(v- vт),  АГ=5(v+ vт)  

5(v+ vт)  =(5+ t) vт  + t(v- vт)

5v+5vт=5vт+t vт+tv- t vт

t=5

Т.е. теплоход, двигаясь из А, встретит плот через 5 дней.

Получаем ГВ=10, ВС=7-5=2, DМ=5, МF=y

1. ГКВ FKM;    СВК   DМК

 y = 25 = MF.

AF = AM + MF = 10 + 25 = 35.

Ответ: 35 суток.

Задача 4:  – самостоятельно с последующей проверкой.

На одном из двух станков обрабатывают партию деталей на 3 дня дольше, чем на другом. Сколько дней продолжалась бы обработка этой партии деталей каждым станком в отдельности, если известно, что при совместной работе на этих станках в 3 раза большая партия была обработана за 20 дней?

Решение:

Пусть СК = FN = x, x>0

1. AOF  MOC,

1. OFN  OCB,

Значит, ;  ; x2+ 3x =400/9;

9x2+27x-400=0.

Решая уравнение, получим: х = 16/3.

Время работы второго станка t2= AF + FN =  (дней); t1= 12 + 3 = 15 (дней)

Ответ: за 15 дней, 12 дней.

Задача 4 Дополнительно (для сильных учащихся)

Шел человек по берегу реки против течения со скоростью в полтора раза большей, чем скорость течения и держал в руках палку и шляпу. В некоторый момент он бросил в ручей шляпу, перепутав ее с палкой, и продолжал идти против течения ручья с той же скоростью. Через некоторое время он заметил ошибку, бросил палку и побежал назад со скоростью, вдвое большей, чем шел ранее. Догнав плывущую шляпу, он мгновенно выудил ее, повернулся и пошел против течения с первоначальной скоростью. Через 10 минут он встретил плывущую по ручью палку. На сколько минут раньше он пришел бы домой, если бы не перепутал палку со шляпой?

Решение. Построим графики движения человека, палки и шляпы.

________________ движение человека

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ движение шляпы и палки

в момент В - человек бросил шляпу

в момент С - бросил палку и побежал назад

в момент D - выудил шляпу

в момент Е – встретил палку

t- потерянное время СD+DF

Uчел : Uручья = PB/AB : PB/BD = 3/2

Uчел : U'чел =KC/AC: KC/CD = CD/AC = 1/2

DE = BC=10

Найдем CF. Пусть CD = X, тогда DF = AC=2X

AB=2X-10, BD=X+10.

(X+10)/(2X-10) = 3 /2 , т.е. X=12,5 мин.

CF=CD+DF= X+2X = 37,5 мин.

Ответ: потерял 37,5 мин.

Подведение итогов урока

Задание на дом: Задача 1.

Из двух пунктов А и В , расстояние между которыми 6 км, одновременно вышли навстречу друг другу два пешехода. После их встречи пешеход, шедший из А, пришел в В через 24 мин, а шедший из В пришел в А через 54 мин. На каком расстоянии от пункта А встретились пешеходы?

Дополнительные задачи.

Задача 1.

Пешеход и велосипедист отправляются одновременно навстречу друг другу из городов А и В, расстояние между которыми 40 км, и встречаются через 2 часа после отправления. Затем они продолжают путь, причем велосипедист прибывает в А на 7 часов 30 минут раньше, чем пешеход в B. Найти скорости пешехода и велосипедиста, пологая, что они все время оставались постоянными.

Задача 2.

Чан наполняется двумя кранами. Если открыть первый кран, то чан наполнится за 110 минут, а через один второй кран за 132 минуты. За сколько минут наполнится чан, если открыть оба крана одновременно?

Задача 3.

Из двух пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выходят два туриста. При встрече оказывается, что турист, вышедший из А, прошел на 2 километра больше, чем второй турист. Продолжая движение с той же скоростью, первый турист прибывает в В через 1 час 36 минут, а второй в А через 2 часа 30 минут после встречи. Найдите расстояние АВ и скорость каждого туриста.

Задача 4.

В кинозале имеются две двери, широкая и узкая. Через обе двери после сеанса зрители выходят из зала в течение 3 минут 45 секунд. Если зрителей выпускать через одну широкую дверь, то выход из зала займет времени на 4 минуты меньше, чем в том случае, если зрителей выпускать только через одну узкую дверь. Сколько времени требуется для выхода зрителей из кинозала через каждую дверь в отдельности?

Задача 5.

Библиотеке нужно переплести 1800 книг. Три мастерские брались каждая самостоятельно выполнить заказ: первая в 20 дней, вторая 30 дней и третья в 60 дней. Чтобы закончить работу скорее, решили передать заказ сразу трем мастерским. Во сколько дней закончат работу мастерские, работая одновременно?

Задача 6.

Из А в В со скоростью 4 км/ч вышел турист. Спустя час вслед за ним из А вышел второй турист, проходивший в час 5 километров, а еще через час из А выехал велосипедист, который, обогнав одного туриста, через 10 минут обогнал и другого. Найдите скорость велосипедиста.

Задача 7.

Из пунктов А и В,  расстояние между которыми 15 км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста. После их встречи велосипедист, выехавший из А, прибыл в В через 20 мин, а  выехавший из В приехал в А через 45 мин. На каком расстоянии от пункта В велосипедисты  встретились?

Литература:

1.Энциклопедический словарь юного математика. М., Педагогика. 1985

2.Сканави Сборник задач для поступающих во ВТУЗы.- М., Наука, 1988г.

3.Геометрия помогает решить задачу. Журнал. “Математика в школе”, 1992, № 2

4. Газета «Математика».Издательский дом  «Первое сентября». №14 2005г.

5.Гузев В.А. и др. «Внеклассная работа по математике в 6-8 классах», М., «Просвещение»,1977.

6.Кузнецова Л.В. и др. «Алгебра: сб. заданий для подгот. к гос. итоговой аттестации в 9 кл.», М.:Просвещение, 2010.