Система уроков по теме "Решение показательных уравнений"
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

    Тип урока: комбинированный, состоит из 5 учебно-воспитательных момент: организационный момент, актуализация знаний учащихся, подготовка к изучению нового материала, изучение и закрепление нового материала, итог урока.

Цели урока:

1. обобщить теоретические знания, используемые при решении показательных  уравнений;
2. организовать работу учащихся на уровне, соответствующем уровню уже сформированных знаний.
3. воспитывать нестандартно, логически мыслящую личность.

Учебный  методический комплект:

1. «Алгебра и начала анализа» учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений под редакцией А.Н.Колмогорова.

2.М.Шабунин « Уравнения» Библиотечка «Первого сентября» Математика№1/20005

3.Ю.Садовничий «Решаем конкурсные задачи» Математика 3/2008.Приложение к газете «Первого сентября»

Оборудование:

1. Мультимедийная установка. На уроке используется презентация «Решение показательных уравнений»:

1. при повторении теоретического материала на экране высвечиваются повторяемые формулы.

2.Компьюторы в сетевом взаимодействии с учебным электронным изданием «Математика 5-11»

        1 этап урока – организационный

        Учитель сообщает учащимся тему урока и для каждой группы определяет основную  цель:

1. Для 1-й группы – развитие умения решать показательные уравнения на базовом уровне;
2. Для 2-й группы – закрепить и развить умение решать показательные уравнения базового и повышенного уровня сложности;
3. Для 3-й группы – закрепить умение решать показательные уравнения повышенного уровня сложности.

2 этап урока – актуализация знаний, умений и навыков по теме «Показательная функция и её свойства»

Учитель. Какую функцию называют показательной?

Определение: Функцию вида у=ах, где а>0, а≠ 1 называют показательной.

Учитель. Изобразить график функции у=а х и перечислите основные свойства показательной  функции.

Один учащийся готовит ответ на доске (называют область определения, множество значений, характер монотонности в зависимости от значения а, точку пересечения графика функции y = а х  с осью Оу.)

Во время подготовки остальные учащиеся выполняют устную работу.

Учитель. Перечислите основные свойства степеней.

Комментарий. Для повторения основных свойств степеней используется мультимедийная презентация. На экране последовательно появляются левые части формул, и после ответа учащегося к ним присоединяется правая часть. Если учащиеся не называют какой-либо свойство, то его напоминает учитель.

3 этап урока –  повторение теоретического материала по теме «Равносильные уравнения. Решение показательных уравнений»

Учитель. Прежде чем решать показательные уравнения, необходимо вспомнить теоретический материал. Дайте определение равносильных уравнений.

Определение 1 . Два уравнения с одной переменной f(x)=0 и g(x)=0 называются равносильными, если множество их корней совпадают.

Иными словами, два уравнения равносильны, если они имеют одинаковые корни (например, х=2 и х2-2х+4=0) или оба уравнения не имеют корней (например,   5/(x-3) =0 и х2-5х+10=0)                                                                                                                                            

Определение 2. Если каждый корень уравнения f(x)=0 является в то же время корнем уравнения g(x)=0, то второе уравнение называют следствием первого.

Например, уравнение (х-2)(х+4) = 0 является следствием уравнения х2+2х-8 =0, а уравнение (х-2) =0 не является следствием уравнения (х+5)(х-2)=(х+5)

Учитель. Что является  областью допустимых значений уравнения.

Определение 4. Областью допустимого значения (ОДЗ) уравнения f(x)=g(x) называют множество тех значений переменной х, при котором одновременно имеют смысл выражения f(x) и g(x)    

Учащиеся при помощи учителя приходят к выводу:

      Если при решении некоторого уравнения мы всё время переходим к

равносильному уравнению или осуществляем преобразование  и отбор корней по ходу решения с учётом ОДЗ, то в итоге получим корни исходного уравнения, которые не нуждаются в проверке;

       Если же при решении уравнения мы на каком-либо шаге получаем

уравнение-следствие и/или осуществляем преобразование без учёта ОДЗ, то в конце решения необходимо сделать проверку полученных корней.

Учитель. Какое уравнение называется простейшим показательным уравнением?

(простейшее показательное уравнение  - это уравнение вида ах = в, где а>o и а≠1.Оно имеет единственное решение х = log a в .]

(Уравнение записывается на доске)

Учитель. Приведите примеры простейшего показательного уравнения и запишите его решение.

 Один из учащихся делает записи на доске.

Учитель напоминает, что в качестве аргумента может выступать функциям, тогда уравнение a f(x)=a g(x) , если а>o и а≠1 равносильно уравнению f(x)=g(x) (Уравнение записывается на доске).

4 этап урока – работа в разноуровневых группах.

Со всеми учащимися класса рассматриваются решения уравнений

1. Решить уравнение 4х=2х+1+8.

(Пусть 2х=у тогда, уравнение 4х=2х+1+8<=>у2-2у-8=0 при у>0<=> у=4=> х=2)

2. Решить уравнение 3х+2-5*3х=36.

(Пусть 3х=у тогда, уравнение 3х+2-5*3х=36 <=> 9у-5у=36 <=> у=9 =>х=2.)

Учащиеся 1и 2 групп приступают к выполнению заданий на компьютере.

Задание 1группы.

Задание 2 группы.

Учащимися 3 группы с учителем рассматривается решение уравнения x5/4-2 cos 3x=x1/4.

(Рассмотрим уравнение вида (f(x))g(x)= (f(x))h(x) <=> f(x ) =1 или g(x)= h(x) при f(x ) >0,тогда уравнение x5/4-2 cos 3x=x1/4 <=> x  =1 или 5/4-2 cos 3x =1/4 при х >0 =>x1=1, x2=±п/9+2пn/3,n є N, х3=п/9, если n=0.)

5 этап урока - подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию.

Учитель ещё раз обращает внимание на те типы уравнений и теоретические факты, которые вспоминали на уроке, рекомендует выучить их. Отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся, при необходимости выставляет отметки.

Домашнее задание:№164(а, б),№165(в)-п.14.Задачи на повторение;189(г)- п.14.Задачи повышенной трудности.

        Тип урока: комбинированный, состоит из 5 учебно-воспитательных момент: организационный момент, проверка домашнего задания и подготовка к изучению нового материала, изучение и закрепление нового материала, поверка знаний в ходе самостоятельной работы, итог урока.

Цель урока: 

рассмотреть нестандартные методы решения показательных уравнений;

проверить знания учащихся входе самостоятельной работы;

развивать познавательный интерес учащихся к предмету через систему нестандартных задач.

Учебный  методический комплект:

1. «Алгебра и начала анализа» учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений под редакцией А.Н.Колмогорова.

2.Г.И.Ковалева, Е.В.Конкина «Функциональный метод решения  уравнений и неравенства» Библиотечка «Первого сентября» Математика№20

Оборудование:

1.Мультимедийная установка. На уроке используется презентация «Решение показательных уравнений»:

2. при повторении домашнего задания показывается образец решения
3. при работе по группам на слайде предлагается самостоятельная работа обучающего характера
4. при проверки знаний учащихся на слайде предлагается разноуровневая самостоятельная работа.

2.Компьюторы в сетевом взаимодействии с учебным электронным изданием «Математика 5-11»

1 этап урока – организационный

Перед началом урока учащиеся рассаживаются в соответствии с тремя уровнями подготовки.

Учитель сообщает учащимся тему урока, цель .

2 этап урока - проверка домашнего задания

Комментарий. Для проверки домашнего задания используется мультимедийная презентация.

3этап урока - работа в разноуровневых группах.

1 группа учащихся выполняет самостоятельную работу представленную на слайде.

2 и 3 группа учащихся рассматривают решение уравнения 3*4х-7*10х+2*25х=0.

Решение.

Проверка заданий выполненных 1 группой. Учащийся, выполнявшие задачи, комментируют свои решения, а остальные вносят, при необходимости, коррективы.

1группа выполняют задания на компьютере,

 2 группа получает задания на доске: а)4*3х+2+5*3x+1-63x=5 б)9x+4x+1.5=6x+1.

3 группа работает с учителем.

Учитель.

Одним из методов  решения уравнений и неравенств является функциональный, основанный на использование свойств функций. В отличие от графического метода, знание свойств функций позволяет находить точные корни уравнения (неравенства), при этом не требуется построения графика функций. Использование свойств функций способствует рационализации решений уравнений и неравенств.

Рассмотрим использование некоторых свойств функций при решении показательных уравнений.

Пример 1.(4/3)х=-2х2+6х-9

Решение. Область допустимых значений уравнения есть множество всех действительных чисел. Показательная функция f(x)=(4/3)x            принимает только положительные значения, а функция g(x)=-2x2+6x-9-только отрицательные значения. Множества значений этих функций не имеют общих элементов, и, следовательно, уравнение решений не имеет.

Рассмотрим  свойство монотонных функций, используемое  для установления характера монотонности функций и лежащие в основе утверждения об уравнениях.

Если функция f(x) возрастает (убывает) на промежутке Х и функция g(x) возрастает(убывает) на промежутке Х, то  функция h(x)= f(x) + g(x) возрастает(убывает) на промежутке Х(С- произвольная постоянная).

Пример 2. 3х+4х=5х.

Решение. Преобразуем: (3/4)x+(4/5)x=1. Левая часть уравнения является убывающей функцией. Следовательно, она может принимать значение 1 не более чем в одной точке. ( Если функция f(x) монотонна на промежутке Х, то уравнение f(x)=С имеет на промежутке Х не более одного корня) подбором находим, что х=2.

Обсуждение решений уравнений выполненных 2 группой, представленных на доске

На доске учащийся решали два уравнения: первоё – уравнение базового уровня сложности, второё – повышенного уровня сложности с развёрнутым ответом. Учащийся, выполнявшие задачи у доски, комментируют свои решения, а остальные вносят, при необходимости, коррективы.

4 этап - Разноуровневая самостоятельная работа

(предтставлена на слайде презентации)

5этап  - подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию.

  Учитель  обращает внимание на те типы уравнений и теоретические факты, которые рассматривали  на уроке, рекомендует запомнить их. Отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся, при необходимости выставляет отметки.

Домашнее задание:№164(г)№167(г) -п.14.Задачи на повторение;187(б)- п.14.Задачи повышенной трудности. Повторить алгоритм решения простейших показательных неравенств.