План-конспект урока на тему "Показательные уравнения"
методическая разработка на тему

ГБОУ РМ СПО (ССУЗ) «Зубово-Полянский педагогический колледж»

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

План-конспект урока по математике

Подготовила и провела: Оркина М.А., преподаватель математики

Зубова Поляна 2014

Тема урока: Показательные уравнения

Продолжительность: 45 минут

Цели урока:

Развивающие:

• развивать познавательный интерес к математике через содержание учебного материала; развивать логическое мышление, самостоятельную деятельность, умение правильно формулировать и излагать мысли.

Образовательные:

• познакомить студентов с определением показательного уравнения и основными методами решения показательных уравнений.

Воспитательные:

• воспитывать трудолюбие, аккуратность ведения записей, умение объективно оценивать результаты своей работы и работы товарища; воспитывать навыки самоконтроля и взаимоконтроля; прививать желание иметь глубокие знания по учебному предмету; воспитывать такие качества характера как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.

Тип урока: комбинированный.

Оборудование: мультимедийный комплекс, презентация, оценочные листы, листы для самостоятельной работы, карточки с домашним заданием.

Ход урока

1. Организационный момент.

Урок я хочу начать притчей: «Однажды молодой человек пришел к мудрецу: «Каждый день по пять раз я произношу фразу «Я принимаю радость в мою жизнь», но радости в моей жизни нет». Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил: «Назови, что ты выбираешь из них». «Ложку» - ответил юноша. «Произнеси это 5 раз»  «Я выбираю ложку» - послушно произнес юноша 5 раз.  «Вот видишь» - сказал мудрец, «повторяй хоть миллион раз в день, она не станет твоей. Надо…» Что же надо? Надо протянуть руку и взять ложку.

Вот и вам сегодня надо пополнить свои знания, чтобы потом уметь применять их на практике.

2.  Постановка цели и задач.  Слайд 2

Тема урока «Показательные уравнения». А эпиграфом к нашему уроку станут слова Станислава Коваля: «Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы». То есть, другими словами, можно сказать, что если вы будете уметь решать уравнения, то летнего экзамена по математике вам не стоит бояться.

 А какие вообще виды уравнений вы знаете? (Рациональные, тригонометрические, иррациональные, логарифмические).

И так как тема нашего урока «Показательные уравнения», то как вы думаете, чем мы сегодня будем заниматься на уроке и какие поставим цели? (Познакомиться с показательными уравнениями и способами их решения,  частично отработать навыки решения показательных уравнений).

У вас на столах лежат оценочные листы. По мере необходимости вы будет заносить в них баллы за верно выполненные задания, а в конце урока поставите себе оценку, исходя из набранного количества баллов.

3. Актуализация опорных знаний. Слайд 3

Устно:

1. Какая функция называется показательной? (Показательной функцией называется функция y=ax, где а – заданное число, a>0, a≠1)

2. Среди заданных функций указать те, которые являются показательными:

1. y=4         2) y=x          3) y=5x            4) y=x3

3. Какова область определения функции y=2x? (Множество всех действительных чисел)

4. Какова область значения функции y=0,2x? (Множество всех положительных чисел)

5. При каком условии показательная функция является возрастающей? (Показательная функция является возрастающей при a>1)

6. При каком условии показательная функция является убывающей? (Показательная функция является убывающей  при 0

4. Изложение нового материала. Слайд 4

Показательное уравнение – это уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени.

Начнём со следующего простого вопроса. Уравнение 3x=9 имеет очевидный корень x = 2. Имеются ли у этого уравнения другие корни?

Легко понять, что других корней нет, поскольку функция y = 3x является монотонно возрастающей. Каждое своё значение эта функция принимает ровно один раз. Следовательно, если отметить на оси ординат точку y = 9, то ей будет соответствовать единственная точка x = 2 на оси абсцисс:

На рисунке показан также единственный корень уравнения 3x = 4. Он уже не выражается целым числом и равен log3 4.

Вообще, рассмотрим простейшее показательное уравнение  Слайд 5

                                                    ax= b                                       (1)

при a > 0 и a ≠ 1. Показательная функция y = ax монотонна и принимает только положительные значения. Поэтому:

• при любом b > 0 уравнение (1) имеет единственный корень x = loga b;

• при b ≤ 0 уравнение (1) не имеет корней.

Слайд 6 Хочется процитировать слова великого математика Готфрида Лейбница: «Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть - и в последствии подтвердить это, – что, следуя этому методу мы достигнем цели».

Рассмотрим следующие основные методы решения показательных уравнений: приведение степеней к одинаковому основанию, вынесение общего множителя за скобки, введение новой переменной, почленное деление.

При решении показательных уравнений мы постоянно пользуемся упомянутыми выше свойствами показательной функции: она монотонна и принимает только положительные значения.

Слайд 7 Задача 1. Решить уравнение: 8x+2= 321−x.

Решение. Заметим, что 8 = 23 и 32 = 25:

(23)x+2=(25)1-x,

то есть

23(x+2)=25(1-x).

Поскольку функция y=2x  монотонно возрастает, равенство 2a=2b  эквивалентно равенству a=b. Следовательно,

3(x+2)=5(1-x),

откуда x=-1/8.

Ответ: -1/8

Слайд 8 Задача 2. Решить уравнение: 3x+1+3x - 3x-2= 35.

Решение. Выносим за скобки степень с наименьшим показателем 3x-2:

3x-2(33+32-1)=35  ↔  3x-2·35=35  ↔  3x-2=1.

Последнее равенство запишем как 3x-2=30 и ввиду монотонности показательной функции заключаем, что x-2=0, то есть x=2.

Ответ: 2

Слайд 9 Задача 3. Решить уравнение: 4x-2x+1 -8= 0.

Решение. Перепишем уравнение следующим образом:

22x -2·2x-8=0.

Вводя замену t=2x , получим квадратное уравнение относительно t:

t2-2t-8=0.

Находим его корни: t1=4, t2=-2. Остается сделать обратную замену. Уравнение 2x=4 имеет единственный корень x=2. Уравнение  2x=-2 корней не имеет, так как показательная функция y=2x не может принимать отрицательных значений.

Ответ: 2

Слайд 10 Задача 4. Решить уравнение: 2·4x+6·9x= 7·6x.

Решение. Подставим в уравнение 4=22, 9=32 и   6=2·3:

2·22x -7·2x·3x+6·32x=0.

Поделим обе части уравнения на величину 32x, которая ни при каких x не обращается в нуль. В результате получим равносильное уравнение:

2·(2/3)2x-7·(2/3)x+6=0.

Дальше действуем так же, как в предыдущей задаче. Замена t=(2/3)x  приводит к квадратному уравнению:

2t2-7t+6=0.

Его корни: t1=2 и t2=3/2. Обратная замена:

Ответ: -1;

5. Закрепление знаний. Слайд 11

М.В.Ломоносов говорил: «Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики, сверх того, и умения».

 И вот теперь вы должны проявить свои умения при решении различных показательных уравнений. Посмотрите, пожалуйста, на доску, и решите простейшие показательные уравнения.

1) Устная работа.  Слайд 12

Все правильно ответившие студенты заносят по 1 баллу в оценочный лист.

Распределите данные уравнения по методам их решения: Слайд 13

Все правильно ответившие студенты заносят по 1 баллу  в оценочный лист.

Древнегреческий поэт Нивей утверждал, что «математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед». Поэтому будем сейчас работать самостоятельно, а оценивать работу будет сосед по парте.

2) Самостоятельная работа (дифференцируемая).  Слайд 14

Студенты работают на листочках

Проверить правильность решения уравнений у соседа по парте по ключу с ответами на доске, и поставить ему баллы в оценочный лист. Слайд 15

Уровень 0 – 1 балл за уравнение

Уровень 1 – 2 балла за уравнение

Уровень 2 – 3 балла за уравнение

5. Домашнее задание.

Студенты получают карточки с уравнениями

6. Итоги урока. Слайд 16

Давайте вернемся к эпиграфу нашего урока: «Решение уравнений - это золотой ключ, открывающий все сезамы».       С. Коваль                                                                                  

Мне хотелось бы вам пожелать, чтобы каждый из вас нашел в жизни свой «золотой ключик», с помощью которого перед вами открывались любые двери.

 Оценка работы группы и каждого студента в отдельности, проверка оценочных листов и выставление оценок. Слайд 16

7. Рефлексия

Необходимо знать, насколько самостоятельно и с какой уверенностью решал студент задания. Для этого они ответят на вопросы теста (опросный лист).