Практические работы по математике (по теме Арифметический корень)
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

Министерство образования и науки Челябинской области

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

(среднее специальное учебное заведение)

«Снежинский политехнический техникум имени Н.М. Иванова»

Практические работы по учебной дисциплине

МАТЕМАТИКА

по теме «Арифметический корень»

Снежинск 2012

Данное пособие соответствует рабочей программе учебной дисциплины, разработана для закрепления теоретических знаний и выработке практических навыков решения заданий по теме «Арифметический корень»

Организация-разработчик: ГБОУ СПО (ССУЗ) «Снежинский политехнический техникум имени Н.М. Иванова»

 Разработчики: Закиров Сергей Маликович, преподаватель

                           Неживая Ирина Геннадьевна, преподаватель.

Рекомендована цикловой комиссией  естественно-математического профиля                                  

Протокол  заседания ЦК № 1  от «30»августа 2012г.

Пояснительная записка

Данное методическое пособие предназначено для самостоятельного повторения темы: «Корень ой степени из действительного числа» из курса алгебры и начала анализа. Оно поможет систематизировать имеющиеся знания и ликвидировать пробелы в них, если такие окажутся. Особенно методическое пособие может быть полезным при подготовке к выпускным экзаменам.

Содержание

Введение …………………………………………………………………………5

1.Справочный материал …………………………………………………..……6

1.1 Арифметический корень натуральной степени…………………..……6

1.2 Корень нечетной степени…………………………………………..……6

3. Свойства арифметических корней………………………………..……..6

1. Упражнения с решениями…………………………………………….….…7

     2.1 Упростить выражения..………………………………………….……....7

     2.2 Найти значение выражения……………………………………….….…7

     2.3 Возвести в степень …………………………………….……..…..….…..8

     2.4 Исключите иррациональность в знаменателе …………………………9

2.5  Найдите значение выражения ..………………………………………..10

3. Экзаменационные задания ………………………………………………10

4. Зачетная карточка по теме «Арифметический корень» ……………….11

Литература ………………………………………………………………….12

Введение

Весь материал разбит на пункты, которые содержат:

1. справочный материал;
2. упражнения с решениями;
3. экзаменационные задания.

Дадим краткую характеристику каждому пункту.

Раздел «Справочный материал» содержит формулировки правил, определений, свойств. Изложение теоретических вопросов в книге соответствует изложению этих вопросов в действующих учебных пособиях. Этот раздел является как бы консультантом по вопросам теории.

Раздел «Упражнения с решениями» содержит примеры решения упражнений, разбирая которые можно восстановить, а если отсутствовали, то и приобрести необходимые умения и навыки, связанные с соответствующим теоретическим материалом.

Решение каждого упражнения сопровождается пояснением.

В разделе «Упражнения с решениями» содержится дидактический материал, который содержит набор упражнений трех уровней сложности. Буквой А отмечены самые легкие упражнения, буквой Б – упражнения, более сложные по сравнению с предыдущими, буквой В – упражнения наибольшей сложности. Таким образом, сначала можно выбрать упражнения, соответствующие вашему уровню математической подготовки. Некоторые упражнения не отмечены никакой буквой. Желательно, чтобы эти упражнения решили все учащиеся.

Раздел «Экзаменационные задания» призван улучшить качество подготовки к экзамену по данной теме.

1.Справочный материал

1.1 Арифметический корень натуральной степени.

Арифметическим корнем натуральной степени  из неотрицательного числа  называется неотрицательное число, я степень которого равна .

Обозначение: , где  – подкоренное выражение.

Если , то вместо  пишут .

        Чтобы, используя определение, доказать, что корень й степени () равен , нужно показать, что: .

        Например: , так как .

Действие, посредством которого отыскивается корень й степени, называется извлечением корня й степени.

1.2 Корень нечетной степени.

Для любого нечетного натурального числа  уравнение  при  имеет только один корень, причем отрицательный. Этот корень обозначается, как и арифметический корень, символом . Его называют корнем нечетной степени из отрицательного числа.

        Например: , .

1.3 Свойства арифметических корней.

Арифметический корень й степени обладает следующими свойствами: если ,   и  –  натуральные числа, причем , то

1. .                                     2. .

3. .                       4. .

5. .                                 6. .

Например:

1. ;

2.    

3. ;

4. ;

5. ;

6.            

2. Упражнения с решениями

2.1 Упростить выражения:

1)  2)  3)

Образец решения:

1. Перемножать подкоренное выражение нет смысла, так как каждый из сомножителей представляет квадрат целого числа. Воспользуемся свойством 2:

2. Попытаемся, если это возможно, представить подкоренное выражение в виде произведения множителей, каждый из которых является кубом целого числа, и применим свойство 2:

Решить и сверить ответ:

А  1)  2)   3)    4)

Б  1)  2)  3)   4)

Ответы: А  1) 12;  2) 264;   3) 20;    4) 48.

                 Б  1) 5; 2) 25; 3) 42;  4) 32.

2.2 Найти значение выражения:

1)   2)  3)

Образец решения:

1. В данном выражении первым действием является извлечение квадратного корня из числа. Вторым действием  - сложение полученных результатов.

При вычислении используем 1-ое свойство корней:

2. Аналогично предыдущему примеру, первым действием является извлечение квадратного корня из числа. Вторым и третьим действиями  - умножение и разность полученных результатов.

При вычислении используем 1-ое свойство корней:

3) Преобразуем подкоренные выражения, извлечем корень, а затем упростим полученное выражение:

    .

Решить и сверить ответ:

А  1)     2)   3)  

Б  1)    

     2)  

Ответы: А  1) 0,7;  2) 0,1;   3) 0,4.

                 Б  1) ; 2) .

2.3 Возвести в степень:

1)   2)  3) ;   4)

Образец решения:

При возведении корня в степень показатель корня остается без изменения, а показатели подкоренного выражения умножаются на показатель степени.

1.     (так как  определен, то );
2.                                   Если данный корень имеет коэффициент, то этот коэффициент возводится в степень отдельно и результат записывается коэффициентом при корне.
3.  

Здесь мы использовали свойство 6.

4.  Выражение в скобках, представляющее сумму двух различных радикалов, возведем в куб и упростим:                                           т         

Проверь себя (решить и сверить ответ)

А  1)      2)     3)     4)

Б  1) ;    2) ;    3)

В  1) .

Ответы: А  1) ;  2) ;   3) ;   4) .

                 Б  1);   2);   3) .

                 В  1) 8.

2.5 Исключите иррациональность в знаменателе:

1)   2)  3) .

Образец решения:

Для исключения иррациональности в знаменателе дроби нужно подыскать простейшее из выражений, которое в произведении со знаменателем дает рациональное выражение, и умножить на подысканный множитель числитель и знаменатель данной дроби.

В более сложных случаях уничтожают иррациональность не сразу, а в несколько приемов.

1. В выражении  должно быть  и .

Умножая числитель и знаменатель дроби на , получим:                     .

2. Умножая числитель и знаменатель дроби на неполный квадрат суммы, получим:

3. Приведем дроби к общему знаменателю:    

Решая данный пример, мы должны иметь в виду, что каждая дробь имеет смысл, т.е. знаменатель каждой дроби отличен от нуля. Кроме того, .

6. Проверь себя (решить и сверить ответ)

 А  1)    2)   3)   4)   5)

Б  1) ;     2) ;     3) ;

     4) ;     5) ;     6) .

В  1)      2)      3) .

Ответы: А 1) ; 2) ; 3) ; 4) ;              5)  . Б  1) 1; 2) ; 3) ; 4) ;   5) ;  6) .  В  1) ;                2) ;      3) .

2.7 Найдите значение выражения:

1)  

2) ;

3)  

4)  

5)    

6) .

Ответы:  1) 6; 2) 33; 3) -0,15; 4) 1; 5) 2,8; 6) 0,5.              

3. Экзаменационные задания

1. Найти значение выражения: ;
2. Найти значение выражения: ;
3. Вычислите ;
4. Вычислите ;
5. Верно ли равенство: ?

Зачетная карточка по теме «Арифметический корень»

Ф.И.                                                                  Группа

1.  Свойства арифметических корней.

2. Упростить выражения:

3. Возвести в степень:

4. Исключите иррациональность в знаменателе:

5. Найдите значение выражения:

Успешной сдачи зачета!

Ваша оценка

Преподаватель

Дата

Литература

1. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл.   – М., 2007.
2. Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10 кл. – М.,  2008.
3. Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 11 кл. – М., 2008. 
4. Башмаков М.И. Математика: 10 кл. Сборник задач: учеб. пособие. – М., 2008.
5. Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс: базовый уровень / [М.И. Шабунин, М.В. Ткачёва, Н.Е. Фёдорова, Р.Г. Газарян]. – 4-е изд., перераб. – М.: Просвещение, 2010.
6. Контрольные работы по алгебре и началам математического анализа: 11 класс: материалы для уровневого обучения: к учебнику под ред. А.Н. Колмогорова «Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы» / Ю.П. Дудницын, В.Л. Кронгауз – М. Издательство «Экзамен», 2008.
7. Математика. 10 класс (базовый уровень): книга для учителя: методическое пособие: среднее (полное) образование/ М.И. Башмаков. - М.: Издательский центр «Академия», 2008.
8. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1993. – 415.: ил.