Методы решения тригонометрических уравнений
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

Тема. Методы решения тригонометрических уравнений.

                               Ты можешь стать умнее

                                         тремя путями:

                                         путем опыта – это самый горький путь;

                                         путем подражания – это самый легкий путь;

                                         путем размышления – это самый

                                                 благородный путь.

                                                               Китайская пословица.

Цели:  1. Ученик,  знающий методы решения алгебраических               уравнений  и умеющий применять методы при решении    

                   тригонометрических уравнений.

               2. Ученик, умеющий предвидеть и подтвердить, что метод            

                    приведет к цели.

               3. Ученик, способный осуществить самоконтроль,

                    взаимоконтроль собственной деятельности.

Оборудование. На столах у учащихся таблица №1 (со списком уравнений) и №2 (самостоятельная работа) и копировальная бумага.

   Для самоанализа своей деятельности на уроке они пользуются оценочным листом. Самооценка за урок зависит от суммы набранных баллов на всех этапах. Работа состоит из пяти этапов.

                             Ход работы.    

 Вводная беседа (2 мин). Тема урока (читаю). Эпиграфом сегодняшнего  урока будет китайская пословица (читаю). Этот эпиграф, уверенна, помогает понять не только математические задачи, стоящие перед нами на уроке, но и общечеловеческие. Каким путем пойти (какой путь выбрать).

  Сегодня мы поговорим об основных методах решения тригонометрических уравнений. Мы знаем, что правильно выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение, поэтому все изученные нами методы всегда нужно держать в зоне своего внимания, чтобы решать конкретные задачи наиболее подходящим методом.

   Наша работа будет состоять из 5 этапов. Итоги своей деятельности на каждом этапе фиксируете в оценочных листах. Самооценка за урок зависит от суммы набранных баллов на всех этапах.

   Этап 1(5 мин.). На этом этапе мы проверим домашнее задание. Это уравнения: 1)x³-2x²-x+2=0; 2)x -3x²+2=0; 3)3x²+4x(x²+3x+4)+(x²+3x+4)²=0; 4)x³+x-2=0. (несколько способов)

                       Решение (проекция).

 Взаимопроверка. Критерии оценок: за каждое выполненное задание 1 балл. Выставляете в оценочный лист.

                     Анализ решения.

Анализ домашнего задания дает: Искандарова  Лиана

Какими методами решаются эти уравнения?

  Этап 2(2 мин). А теперь вспомним в чем суть каждого метода:

    -А теперь попробуйте сформулировать идею графического метода решения уравнения f(x)=g(х).

    Ответ: 1. Нужно построить графики функций y=f(x) и y=g(x);

1. Найти точки их пересечения – корнями уравнения служат абсциссы этих точек.

    - В каких случаях лучше использовать этот метод?

    Ответ: когда необходимо определить число корней уравнения, угадать значение корня, найти приближенные значения корней.

     - Итак, графические способы решения красивы, просты, но не дают стопроцентной гарантии решения любого рационального уравнения.

    - В чем суть метода разложения на множители?

   Ответ: суть метода заключается в следующем: уравнение

f (x)f (x)f (x)=0 можно заменить совокупностью уравнений: f (x)=0;

f (x)=0; f (x)=0.

    - Решив уравнение этой совокупности, возьмите их корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные отбросьте как посторонние.

    - Когда мы используем при решении уравнений свойство монотонности функций?

     Ответ: Во-первых, тогда, когда данное уравнение имеет в одной части функцию монотонную, а в другой – постоянную. Такое уравнение не может иметь более одного корня. Во-вторых, тогда, когда одна часть уравнения представляет собой возрастающую, а другая – убывающую функцию. Графики таких функций не могут иметь более одной общей точки. Следовательно, уравнение не может иметь более одного корня.

     - В чем суть метода введения новой переменной?

    Ответ: Если уравнение f(x)=0 удалось преобразовать к виду        (g(x))=0, то нужно ввести новую переменную y=g(x), решить уравнение    (у)=0, а затем рассмотреть совокупность уравнений:

g(x)=y, g(x)= y …g(x), где у, у …у   корни уравнения      (у)=0.  

Этап 3 (16 мин). Зная методы решения алгебраических уравнений, сможем ли мы с вами решить тригонометрические?

Цель урока: ученик, знающий методы решения алгебраических уравнений и умеющий применять методы при решении тригонометрических уравнений.

Для этого возьмите таблицу №2. Каждому уравнению, если можно, укажите   каким методом можно решить.

Один из учеников выходит к доске и на ватмане отмечает номера уравнений (каким каждое из них решается). Затем каждая группа решает по два уравнения: 1 группа-2, 2 группа-3, 3 группа-4,  6 уравнение - дополнительно.

Представитель каждой группы решение выносит на доску, при этом проговаривают метод решения. Оценивают себя по итогам работы в группах.

  №1:  tg³ x + tg x – 2 = 0,

           Пусть tg x = y, тогда

           y³ + y – 2 = 0, но это уравнение решено в д/з, наиболее рациональный метод монотонности функции.

             y = 1, tg x = 1, x = ∏/4+∏n, n  Z. Ответ: ∏/4+∏n, n  Z.

  №2: 4sin³ x + 4cos² x – sin x – 3 = 0,

           4sin³ x + 4 – 4sin² x – sin x – 3 = 0,

           4sin³ x – 4sin² x – sin x + 1 = 0,

           sin x = t,

           4t³ - 4t² - t + 1 = 0,

           4 – 4 – 1 + 1 = 0, t = 1 – корень уравнения.                                                                                                                                                                                                      

    4t² - 1 = 0,

     t² = ¼,

     t = ±1/2;

    sin x = 1,   x =∏/2 +2∏n, n  Z,

    sin x = ±½, x = ±∏/6 + ∏n, n  Z.

  Ответ: ∏/2 +2∏n, ±∏/6 + ∏n, n  Z.

   №3: cos x + 2sin 2x = 0,

           cos x + 4sin x cos x = 0,

           cos x(1+4sin x) = 0,

           cos x = 0               или          1+4sin x = 0,

           x = ∏/2+∏n, n  Z или           4sin x = -1,

                                                      sin x=-1/4, x= (-1)ⁿ ¹ arcsin (1/4) +∏n.

Ответ: ∏/2+∏n,n  Z , (-1)ⁿ ¹ arcsin(1/4) + ∏n, n  Z.

   №5: 8sin² 2x + cos 2x + 1 = 0

            8(1-cos² 2x) + cos 2x + 1 = 0,

            8 cos² 2x – cos 2x – 9 = 0,

             cos 2x = y,

            8y² - y - 9 = 0,

            D = 289,

             y = 9/8, y = -1.

             cos 2x = 9/8 – решения нет,

             cos 2x = -1

             2x = ∏+2∏n,

              x = ∏/2+∏n, n  Z.

    Ответ: ∏/2+∏n,n  Z.

  №4: sin² x - 3sin x cos x + 2cos²x = 0   |: cos² x, т.к. cos² x ≠ 0,

          tg² x – 3tg x + 2 = 0,

          tg x = y,

          y² - 3y +2 = 0,

          y = 1, y = 2,

          tg x = 1,                                    tg x = 2            

          x = arctg1 + ∏n,                      x = arctg2 + ∏n, n  Z.

          x = ∏/4 + ∏n, n  Z.

Ответ: ∏/4 + ∏n, arctg2 + ∏n, n  Z.

№6: cos x = x² + 1, графический метод.

         1) Рассмотрим две функции:

             y = cos x и y = x² + 1.

         2) Построим графики функций.

         3) Построенные графики имеют одну общую точку А(0;1).

             Значит, заданное уравнение имеет один корень 0.

Ответ: х = 0.

    Этап 4(15 мин). Сейчас у вас этап, самый сложный и важный,  с которым, путем размышления вы найдете метод решения  уравнений из таблицы №2.                                

    Самостоятельная работа (под копировальную бумагу) в двух вариантах. В конце самостоятельной работы сверяем ответы с доской. Выставляем баллы в оценочный лист, с учетом критерий оценок, и оцениваем свою работу за урок.

 Критерии баллов:

«5» - за три верно выполненных задания;

«4» - за два верно выполненных задания;

«3» - за одно верно выполненных задания.

Итог 1 урока.

Что я узнал? Я знаю методы и могу решать тригонометрические уравнения.

 2 урок.  

Методы решения тригонометрических уравнений.

sin x + cos x = 1

4x2- 12x + 12 = (3-cos3x)(3+cos3x) корень 3

Сможем ли мы решить данные тригонометрические уравнения методами алгебраических уравнений?

 Цель урока (озвучивают дети) Существуют ли другие методы решения тригонометрических уравнений, отличных от алгебраических  

Работают в группах.

Решают первое уравнение. Решение выносим на доску. Нашли новый метод- использование свойства ограниченности функции

Решают второе уравнение:

1 группа - методом универсальной подстановки

2 группа - методом вспомогательного угла

3 группа – методом использования формул двойного аргумента

Представитель каждой группы выносит решение на доску.

Найденные методы записываем в таблицу.

Домашнее задание. Дифференцированное, с учетом итоговой оценки за урок. Вы находитесь перед выбором домашнего задания. Как вы этот выбор осуществите? Почему ваш выбор таков?

1-й уровень – повторить формулы решений уравнений + индивидуальная карточка.

2-й уровень – уравнения ЕГЭ:   IsinxI = IcosxI,

sin2x + 6sinx cos x/2 + 9 = 9sin2 x/2

3-й уровень – прикладная направленность в тригонометрических уравнениях:

1) спортсмен на соревнованиях, проходивших в Осло, послал копьё на 90 м 86 см. На каком расстоянии приземлилось бы копье, если оно было пущено с такой же скоростью и под тем же углом к горизонту в Токио? Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения в Осло равно 9,819 м/c2

2) Тело скользит равномерно по наклонной плоскости с углом наклона 40 градусов. Определить коэффициент трения.

Чему вы научились сегодня на уроке? Я до урока…, я после урока.

 Урок заканчиваю словами из китайской пословицы (читаю). Чтобы вы становились умнее путем размышления, ибо это самый благородный путь.

Не бойтесь формул! Учитесь владеть этим тонким инструментом человеческого гения! В формулах увековечены ценнейшие достижения людского рода, в них заключено величие и могущество разума, его торжество над покорённой природой