Готовимся к ЕГЭ. С1: Отбор корней тригонометрических уравнений.
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме
Актуальна проблема отбора корней тригонометрических уравнений в старших классах. Представлены способы отбора, объединение корней, материала для промежуточного контроля знаний.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 otbor_korney_trigonometricheskih_uravneniy.doc | 465 КБ |
Предварительный просмотр:
Готовимся к ЕГЭ. С1: Отбор корней тригонометрических уравнений
Е.С.Пухова,
учитель математики МБОУСОШ №2
г. Апшеронск Краснодарский край
Модернизация в системе школьного образования предполагает использование индивидуально-ориентированного подхода к учащимся в обучении. Одной из главных задач школы – научить самостоятельно учиться и учиться с желанием роста. Использование современных технологий создает дополнительные возможности для повышения мотивации, а, следовательно, эффективности обучения.
Многие учащиеся испытывают затруднения при решении тригонометрических уравнений и неравенств, особенно при отборе корней уравнений на промежутках.
Использование компьютера позволит более наглядно показать работу с тригонометрической окружностью, разнообразит задания, с помощью интерактивного модуля по теме даст возможность увидеть решение уравнений, проведения тестового контроля обучающего или контролирующего характера, более продуктивно использовать время урока, сделает урок более насыщенным.
В демонстрационном варианте КИМ для проведения в 2013 году ЕГЭ по математике размещено задание С1 с решением и комментариями. Рассмотрены 4 способа отбора корней, принадлежащих промежутку: с помощью тригонометрической окружности, с помощью графика функции, перебором, с помощью оценивания границ.
Пример 1.
С1 а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .
Решение.
а) Так как, , то , , .
Корни уравнения:
б) Корни уравнения изображаются точками А и В, а корни уравнения - точками C и D, промежуток изображен жирной дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержаться три корня уравнения и .
Ответ: а) .
б) .
Другие решения пункта б).
б) Корни, принадлежащие промежутку, отберем по графику. Прямая (ось ) пересекает график в единственной точке, абсцисса которой принадлежит промежутку.
Прямая пересекает график ровно в двух точках, абсциссы которых принадлежат(см. рис.). Так как период функции равен , то эти абсциссы равны, соответственно, и .
В промежуткесодержатся три корня: .
б) Пусть . Подставляя , получаем . Промежутку принадлежит только .
Пусть . Подставляя , получаем:
.
Промежутку принадлежат только .
Промежутку принадлежат корни: .
б) Отберем корни, принадлежащие промежутку.
Пусть . Тогда .
Корень, принадлежащий промежутку: .
Пусть .
Тогда .
Корень, принадлежащий промежутку: .
Пусть .
Тогда .
Корень, принадлежащий промежутку: .
Промежутку принадлежат корни: .
Для отбора корней учащимся, затрудняющимся выполнить задание б), можно показать способ перебора, переведя величины углов из радианной меры в градусную меру. Удобно использовать координатную прямую, указав на ней промежуток и отмечая значения корней.
б) Пусть . Подставляя , получаем .
Промежутку принадлежит только
Пусть . Подставляя , получаем:
.
Промежутку принадлежат только
Промежутку принадлежат корни: -360°, -330°, -220°.
В дальнейшем учащийся может перевести значения корней уравнения в радианы.
Наибольшую трудность у старшеклассников вызывает отбор корней с арктангенсом и арккотангенсом чисел.
Пример 2.
а) Решите уравнение 5sin² x – 4 sin x cos x - cos² x = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .
Решение.
а) 5sin² x – 4 sin x cos x - cos² x = 0. Разделив обе части уравнения на cos² x≠0, получим уравнение: 5tg² x – 4 tg x–1= 0.
tg x=1, х =. tg x=,
б) Выполним отбор корней на промежутке .
у
1
0 х
Корни уравнения, принадлежащие
указанному промежутку:
Ответ: а) , б) , , .
Решение многих тригонометрических уравнений приводит к совокупности или системе их корней. Для верной записи ответа, требующей, в частности, исключения повторяющихся чисел, используется единичную окружность.
1) Переписать данное условие так, чтобы в них не было повторений:
у
Перенести значения на тригонометрическую
окружность и записать числа, соответствующие хотя бы одной
фигуре в данной совокупности корней. х
Ответ:
2) Переписать данное условие так, чтобы
в них не было повторений:
Каждой серии чисел присваивается фигура определенного цвета. Затем необходимо перенести фигуры на тригонометрическую окружность. Ни у одной точки не отмечены три фигуры, поэтому запись в данной системе корней упростить невозможно.
у
х Ответ:
3) Запишите без повторений значения х, заданные следующими условиями:
у
Выражение задает четыре точки единичной
окружности, из которых только две допустимы. х
Ответ:
4) Запишите без повторений значения х, заданные следующими условиями:
у
х
Точки, у которых стоит хотя бы одна фигура, но нет
запрещающего знака, соответствуют числам:
Объединяя корни, имеем .
С целью закрепления материала предложить учащимся следующее задание:
Переписать данное условие так, чтобы в них не было повторений | Переписать данное условие так, чтобы в них не было повторений | Выбрать наибольшее отрицательное число | Переписать данное условие так, чтобы в них не было повторений |
Выбери ответ: | Выбери ответ: | Выбери ответ: | Выбери ответ: |
Контроль знаний удобно оперативно провести с помощью пультовой системы Verdict. Время выполнения каждого задания (таймер) выставить с учетом уровня подготовки класса. Решив задание, учащемуся необходимо выбрать верный ответ с помощью индивидуального пульта.
Вариант 1
1.Найдите наименьший положительный корень уравнения
1) | 2) 0 | 3) 1 | 4) | 5) | 6) 30° |
2.Найдите решение уравнения (в градусах), принадлежащее промежутку .
1) 495 | 2) 501 | 3) 499 | 4) 515 | 5) 520 | 6) 450 |
3. Найдите наименьшее положительное решение уравнения (в градусах).
1) 270 | 2) 120 | 3) 15 | 4) 67,5 | 5) 72 | 6) 97 |
4.Найдите решение уравнения (в градусах), принадлежащее промежутку .
1) 90 | 2) 65 | 3) 50 | 4) 68,5 | 5) 89 | 6) 70 |
5. Для уравнения укажите наибольший отрицательный корень.
1) -2 | 2) -0,02 | 3) -0,56 | 4) – 0,3 | 5) -0,125 | 6) – 1,1 |
Вариант 2
1.Найдите наименьший положительный корень уравнения .
1) 14 | 2) 0,25 | 3) 1 | 4) 2,7 | 5) 0,11 | 6) 8 |
2.Найдите решение уравнения (в градусах), принадлежащее промежутку .
1) 222 | 2) 190 | 3) 265 | 4) 181 | 5) 240 | 6) 225 |
3. Найдите наибольшее отрицательное решение уравнения (в градусах).
1) -22,5 | 2) -45 | 3) -10 | 4) - 80 | 5) - 120 | 6) - 135 |
4. Найдите решение уравнения (в градусах), принадлежащее промежутку .
1) 57 | 2) 87 | 3) 74 | 4) 80 | 5) 61 | 6) 50 |
5. Для уравнения укажите наименьший положительный корень.
1) -20 | 2) -1 | 3) -0,6 | 4) -4 | 5) 0,125 | 6) 0,5 |
Оценки учащихся выставляются в электронном протоколе по завершению работы и выводятся учителем на экран.
0
0
0
0
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
План-конспект урока "Отбор корней тригонометрического уравнения"
Для использования в 10-11 классах на уроках и при подготовке к ЕГЭ. Урок формирует два приемами отбора корней при решении тригонометрических уравнений: перебор по параметру и с помощь...
Урок алгебры в 10 классе на тему:"Отбор корней тригонометрических уравнений"
Расматривается три спопосба отбора корней тригонометрических уравнений...
Галимова Р.А. План-конспект урока по математике в 10 классе "Решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней тригонометрического уравнения"
Конспект урока на закрепление умения решать тригонометрические уравнения, рассмотрение случая алгебраического отбора корней при помощи двойного неравенства для целочисленного параметра....
Урок алгебры в 10 классе по теме Выбор корней тригонометрических уравнений
Конспект урока алгебры в 10 классе по теме "Выбор корней тригонометрических уравнений"...
Интерактивный тест "Нахождение корней тригонометрического уравнения"
Интерактивный тест "Нахождение корней тригонометрического уравнения" -2 варианта, тест с самооценкой...
Методическая разработка. Технологическая карта урока по теме: " Отбор корней тригонометрического уравнения на промежутке". 10 класс.
Технологическая карта урока позволяет увидеть целостную картину современного урока. Урок носит проблемный и развивающий характер, способствующий формированию личностных и предметных компетенций....
Комментарии
Готовимся к ЕГЭ. С1: Отбор корней тригонометрических уравнений.
Спасибо за идеи,это то, что мне нужно