Системы уравнений
рабочая программа по алгебре (10 класс) по теме

Составитель – Прокофьева Тамара Александровна, учитель МБОУ СОШ №12

 г. Дзержинска Нижегородской области

Презентация  решений  по теме «Системы уравнений».                             10 класс

За несколько дней до урока учитель дает предварительное индивидуальное задание и список рекомендованной литературы:

№1 Решить систему уравнений

№2 Решить систему уравнений

№3 Сколько решений имеет система уравнений  ?

№4 Решить систему уравнений

№5 Решить систему уравнений

№6 Решить систему уравнений

№7 Решить систему уравнений

№8 Решить систему уравнений        

№9 Дана система уравнений      найти значение выражения .

Рекомендованная  литература:

1. Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ. Учебник для углубленного изучения математики. 11 класс.М.: Мнемозина, 2005
2. Макарычев Ю.Н. Алгебра. Учебник для 9 класса с углубленным изучением математики.
3. Письменный Д.Т.Готовимся к экзамену по математике.М.: Айрис-пресс,2007
4. Сканави М.И. Пособие для поступающих в вузы. М.:Аст-пресс,2006
5. Ткачук В.В. Математика абитуриенту. М.: МЦНМО, 2006
6. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика. Справочник для старшеклассников и поступающих в вузы.М.: Аст-пресс школа, 2005
7. Шарыгин И.Ф. Математика для школьников старших классов. М.: Дрофа, 1995
8. Шикин Е. Сначала немного подумайте. М.: БИНОМ, 2005

В то время, когда ученики готовят свои презентации, учитель работает фронтально с остальными учениками класса.

1. Рассказывает правило:

Дана система линейных уравнений 

Каждое уравнение задает на плоскости прямую. Возможны три случая:

1) Прямые пересекаются, тогда

   ,               система имеет единственное решение.

2) Прямые параллельны, тогда

   ,     система не имеет решений.

3) Прямые совпадают, тогда

,         система имеет бесконечно много решений.

2. Дает задание на использование нового правила:

Решите задачи с параметрами:

№1. Найдите значение параметра с, если система уравнений

           имеет бесконечно много решений.

№2. Найдите значение параметра m, если система уравнений

             не имеет решений.

№3. Найдите значение параметра а, если система уравнений

           имеет единственное решение.

Решение задач по теме «Системы уравнений» (презентация решений)

№1 Способ деления (Шикин Е.)  

Решить систему уравнений

Разделив  уравнения друг на друга, получаем , разделив каждое слагаемое из числителя и знаменателя на , получаем .

Замена ,      ;

1) при ,   из уравнения системы  получаем

    ,

     ,      ,    , тогда  , т.е.

   решения системы       и ;

2) при ,

    ,        ,   , нет действительных корней.

Ответ. , .

  Данную систему можно решить способом подстановки, выразив  х  из второго уравнения.

№2 Способ замены  ( Сканави М.И.)

Решить систему уравнений

Область определения системы уравнений: ,т.е. .

После преобразования получаем

после замены ,        

1)                       т.е.    (12;4)

2)                         т.е.    (34;-30).

Ответ. ( 12 ; 4 ),   ( 34 ; -30 ).

№3 Графический метод 

Сколько решений имеет система уравнений  ?

Выделяем в каждом уравнении функцию:

1) График функции  получается из графика функции  сдвигом на 3 единицы вправо и отражением части полученного графика от оси Ох вверх.

2) Графиком функции  относительно    у        или функции   является парабола с вершиной ( -3 ; - 1 ), полученная из параболы  сдвигом вниз на 1 единицу и влево на 3 единицы, ветви параболы направлены вправо.

        Графики функций пересекаются в двух точках, тогда система уравнении имеет два решения.

Ответ. Два решения.

№4 Графический метод (ВиленкинН.Я.)  

Решить систему уравнений

1) , выделяем полный квадрат при каждой переменной

,

, графиком полученного уравнения является окружность с центром в точке       ( -2 ; 3 ) и радиусом r , где  , .

2) , выразим   у через х

    ,

     ,            графиком полученной функции является гипербола, полученная из графика функции  сдвигом на 2 единицы влево вдоль оси Ох и на 3 единицы вверх вдоль оси Оу. Графики пересекаются в точках .

        С помощью проверки устанавливаем , что получили решения системы.

Ответ. .

№5 Способ сложения  (МакарычевЮ.Н.)

Решить систему уравнений

Умножаем первое уравнение на 3, второе на 2 и складываем  уравнения, получаем:

+

       квадратное уравнение относительно х,

,     ,    .

1) при  из первого уравнения системы получаем:

, ,       , тогда ,

решения системы ;

2) при

,  ,

,    ,    ,

, тогда , решения системы  .

Ответ. , .

№6 Формулы Крамера  (Ткачук В.В.)

Решить систему уравнений

Из коэффициентов и свободных чисел составим матрицу:.

Главный определитель (детерминант):

=,

дополнительные определители:

,

,

.

По формулам Крамера    ,    ,      получаем

,     ,     , т.е.  - решение системы.

Можно было решить эту систему уравнений способом подстановки и сложения, выражая х из первого уравнения, подставляя во второе и третье и складывая.

Ответ. .

№7 Разложение на множители (Черкасов О.Ю.)

Решить систему уравнений

Способ разложения на множители используется для понижения степени уравнений, входящих в систему. Состоит в замене исходной системы уравнений равносильной ей совокупностью более простых систем уравнений.

Используем формулу разности кубов:

Получаем совокупность двух систем:

1)      

         - решения системы;

2)   решим полученную систему способом алгебраического сложения.

  Умножаем первое уравнение на 2 и из него вычитаем второе уравнение системы

 _  

       ,                           ,  подставим выражение во второе уравнение системы

, умножаем уравнение на , , после замены в биквадратном уравнении получаем квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом, т.е. у него нет действительных корней. Рассмотренный случай не приводит к новым решениям системы.

Ответ. .

№8 Способ замены (Черкасов О.Ю.)

Решить систему уравнений            Замена  

                   тогда    

Решаем полученную систему способом подстановки:

, отсюда    ,  тогда из уравнения          

Получаем    .

1)                              2)          - решения системы.

нет действит. корней                  

     Рассмотренная система является симметричной относительно х и у (не изменится, если переменные поменять местами), тогда в ответе обязательно должны получиться точки, симметричные относительно прямой .

 Ответ. .

  №9 Метод неопределенных коэффициентов  (Ткачук В.В.)

     найти значение выражения .

Решение.

   Система имеет бесконечное множество решений и поэтому однозначно найти значения неизвестных х, у и z не представляется возможным. Однако алгебраические суммы, составленные из неизвестных с некоторыми числовыми коэффициентами, подсчитать все же можно. В этом случае применяется метод неопределенных коэффициентов.

   Если поставленная задача имеет решение, то найдутся такие числа  и , что

,

   Для того чтобы найти  и , необходимо, раскрыв скобки, приравнять коэффициенты при неизвестных х, у и z, стоящих в левой и правой частях соответственно.

, группируем слагаемые при неизвестных

.

По определению тождественно равных многочленов коэффициенты при однородных слагаемых должны быть равны. Получаем систему уравнений, которым должны удовлетворять числа  и :

    тогда .

.

Ответ. 15.

_______________________________________________________________________________________________

После работы с решениями ( письменными презентациями на доске или компьютерными через проектор)  и ответов на вопросы к докладчикам ученики фронтально отвечают на вопросы, заданные в начале урока.