Системы уравнений
рабочая программа по алгебре (10 класс) по теме
Рассматриваются различные способы решения систем уравнений, как классические школьные (способ сложения, подстановки, графический), так и новые, не изучаемые по программам общеобразовательных классов ( формулы Крамера, метод неопределенных коэффициентов, задания с параметрами). Учитель вместе с учениками предлагает вниманию 9 приемов решения систем уравнений. Статья рекомендована для рассмотрения на элективном курсе в профильном классе.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 96.15 КБ |
Предварительный просмотр:
Составитель – Прокофьева Тамара Александровна, учитель МБОУ СОШ №12
г. Дзержинска Нижегородской области
Презентация решений по теме «Системы уравнений». 10 класс
За несколько дней до урока учитель дает предварительное индивидуальное задание и список рекомендованной литературы:
№1 Решить систему уравнений
№2 Решить систему уравнений
№3 Сколько решений имеет система уравнений ?
№4 Решить систему уравнений
№5 Решить систему уравнений
№6 Решить систему уравнений
№7 Решить систему уравнений
№8 Решить систему уравнений
№9 Дана система уравнений найти значение выражения .
Рекомендованная литература:
- Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ. Учебник для углубленного изучения математики. 11 класс.М.: Мнемозина, 2005
- Макарычев Ю.Н. Алгебра. Учебник для 9 класса с углубленным изучением математики.
- Письменный Д.Т.Готовимся к экзамену по математике.М.: Айрис-пресс,2007
- Сканави М.И. Пособие для поступающих в вузы. М.:Аст-пресс,2006
- Ткачук В.В. Математика абитуриенту. М.: МЦНМО, 2006
- Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика. Справочник для старшеклассников и поступающих в вузы.М.: Аст-пресс школа, 2005
- Шарыгин И.Ф. Математика для школьников старших классов. М.: Дрофа, 1995
- Шикин Е. Сначала немного подумайте. М.: БИНОМ, 2005
В то время, когда ученики готовят свои презентации, учитель работает фронтально с остальными учениками класса.
- Рассказывает правило:
Дана система линейных уравнений
Каждое уравнение задает на плоскости прямую. Возможны три случая:
1) Прямые пересекаются, тогда
, система имеет единственное решение.
2) Прямые параллельны, тогда
, система не имеет решений.
3) Прямые совпадают, тогда
, система имеет бесконечно много решений.
- Дает задание на использование нового правила:
Решите задачи с параметрами:
№1. Найдите значение параметра с, если система уравнений
имеет бесконечно много решений.
№2. Найдите значение параметра m, если система уравнений
не имеет решений.
№3. Найдите значение параметра а, если система уравнений
имеет единственное решение.
Решение задач по теме «Системы уравнений» (презентация решений)
№1 Способ деления (Шикин Е.)
Решить систему уравнений
Разделив уравнения друг на друга, получаем , разделив каждое слагаемое из числителя и знаменателя на , получаем .
Замена , ;
1) при , из уравнения системы получаем
,
, , , тогда , т.е.
решения системы и ;
2) при ,
, , , нет действительных корней.
Ответ. , .
Данную систему можно решить способом подстановки, выразив х из второго уравнения.
№2 Способ замены ( Сканави М.И.)
Решить систему уравнений
Область определения системы уравнений: ,т.е. .
После преобразования получаем
после замены ,
1) т.е. (12;4)
2) т.е. (34;-30).
Ответ. ( 12 ; 4 ), ( 34 ; -30 ).
№3 Графический метод
Сколько решений имеет система уравнений ?
Выделяем в каждом уравнении функцию:
1) График функции получается из графика функции сдвигом на 3 единицы вправо и отражением части полученного графика от оси Ох вверх.
2) Графиком функции относительно у или функции является парабола с вершиной ( -3 ; - 1 ), полученная из параболы сдвигом вниз на 1 единицу и влево на 3 единицы, ветви параболы направлены вправо.
Графики функций пересекаются в двух точках, тогда система уравнении имеет два решения.
Ответ. Два решения.
№4 Графический метод (ВиленкинН.Я.)
Решить систему уравнений
1) , выделяем полный квадрат при каждой переменной
,
, графиком полученного уравнения является окружность с центром в точке ( -2 ; 3 ) и радиусом r , где , .
2) , выразим у через х
,
, графиком полученной функции является гипербола, полученная из графика функции сдвигом на 2 единицы влево вдоль оси Ох и на 3 единицы вверх вдоль оси Оу. Графики пересекаются в точках .
С помощью проверки устанавливаем , что получили решения системы.
Ответ. .
№5 Способ сложения (МакарычевЮ.Н.)
Решить систему уравнений
Умножаем первое уравнение на 3, второе на 2 и складываем уравнения, получаем:
+
квадратное уравнение относительно х,
, , .
1) при из первого уравнения системы получаем:
, , , тогда ,
решения системы ;
2) при
, ,
, , ,
, тогда , решения системы .
Ответ. , .
№6 Формулы Крамера (Ткачук В.В.)
Решить систему уравнений
Из коэффициентов и свободных чисел составим матрицу:.
Главный определитель (детерминант):
=,
дополнительные определители:
,
,
.
По формулам Крамера , , получаем
, , , т.е. - решение системы.
Можно было решить эту систему уравнений способом подстановки и сложения, выражая х из первого уравнения, подставляя во второе и третье и складывая.
Ответ. .
№7 Разложение на множители (Черкасов О.Ю.)
Решить систему уравнений
Способ разложения на множители используется для понижения степени уравнений, входящих в систему. Состоит в замене исходной системы уравнений равносильной ей совокупностью более простых систем уравнений.
Используем формулу разности кубов:
Получаем совокупность двух систем:
1)
- решения системы;
2) решим полученную систему способом алгебраического сложения.
Умножаем первое уравнение на 2 и из него вычитаем второе уравнение системы
_
, , подставим выражение во второе уравнение системы
, умножаем уравнение на , , после замены в биквадратном уравнении получаем квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом, т.е. у него нет действительных корней. Рассмотренный случай не приводит к новым решениям системы.
Ответ. .
№8 Способ замены (Черкасов О.Ю.)
Решить систему уравнений Замена
тогда
Решаем полученную систему способом подстановки:
, отсюда , тогда из уравнения
Получаем .
1) 2) - решения системы.
нет действит. корней
Рассмотренная система является симметричной относительно х и у (не изменится, если переменные поменять местами), тогда в ответе обязательно должны получиться точки, симметричные относительно прямой .
Ответ. .
№9 Метод неопределенных коэффициентов (Ткачук В.В.)
найти значение выражения .
Решение.
Система имеет бесконечное множество решений и поэтому однозначно найти значения неизвестных х, у и z не представляется возможным. Однако алгебраические суммы, составленные из неизвестных с некоторыми числовыми коэффициентами, подсчитать все же можно. В этом случае применяется метод неопределенных коэффициентов.
Если поставленная задача имеет решение, то найдутся такие числа и , что
,
Для того чтобы найти и , необходимо, раскрыв скобки, приравнять коэффициенты при неизвестных х, у и z, стоящих в левой и правой частях соответственно.
, группируем слагаемые при неизвестных
.
По определению тождественно равных многочленов коэффициенты при однородных слагаемых должны быть равны. Получаем систему уравнений, которым должны удовлетворять числа и :
тогда .
.
Ответ. 15.
_______________________________________________________________________________________________
После работы с решениями ( письменными презентациями на доске или компьютерными через проектор) и ответов на вопросы к докладчикам ученики фронтально отвечают на вопросы, заданные в начале урока.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Система упражнений по теме: "Уравнения и системы уравнений".
В данном пособии предложена система упражнений с решениями по теме : "Уравнения и системы уравнений" для учащихся старшей школы....
Индивидуальный образовательный маршрут. Показательные уравнения, неравенства и системы уравнений.
Содержит инструкцию по самостоятельному изучению темы, примеры, тексты самостоятельных и контрольной работ. Предназначен для...
Уравнения и системы уравнений
Элективный курс по алгебре в 9 классе по теме: "Уравнения и системы уравнений"....
![](/sites/default/files/pictures/2013/09/07/picture-268820-1378561741.jpg)
8 класс урок-зачёт по теме "Линейные уравнения и системы уравнений"
рассмотрены разные типы текстовых задач, которые решаются с помощью линейных уравнений и систем уравнений....
![](/sites/default/files/pictures/2013/10/27/picture-327761-1382872306.jpg)
Урок-зачет в 10 классе по теме «Тригонометрические уравнения, неравенства, системы уравнений»
Цель урока: Проверить знания и умение применений формул для решения тригонометрических уравнений.Вид работы: «Смотр знаний», состоящий из 5 этапов, проводится в течение двух уроков. За каждый эт...
Уравнения и системы уравнений. Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические уравнения и системы. Равносильность уравнений, неравенств, систем.
Уравнения и системы уравнений. Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические уравнения и системы. Равносильность уравнений, неравенств, систем....
Технологическая карта урока по алгебре 7 класс "Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными"
Данный урок был проведён в апреле 2021 года на районном семинаре учителей математики. Целевая аудитория - ученики 7 "б" класса, в классе 27 учащихся, класс разноуровневый, но у...