Обобщающий урок по математике на тему "Логарифмическая функция и ее приложения"
презентация к уроку по алгебре (11 класс) по теме

Приложение 1.

Звезды, шум и логарифмы

Здесь, казалось бы, связаны несоединимые вещи. Шум и звезды объединяются потому, что громкость шума и яркость звезд оцениваются одинаковым образом – по логарифмической шкале.

Астрономы делят звезды по степени яркости на видимые и абсолютные звездные величины – звезды первой величины, второй, третьей и т. д. Последовательность видимых звездных величин, воспринимаемых глазом, представляет собой арифметическую прогрессию. Но физическая их яркость изменяется по иному закону: яркости звезд составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Легко понять, что «величина» звезды представляет собой логарифм ее физической яркости. Оценивая яркость звезд, астрономы оперируют таблицей логарифмов, составленной при основании 2,5.

Аналогично оценивается и громкость шума. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и на производительность труда побудило выработать приемы точной числовой оценки громкости шума. Единицей громкости служит «бел», но практически используются единицы громкости, равные его десятой доле, - так называемые «децибелы». Последовательность степени громкости 1 бел, 2 бела и т. д. составляют арифметическую прогрессию. Физические же величины, характеризующие шумы (энергия, интенсивность звука и др.), составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 10. Громкость, выраженная в белах, равна десятичному логарифму соответствующей физической величины. Рассмотрим несколько примеров: тихий шелест листьев оценивается в 1 бел, громкая разговорная речь – в 6,5 бела, рычанье льва – в 8,7 бел, шум Ниагарского водопада – 9 бел. Отсюда следует, что по силе звука разговорная речь превышает шелест листьев в 106,5-1=105,5=316000 раз, львиное рычанье сильнее громкой речи в 108,7-6,5=102,2=158 раз.

Логарифмы и ощущения

Ощущения, воспринимаемые органами чувств человека, могут вызываться раздражениями, отличающимися друг от друга во много миллионов и даже миллиардов раз. Удары молотка о скользкую плиту в сто раз громче, чем тихий шелест листьев, а яркость вольтовой дуги в триллионы раз превосходит яркость какой-нибудь слабой звезды, едва видимой в ночном небе. Но никакие физиологические процессы не позволяют дать такого диапазона ощущений. Опыты показали, что организм как бы «логарифмирует» полученные им раздражения, т. е. величина ощущения приблизительно пропорциональна десятичному логарифму величины раздражения. Как видим, логарифмы вторгаются и в область психологии.

Завещание на сотни лет

Известно завещание знаменитого американского государственного деятеля Бенджамина  Франклина. Вот отрывок из него.

«Препоручаю тысячу фунтов стерлингов бостонским жителям. Если они примут эту тысячу фунтов, то должны поручить ее отборнейшим гражданам, а они будут давать их с процентами, по5 на сто в год, в заем молодым ремесленникам. Сумма эта через сто лет возвысится до 131000 фунтов стерлингов. Я желаю, чтобы тогда 100000 фунтов были употреблены на постройку общественных зданий, остальные же 31000 фунтов были отданы в проценты на 100 лет. По истечению второго столетия сумма возрастет до 4060000 фунтов стерлингов, из коих 1060000 фунтов оставляю в распоряжение бостонских жителей, а 3000000 – правлению Массачусетской общины. Далее не осмеливаюсь простирать своих видов».

Оставляя всего 1000 фунтов, Франклин распределяет миллионы. Математический расчет показывает, что соображения завещателя вполне реальны. 1000 фунтов, увеличиваясь в 1,05 раза, через 100 лет должны превратиться в

Это выражение можно вычислить с помощью логарифмов

Далее 31000 фунтов в течение следующего столетия превращается в сумму

откуда, вычисляя с помощью логарифмов, находим

Логарифмическая спираль

Безобидная воронка, образованная вытекающей из ванны водой; свирепый смерч, опустошающий все на своем пути; величественный круговорот гигантского космического вихря туманностей и галактик – все они имеют форму спиралей.

Рассмотрим еще одну удивительную спираль, которую нарисуют три светлячка. Пусть находящиеся друг от друга на равном удалении, т. е. в вершинах правильного треугольника, жучки А, В и С решили познакомиться друг с другом. А направился прямиком  к В, В – к С, С – к А. Путешествуя с постоянной скоростью, в любой момент времени светлячки будут располагаться в вершинах правильного треугольника, подобного исходному. Каждый светлячок при этом очертит дугу логарифмической спирали. 

Логарифмическая спираль описывается уравнением

Впервые о логарифмической спирали говорится в одном из писем французского математика Рене Декарта в 1638г. Увидеть ее можно, например, в витках раковины. Семена в корзине подсолнуха также располагаются по кривым, близким к дугам логарифмической спирали.

Одно из замечательных свойств логарифмической спирали состоит в том, что произвольный луч, выходящий из ее полюса, пересекает любой виток спирали под одним и тем же углом. Это свойство применяется в режущих машинах. Вращающиеся ножи соломорезки имеют профиль, очерченный по логарифмической спирали. Угол резания такого механизма постоянен вдоль всей кромки подвижного ножа.

Оказывается, трубу, подводящую струю воды к лопастям турбинного колеса на гидроэлектростанции, также следует заворачивать по логарифмической спирали. Тогда потери энергии движущейся воды будут минимальными.

Логарифмическая спираль – кривая «с твердым характером». Она не изменяет своей  природы при многих преобразованиях, к которым чувствительны другие кривые. Сжать или растянуть эту спираль относительно ее полюса – то же самое, что повернуть ее на определенный угол. Свойства логарифмической спирали так глубоко поразили швейцарского математика Якоба Бернулли, что он завещал высечь ее на своем надгробье, сопроводив изображение латинской фразой «Eadem mutata resurgo» - «Измененная, возрождаюсь прежней».