Урок обобщения и систематизации знаний "Системы счисления"
методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме

Обобщающий урок по теме "Системы счисления"

Сороколетова О.П., учитель математики и информатики, МБОУ «Краснобаррикадная СОШ»

Цели урока: 

1. Образовательная – закрепление, обобщение, систематизация знаний учащихся, в том числе с использованием нестандартных заданий.
2. Воспитательная - повышение мотивации учащихся путем использования нестандартных задач.
3. Развивающая – развитие мышления учащихся при помощи логических задач.

Оборудование:

1. Компьютер
2. Мультимедийный проектор
3. Экран
4. Презентация 
5. Раздаточный материал.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Оформление кабинета: на экране, во время проведения урока, демонстрируется презентация

План урока: 

1. Организационный момент.
2. Проверка домашней работы.
3. Работа с классом.
4. Решение задач.
5. Самостоятельная работа.
6. Подведение итогов урока.
7. Домашнее задание.

Ход урока

I. Организационный момент

Учитель: Здравствуйте, ребята! В начале XVIII века по просьбе великого немецкого ученого Готфрида Вильгельма6+ Лейбница, внесшего большой вклад в становление информатики, была выбита медаль, по краю которой шла надпись: “Чтобы вывести из ничтожества всё, достаточно единицы”. Как вы считаете, чему была посвящена эта медаль? (двоичная система счисления).

Сегодня у нас заключительный урок по теме “Системы счисления”. Мы повторим, обобщим и приведем в систему изученный материал.

Ваша задача – показать свои знания и умения в процессе выполнения различных заданий.

Для спортивного интереса  - разделимся на две группы

II. Основная часть

1. Определите в какой системе счисления ведется рассказ. (слайд 5,6,7)

«Необыкновенная девочка»

Ей было тысяча сто лет,
Она в сто первый класс ходила,
В портфеле по сто книг носила –
Все это правда, а не бред.
Когда, пыля десятком ног,
Она шагала по дороге,
За ней всегда бежал щенок
С одним хвостом, зато стоногий.
Она ловила каждый звук
Своими десятью ушами,
И десять загорелых рук
Портфель и поводок держали.
И десять темно-синих глаз
Рассматривали мир привычно…
Но станет все сейчас обычным,
Когда поймете мой рассказ

(А.Н.Стариков)

3. Анимированный рисунок (слайд 6)

Решение (слайд 7)

Выпишем упомянутые в стихотворении числа: 1, 10, 100, 101,1100. Все встречаемые цифры – 0 или 1. Если предположить, что зашифровано разложение по степеням двойки, то получим:

«Ей было тысяча сто лет» – 1100 = 1 . 23 + 1 . 22 = 8 + 4 = 12 лет
«Она в сто первый класс ходила» – 101 = 1 . 22 + 1 = 4 + 1 = 5 класс
«…пыля десятком ног» – 10 = 21 = 2 ноги
«С одним хвостом, зато стоногий» – 1 = 20 = 1, 100 = 22 = 4 ноги
и т.д. разобранное число 10.

Ответ: двоичная с/с.

4. Работа по карточкам (по 1 ученику из группы)  (слайд 8)

                           Итоги работы по карточкам (слайды 19,20)

5. Работа с классом: перевод чисел из одной системы счисления в другую.( слайд 9)

6. Проверка домашнего задания

Перевод чисел из одной системы счисления в другую с помощью  программы  Microsoft  Office Excel.

7. Перевод чисел из одной системы счисления в другую (другие способы)

1. Метод разностей: берем ближайшую к переводимому числу степень числа 2 и составляем разность: 73 – 64 = 9

Затем находим следующую разность: 9 – 8 = 1

В итоге получаем: 73 = 64 + 8 + 1 = 1001001

2. Схема Горнера (задание на дом) ( работа на виртуальной доске –слайд 11)

8. Проверка теоретических знаний (слайд 12)

1. Дать определение системы счисления
2. Виды систем счисления (позиционные и непозиционные)
3. В какой системе счисления «12» записывается как «С»? (16-ная, q>=12)
4. Сколько цифр в троичной системе счисления? (3)
5. Какая система счисления используется в компьютере в качестве основной? (двоичная)
6. Как называется позиция цифры в числе? (разряд)

9. Практическая часть  - решение задач Задачи (слайды 13,14,15)

1. В саду 100q плодовых кустарников, из них 33q куста малины, 22q куста смородины красной, 16q кустов черной смородины и 17q кустов крыжовника. В какой системе счисления подсчитаны деревья?

Решение:

100q = 33q + 22q + 16q + 17q 
Составим уравнение, согласно правилам записи чисел в позиционных системах счисления
q2  = 3q + 3+2q + 2+1q + 6 + 1q + 7
q2  -  7q – 18 = 0
q = 9 или q = -2 (посторонний корень, т.к. q > 0)
всего кустарников – 81
малины – 30
смородины красной – 20
смородины черной – 15
крыжовника – 16

Ответ. Система счисления – , q = 9.

2. Было 53q груши. После того как каждую из них разрезали пополам, стало 136q половинок. В системе счисления с каким основанием вели счёт?

Решение:

             53q * 2 = 136q 

             (5q + 3) * 2 = q2  + 3q + 6

             q2  -7q = 0

q = 7 или q = 0 (посторонний корень, т.к. q > 0)

Ответ. Система счисления – семеричная.

3. «В классе 36q учеников, из них 21q девочка и 15q мальчиков. В какой системе счисления велся отсчет?»

Решение:

36q = 21q + 15q 
Составим уравнение, согласно правилам записи чисел в позиционных системах 3q + 6 = 2q + 1 + q + 5
Как видно, оно не имеет однозначного математического решения, логически подбираем корни уравнения

1. Основание системы счисления не может быть меньше 6 ( т.к. при записи чисел используется цифра 6)
2. Предположим оно равно 7, тогда 3 . 7 + 6 = 2 . 7 + 1 + 7 + 5 равенство выполняется ? это решение верно.
3. Аналогично можно рассуждать для любой системы счисления, основание которой больше 7 .

Ответ: q > 7.

4. «Отгадывая целое число, задуманное в промежутке от 1 до 100 можно задавать вопросы, на которые получаете ответы «да» или «нет». Сколько вопросов минимально необходимо задать, чтобы отгадать это число»

Решение:

Поскольку дана возможность использовать ответы «да» или «нет», то логично предположить, что для кодирования можно использовать двоичную систему счисления. Любое натуральное число от 1 до 100 можно записать при помощи 7 знаков в двоичной системе счисления.

Ответ. Минимально достаточно задать 7 вопросов.

5. «В пробирку посадили некоторое одноклеточное животное, которое размножается делением пополам каждую секунду. Через 16 секунд пробирка оказалась полной. Определить сколько времени понадобилось, чтобы заполнить половину пробирки. Сколько «жителей» было в пробирке через 7 секунд?»

Решение:

Для заполнения половины пробирки понадобится t – 1 секунда, при условии удвоения особей, то есть 15 секунд. Через 7 секунд в пробирке было 27 особей. То есть 128 штук.

Ответ: 15 секунд, 128 штук.

10. Практическая работа на компьютере. Используя приложение Калькулятор OC Windows заполнить таблицу (слайд 17)
11. Подведение итогов урока. Выставление оценок
12. Домашнее задание (слайд 18)

1.«Какое наименьшее число гирь потребуется для взвешивания любого предмета, масса которого равна целому числу фунтов от 1 до 40. Гири разрешено складывать на одну чашу весов». (Задача де Мезириака)

Решение:

Любое натуральное число от 1 до 63 можно записать при помощи 6 знаков в двоичной системе счисления. Массе гирьки соответствует позиционный вес цифры в двоичном числе. (1 – гирька используется, 0 – нет).

Ответ. Гирьки выбираются массой: 1, 2, 4, 8, 16, 32 грамма.

2. «Трехзначное десятичное число начинается с 1, если поменять местами старший и младший разряды, то вновь полученное число будет меньше усемеренного исходного на 48. Найти исходное число».

Решение:

Исходное число – 1XY
Новое число – YX1
Соотношение 7 . (1XY) = YX1 + 48 где X, Y – цифры числа
Представляем уравнение в виде разрядных слагаемых:
7(102 + X . 101 + Y . 100) = Y . 102 + X . 101 + 1 . 100 + 4 . 101 + 8 . 100
7 . 102 + 7 . X . 101 + 7 . Y . 101 – 1 многочлен
Y . 102 + (X + 4) . 101 + (1 + 8) . 100 – 2 многочлен
если равны многочлены, то равны и соответствующие коэффициенты
1) начиная с младшего разряда 7 . Y = 9 + p . 10, где p = 0 6, это возможно только при Y = 7, p = 4
2) 7 . X + p = X + 4
7 . X + 4 = X + 4
7 . X = X при X = 0

Ответ. Исходное число – 107.

3. «Шестизначное десятичное число начинается слева с 1, если переместить ее в младший разряд, то новое число будет втрое больше исходного. Найти исходное число».

Решение:

Исходное число – 1ABCDE
Новое число – ABCDE1
Соотношение 1ABCDE . 3 = ABCDE1, где A, B, C, D, E – цифры числа
Представляем уравнение в виде разрядных слагаемых:
(1 . 105 + A . 104 + B . 103 + C . 102 + D . 101 + E . 100) . 3 = A . 105 + B . 104 + C . 103 + D . 102 + E . 101 + 1 . 100
если равны многочлены, то равны и соответствующие коэффициенты

1) начиная с младшего разряда 3 . E = 1 + p . 10, где p = 0 2, в данном случае это возможно только при E = 7, p = 2

2) для разряда десятков

3 . D + p = E + p1 . 10, где p1 = 0 2
3 . D + 2 = 7 + p1 . 10 это возможно только при D = 5 p1 = 1

3) для разряда сотен

3 . C + p1 = D + p2 . 10, где p2 = 0 2
3 . C + 1 = 5 + p2 . 10 это возможно только при C = 8 p2 = 2

4) для разряда тысяч

3 . B + p2 = C + p3 . 10, где p3 = 0 2
3 . B + 2 = 8 + p3 . 10 это возможно только при B = 2 p3 = 0

5) для разряда десятков тысяч

3 . A + p3 = B + p4 . 10, где p4 = 0 2
3 . A + 0 = 2 + p5 . 10 это возможно только при A = 4 p5 = 1

Все логические предположения о пригодности коэффициентов делаются на основании таблицы умножения.

Ответ. Исходное число – 142857.

13. Итоги работы по карточкам (слайды 18,19)
14. Дополнительные вопросы  (слайды 21,22)

1. Информация в ЭВМ кодируется … (в двоичной системе счисления)

2. Система счисления – это… (совокупность приемов и правил записи чисел с помощью определенного набора символов)

3. Системы счисления делятся на … (позиционные и непозиционные)

4. Двоичная система счисления имеет основание (2)

5. Для записи чисел в системе счисления с основанием 8 используют цифры … (от 0 до 7).

6. Для записи чисел в системе счисления с основанием 16 используют цифры … (от 0 до 9 и буквы А, В, С, D, E, F)

7. Один бит содержит (0 или 1)

8. Один байт содержит (8 бит)

9. Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа:

А) 125 (р=6)        Б) 228 (р=9)       В) 11F (р=16)

10. Назовите наибольшее двузначное число для следующих систем счисления

А) двоичной (11)    Б) троичной (22)  В) восьмеричной (77)
                             Г) двенадцатеричной (ВВ)

11. Какие числа не существуют в данных системах счисления?

А) 1105, 2015, 1155, 101115, 615 (1155, 615)
     Б) 15912, 7АС12, АВ12, 90812 (7АС12)
     В) 888, 20118, 56708, А18 (888, А18)

Историческая справка

Приведем цитату замечательного французского математика и естествоиспытателя Б.Паскаля: «Десятичная система счисления построена довольно неразумно, конечно, в соответствии с людскими обычаями, а вовсе не требованиями естественной необходимости, как склонны думать большинство людей».

Любобытно, что в 1862 г. американский инженер Дж. Нистром писал: «Я не боюсь и ничуть не колеблюсь выступить в защиту двоичной системы в арифметике. Я знаю, что на моей стороне природа. Если мне не удастся убедить вас в ее полезности и чрезвычайной важности для человечества, это не делает чести нашему поколению, нашим ученым и философам».

Любопытный курьез: шведский король Карл ХII в 1717г. увлекался восьмеричной системой счисления, считая ее более удобной, чем десятичная, и намеревался королевским указом ввести ее как общегосударственную. Неожиданная смерть помешала осуществлению столь необычного намерения.

Официальное рождение 2-й системы связывают с именем Г.В.Лейбница: в 1703 г. он опубликовал статью, в которой изложил правила действия над 2-ичными числами.

 Так, по его предложению Я. Бернули пытался отыскать закономерности в последовательности числа ПИ. До начала 30-х годов 2-чная арифметика оставалась вне поля зрения прикладной математики.

Стоит отметить, что двоичная система счисления издавна была предметом пристального внимания многих ученых. Вот что писал П.С.Лаплас об отношении великого немецкого математика Г.В.Лейбница к двоичной (бинарной) системе: «В своей бинарной арифметике Лейбниц видел прообраз творения. Ему представлялось, что единица представляет божественное начало, а нуль – небытие и что высшее существо создает все сущее из небытия точно таким же образом, как единица и нуль в его системе выражают все числа». Эти слова подчеркивают удивительную универсальность алфавита, состоящего всего из двух символов.

 Утверждение двоичной арифметики в качестве общепринятой основы при ЭВМ с программным управлением состоялось под влиянием работы Дж. Фон Неймана о проекте первой ЭВМ с хранимой в памяти программой. Работа написана в 1946г.