Поготовка к ГИА. Решение текстовых задач.
методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме

Составитель: Бычко Г.М.,учитель математики высшей категории

МБОУ «Основая общеобразовательная школа пгт. Парма» г. Усинск Республика Коми

Тема: Подготовка к ГИА. Решение текстовых задач.

Задача №1

Велосипедист едет сначала 3 минуты с горы, а затем 9 минут в гору. Обратный путь он проделывает за 12 минут. При этом в гору велосипедист едет всегда с одной и той же скоростью, а с горы – с большей, но также всегда одинаковой скоростью. Во сколько раз скорость движения велосипедиста с горы больше, чем его же скорость в гору?

Решение:

Пусть    м/мин скорость велосипедиста с горы,  м/мин скорость велосипедиста в гору, тогда 3 (м) длина спуска, 9 (м) длина подъема  (мин) велосипедист потратил на обратном пути на путь с горы, и   (мин) – потратил на путь в гору. Известно, что на обратный путь он потратил 12 мин

Уравнение: +=12

                     +=4

Обозначим =k, тогда k+=4

                    -4k+3=0

                    D=-=4

                   ==1;    ==3

Т.к.     =k, то =1 (не удовлетворяет условию задачи, т.к. скорость велосипедиста с горы больше, чем скорость велосипедиста в гору), значит =3

Ответ: 3

Задача №2

Велосипедист едет сначала 8 минут с горы, а затем 12 минут в гору. Обратный путь он проделывает за 35 минут. При этом в гору велосипедист едет всегда с одной и той же скоростью, а с горы – с большей, но также всегда одинаковой скоростью. Во сколько раз скорость движения велосипедиста с горы больше, чем его же скорость в гору?

Решение:

Пусть    м/мин скорость велосипедиста с горы,  м/мин скорость велосипедиста в гору, тогда 8 (м) длина спуска, 12 (м) длина подъема  (мин) велосипедист потратил на обратном пути на путь с горы, и   (мин) – потратил на путь в гору. Известно, что на обратный путь он потратил 12 мин

Уравнение: +=35

Обозначим =k, тогда 8k+=35

                    8-35k+12=0

                    D=-=1225-384=841

                   ==;   ==4

Т.к. скорость велосипедиста с горы больше, чем скорость велосипедиста в гору, то =4

Ответ: 4

Задача №3

Два велосипедиста одновременно отправились в 153-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на 8 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 8 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым.

Решение:

Известно, что второй велосипедист был в пути на 8 часов больше, чем первый.

Уравнение:

                    -=8, где x≠0, x≠-8

                     153(x+8)-153x=8x(x+8)

                     153x+1224-153x=8+64x

                      8+64x-1224=0

                     +8x-153=0

                     =16+153=169

                      = -4-13= -17 (не удовлетворяет условию задачи);

                      = -4+13=9, значит 9 км/ч скорость второго велосипедиста

                      9+8=17 (км/ч) скорость первого велосипедиста

Ответ: 17 км/ч.

Задача №4

Велосипедист отправился с некоторой скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 88 км. Возвращаясь из В в А, он ехал поначалу с той же скоростью, но через один час пути вынужден был сделать остановку на 15 мин. После этого он продолжил путь в А, увеличив скорость на 2 км/ч, и в результате затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.

Решение:

Известно, что велосипедист на обратном пути делал остановку на 15 мин = ч

Уравнение:

                 , где x≠0, x≠-2

                   352(x+2)-4x(88-x)-5x(x+2)=0

352x+704-352x+4-10x=0

--10x+704=0

+10x-704=0

=25+704=729

=-5-27= -32 (не удовлетворяет условию задачи);

=-5+27=22, значит 22 км/ч скорость велосипедиста на пути из А в В.

Ответ: 22 км/ч.

Задача №5

Четыре бригады должны были разгрузить вагон с продуктами. Вторая, третья и четвертая бригада вместе могут выполнить эту работу за четыре часа, первая, третья и четвертая- за четыре часа. Если же будут работать только первая и вторая бригады, то вагон будет разгружен за шесть часов. За какое время могут разгрузить вагон все четыре бригады, работая вместе.

Решение:

Весь объем работы обозначим за 1.

Пусть x- производительность первой бригады,

y- производительность второй бригады,

z- производительность третьей бригады,

t- производительность четвертой бригады.

По условию задачи составим систему уравнений:

               y+z+y+t=,

               x+z+t=,

                x+y=;

2(x+y+z+t)=

x+y+z+t=- это производительность всех четырех бригад, когда они работают одновременно.

1: (часа) потребуется четырем бригадам, работая вместе, чтобы разгрузить вагон.

Ответ:  часа.

Задача №6

Катер рыбнадзора патрулирует участок реки длиной 240 км. Скорость течения реки 2 км/ч. Найдите скорость катера в стоячей воде, если по течению катер проходит патрулируемый участок на 2 часа быстрее, чем против течения.

Решение:

Пусть x км/ч скорость катера в стоячей воде

Известно, что патрулируемый участок катер против течения реки проходит на 2 часа медленнее, чем по течению реки.

Уравнение:

-=2, где x≠-2, x≠2

-=1

120(x+2)-120(x-2)=(x+2)(x-2)

120x+240-120x+240=-4

-484=0

(x-22)(x+22)=0

x=22 или x=-22 (не удовлетворяет условию задачи)

22 км/ч скорость катера в стоячей воде

Ответ: 22 км/ч

Задача №7

На путь по течению реки катер потратил 1 час и проплыл 15 км. На обратный путь катер затратил 90 минут. Найдите собственную скорость катера и скорость течения реки (в км/ч).

Решение:

Пусть x км/ч собственная скорость катера,

y км/ч скорость течения реки.

Известно, что на путь по течению реки катер потратил 1 час, а на обратный путь катер потратил 90 минут=часа.

Уравнение:

                 =1,

                 =;

                  x+y=15,

                  3(x-y)=30;

                   x+y=15,

                   x-y=10;

                  2x=25

                  x=12,5

                  12,5 км/ч собственная скорость катера

                  y=15-12,5=2,5

                  2,5 км/ч скорость течения реки

Ответ: 12,5 км/ч, 2,5 км/ч

Задача №8

Спортсмен проплыл на байдарке против течения некоторое расстояние. Затем час отдохнул и вернулся обратно. Все путешествие заняло 4,5 часа. Определите, на сколько км от исходной точки удалился спортсмен, если скорость течения реки составляет 3 км/ч, а собственная скорость байдарки составляет 7 км/ч.

Решение:

Известно, что спортсмен отдыхал 1 час и все  путешествие заняло 4,5 часа.

Уравнение:

+=4,5

+=

2x+5x=70

7x=70

x=10, значит на 10 км от исходной точки удалился спортсмен.

Ответ: 10 км.

Задача №9

На соревнованиях по кольцевой трассе один лыжник проходит круг на 3 минуты быстрее другого и через час обогнал ровно на круг. За сколько минут каждый лыжник проходил круг?

Решение:

Пусть за x минут проходил круг первый лыжник, тогда за (x+3) минуты проходил круг второй лыжник.

 кругов проходил первый лыжник за час,

 кругов проходил второй лыжник за час.

Известно, что второй лыжник обогнал первого ровно на один круг.

Уравнение:

-=1, где x≠0, x≠-3

60(x+3)-60x=x(x+3)

60x+180-60x=+3x

+3x-180=0

 (не удовлетворяет условию задачи);

За 12 минут проходил круг первый лыжник, второй лыжник проходил круг за 12+3=15 (минут).

Ответ: 12 минут, 15 минут.

Задача №10

На соревнованиях по кольцевой трассе один лыжник проходил круг на 2 минуты быстрее другого и через час обогнал его ровно на круг. За сколько минут каждый лыжник проходил круг?

Решение:

Пусть за x минут проходил круг второй лыжник, тогда за (x-2) минуты проходил круг первый лыжник.

 кругов проходил второй лыжник за час,

 кругов проходил первый лыжник за час.

Известно, что первый лыжник обогнал второго ровно на один круг.

Уравнение:

-=1, где x≠0, x≠2

60x-60(x-2)=x(x-2)

60x-60x+120=-2x

-2x-120=0

=1+120=121

=1-11= -10 (не удовлетворяет условию задачи);

=1+11=12

За 12 минут проходил круг второй лыжник, за 12-2=10 (минут) проходил круг первый лыжник.

Ответ: 10 минут, 12 минут.

Задача №11

Из пункта А в пункт В, расположенный в 24 км от А, одновременно отравились велосипедист и пешеход. Велосипедист прибыл в пункт В на 4 часа раньше пешехода. Известно, что если бы велосипедист ехал с меньшей на 4 км/ч скоростью, то на путь из А в В он затратил бы вдвое меньше времени, чем пешеход. Найдите скорость пешехода.

Решение:

Известно, что велосипедист прибыл в пункт В на 4 часа раньше пешехода,

тогда -=4

Известно, что велосипедист на путь из А в В он затратил вдвое меньше времени,

тогда =

Решим систему уравнений:

              -=4,             -=1,                6y-6x=xy,              6y-6x=xy,            

              =;              =;            2x=y-4;                  y=2x+4;

         6(2x+4)-6x=x(2x+4)

         12x+24-6x=2+4x

          2-2x-24=0

          -x-12=0

         =-3 (не удовлетворяет условию задачи);

         =4

4 км/ч скорость пешехода.

Ответ: 4км/ч.

Задача №12

Две машинистки, работая вместе, могут напечатать 22 страницы текста за 1 ч. Чтобы напечатать 120 страниц текста, первая машинистка потратит 2 ч больше, чем вторая. За сколько часов первая машинистка сможет напечатать 300 страниц?

Решение:

Пусть x страниц печатает за час первая машинистка, тогда (22 – х) страницы за час печатает 2 машинистка.

За часов напечатает первая машинистка 120 страниц, а за часов напечатает вторая машинистка 120 страниц.

Известно, что первая машинистка напечатала текст на 2 часа дольше, чем вторая.

Уравнение:

                             -  = 2, где x , x

 - = 1

60(22 – х) – 60х = х (22 – х)

1320 – 60х – 60х = 22х – х2

х2 – 142х + 1320 = 0

D1 = (-71)2  – 1320 = 5041 – 1320 = 3721

= 71 – 61 = 10;

 = 71 + 61 = 132 (не удовлетворяет условию задачи)

10 страниц за час печатает первая машинистка

За = 30 (часов) сможет напечатать 300 страниц первая машинистка.

Ответ: 30 часов.

Задача №13

Два оператора, работая вместе, могут набрать 40 страниц текста за 1 час. Работая отдельно, первый оператор на набор 90 страниц этого текста тратит на 5 часов больше, чем второй оператор на набор 25 страниц. За сколько часов второй оператор сможет набрать 275 страниц этого текста?

Решение:

Пусть x страниц набирает за час второй оператор, тогда (40 – х) страниц за час набирает первый оператор.

За часов наберет второй оператор 25 страниц, а за часов наберет первый оператор 90 страниц.

Известно, что первый оператор тратит на 5 часов больше, чем второй.

Уравнение:

  -  = 5, где x , x

 - = 1

18х – 5(40 – х)= х(40 – х)

18х – 200 + 5х = 40х – х2

х2 – 17х – 200 = 0

D1 = (-17)2  + 800 = 1089

= =-8 (не удовлетворяет условию задачи);

= =25

25 страниц набирает за час второй оператор.

За 275:25=11(часов) второй оператор сможет набрать 275 страниц этого текста.

Ответ: 11 часов.

Задача №14

Цена на товар была дважды снижена на одно и то же число процентов. На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 2000 р, а окончательная – 1805 рублей?

Решение:

Пусть на x % снизили цену товара первый раз, тогда

товар стал стоить (1 – 0,01х)руб. После снижения цены 2 раз на x % товар стал стоить (1 – 0,01х) (1 – 0,01х) руб.

Известно, что товар стал стоить 1805 рублей.

Уравнение:

 (1 – 0,01х) (1 – 0,01х)  = 1805

(1 – 0,01х)2 = 1805

(1 – 0,01х)2 =

(1 – 0,01х)2 =

(1 – 0,01х)2 = , т.к. 1 – 0,01х > 0, то

1 – 0,01х =

1 – 0,01х = 0,95

0,01х = 0,05

х = 5, значит на 5% снижалась цена товара каждый раз.

Ответ: 5%.

Задача №15

Цена телевизора в магазине ежегодно уменьшается на один и тот же процент по сравнению с предыдущим годом. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена телевизора, если, выставленный на продажу за 40000 рублей, через два года он был продан за 22500 рублей.

Решение:

Пусть на x % снизили цену телевизора первый раз, тогда

телевизор стал стоить (1 – 0,01х)руб. После снижения цены 2 раз на x % телевизор стал стоить (1 – 0,01х) (1 – 0,01х) руб.

Известно, что телевизор стал стоить 22500 рублей.

Уравнение:

(1 – 0,01х) (1 – 0,01х)  = 22500

(1 – 0,01х)2 = 22500

(1 – 0,01х)2 =

(1 – 0,01х)2 =

(1 – 0,01х)2 = , т.к. 1 – 0,01х > 0, то

1 – 0,01х =

1 – 0,01х = 0,75

0,01х = 0,25

х = 25, значит на 25% каждый год уменьшалась цена телевизора.

Ответ: 25%.

Задача №16

Один автомобиль проходит в минуту на 200 м больше, чем другой, поэтому затрачивает на прохождение одного километра на 10 с меньше. Сколько километров в час проходит каждый автомобиль?

Решение:

200 м/мин = 200м/час=12000 м/час = 12 км/час

10 секунд = час

Известно, что второй автомобиль затрачивает на 1 км пути на  часа меньше, чем первый автомобиль.

Уравнение:

  - =, где x, x

360(х+12) – 360х = х(х+12)

360х+4320 – 360х = х2+12х

х2+12х – 4320=0

D1=62+4320=4356

= -6 – 66=-72 (не удовлетворяет условию задачи);

= -6 + 66 = 60

60 км/ч проходит первый автомобиль

60+12=72 (км/ч) проходит второй автомобиль.

Ответ: 60 км/ч; 72 км/ч.

Задача №17

Двум землекопам было поручено вырыть канаву за 3 ч 36 мин. Однако второй приступил к работе тогда, когда первый уже вырыл треть канавы и перестал копать. В результате канава была вырыта за 8 ч. За сколько часов каждый землекоп может вырыть канаву один?

Решение:

3 часа 36 минут = ч = ч

Вся канава - 1

Известно, что оба землекопа выроют всю канаву за  часа, тогда

(+)=1

Известно, что если первый землекоп выроет треть канавы, а второй оставшуюся часть, то канава будет вырыта за 8 часов

Решим систему уравнений:

              (+)=1,     +=,           18(x+y)=5xy,           18(24-2y+y)=5(24-2y)y,

               ;         x+2y=24;               x=24-2y;                  x=24-2y;    

Найдем y:

432-18y=120y-10

10-138y+432=0

5-69y+216=0

D=(-69)-=4761-4320=441

;  

Найдем x:

;    

 Значит за 14,4 часа и 4,8 часа или за 6 и 9 часов каждый из землекоп может вырыть канаву один                      

Ответ: 14,4 часа, 4,8 часа или 6 часов, 9 часов.

Задача №18

60 деталей первый рабочий изготавливает на 3 часа быстрее, чем второй. За сколько часов второй рабочий изготовит 90 деталей, если работая вместе, они изготавливают за 1 час 30 деталей.

Решение:

Известно, что 60 деталей первый рабочий изготавливает на 3 часа быстрее, чем второй, значит -  = 3

Известно, что они изготавливают за 1 час 30 деталей, значит x+y=30

Решим систему уравнений:

           -  = 3,             -  = 1,        20x-20y=xy,            20(30-y)-20y=(30-y)y,

            x+y=30;                    x+y=30;                x=30-y;                    x=30-y;

Найдем y:

 600-20y-20y=30y-

-70y+600=0

D1 = (-35)2 – 600=1225-600=625

;

 (не удовлетворяет условию задачи)

10 деталей за час изготавливает второй рабочий.

За 90:10=9 (часов) второй рабочий изготовит 90 деталей.

Ответ: 9 часов.

Список использованной литературы

1. Л.В.Кузнецова, Е.А.Бунимович идр. Алгебра. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. М., Дрофа 2003.
2. Т.А.Корешкова, В.В. Мирошин, Н.В.Шевелева. Математика . Тренировочные задания. Г(И)А 2013 9 класс. М., Эксмо 2012.
3. Д.Д.Лаппо, М.А.Попов. Математика. Самостоятельная подготовка к ЕГЭ. М., Экзамен 2009.
4. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю,Кулабухова. Математика 9 класс. Подготовка к Г(И)А 2012. Ростов – на – Дону, Легион 2011.
5. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю,Кулабухова. Математика 9 класс. Подготовка к Г(И)А 2013. Ростов – на – Дону, Легион 2012.

6. А.В.Семенов, А.С.Трепалин, И.В.Ященко и др. Государственная итоговая аттестация выпускников 9 класса в новой форме. М., Интеллект – Центр 2012.
7. Полное издание типовых вариантов заданий ЕГЭ. Математика 2012 под общей редакцией А.Л Семенова, И.В.Ященко. М., Астрель 2011.