Программа и пособие элективного курса "нетрадиционные приемы умножения"
методическая разработка по алгебре (5 класс) по теме

Пособие  к элективному курсу

«Нетрадиционные приемы умножения»

Автор – составитель О.М. Богачева – учитель математики высшей категории, отличник народного просвещения.

Рецензенты: Г.А. Богомолова – доцент кафедры естественно – научного образования ГБОУДПО (ПК) С «Мордовского республиканского института образования» ;

М.А. Куканов - доцент кафедры естественно – научного образования ГБОУДПО (ПК) С «Мордовского республиканского института образования», кандидат физико - математических наук.

     Данное пособие призвано по возможности помочь всем, кому приходится иметь дело с вычислениями, предоставить в их распоряжение наиболее рациональные приемы умножения, существенно сокращающие вычислительный процесс. Пособие содержит оригинальные и нетрадиционные приемы умножения, способствующие развитию  у учащихся математического мышления ,сообразительности, памяти.

      Пособие может быть полезно учителям школ при организации элективных курсов и внеклассных мероприятий и предназначено  для читателей  с самой разнообразной степенью математической подготовки: для учащихся 5 – 6 классов, делающих первые попытки самостоятельных размышлений, для школьников старших  классов, увлеченных математикой, для взрослых, желающих усовершенствовать свои математические знания.

Тема: «Введение».

Цель: познакомить учащихся с задачами данного курса; выяснить отношение учащихся к предмету математики через анкетирование.

1) Беседа учителя.

Ну-ка, в сторону карандаши,

Ни костяшек, ни ручек, ни мела.

Устный счет! Мы творим это дело

Только силой ума и души.

Числа сходятся где-то во тьме,

И глаза начинают светиться.

И кругом - только умные лица,

Потому что считают в уме!

      «Математику уже за то любить следует, что она ум в порядок приводит» – говорил Михаил Ломоносов. Умение считать в уме остается полезным навыком и для современного человека, несмотря на то, что он владеет всевозможными устройствами, способными считать за него. Возможность  в нужный момент оперативно решить поставленную арифметическую задачу – это не единственное применение данного навыка. Умение считать в уме позволит вам научиться организовывать себя в различных жизненных ситуациях. Кроме того, умение считать в уме, несомненно, положительно скажется на имидже ваших интеллектуальных способностей и выделит вас среди окружающих «гуманитариев».

     Есть люди, которые умеют совершать несложные арифметические операции в уме. Умножить двузначное число на однозначное, перемножить 2  небольших  двузначных числа и т.д. – все эти действия они могут производить в уме и достаточно быстро, быстрее среднего человека. Часто этот навык оправдан необходимостью постоянного практического использования. Как правило, люди, которые хорошо считают в уме, имеют математическое образование или, по крайней мере, опыт решения многочисленных арифметических задач.

     Несомненно, опыт и тренировка играет важнейшую роль в развитии любых способностей. Но навык устного счета не опирается на один лишь опыт. Это доказывают люди, которые в отличие от вышеописанных, способны считать в уме гораздо более сложные примеры. Например, такие люди могут умножать и делить трехзначные числа, совершать сложные арифметические операции, которые не каждый человек и в столбик сможет посчитать.

     Что же необходимо знать и уметь обычному человеку, чтобы овладеть такой феноменальной способностью? На сегодняшний день существуют различные методики, помогающие научиться  быстро  считать в уме. Изучив многие подходы к обучению устному счету, можно выделить 3 основных составляющих данного навыка:

1. Способности. Способность концентрировать внимание и умение удерживать в краткосрочной памяти несколько вещей одновременно. Предрасположенность к математике и логическому мышлению.

2. Алгоритмы. Знание специальных алгоритмов и умение оперативно подобрать нужный, максимально эффективный алгоритм в каждой конкретной ситуации.

3. Тренировка и опыт, значение  которых  для любого навыка никто не отменял. Постоянные тренировки и постепенное усложнение решаемых задач позволят вам улучшить скорость и качество устного счета.

     Нужно отметить, что третий фактор имеет ключевое значение. Не обладая необходимым опытом, вы не сможете удивить окружающих быстрым счетом, даже если вы знаете самый удобный алгоритм. Однако не стоит недооценивать важность первых двух составляющих, поскольку  имея в своем арсенале способности и набор нужных алгоритмов, вы сможете «переплюнуть» даже самого опытного «счетовода», при условии, что вы тренировались одинаковое время.

2) Анкетирование.

Анкета:

1) Нравится ли тебе заниматься математикой?

2) Какие задания ты любишь выполнять на уроках математики:

А) устные задания;

Б) решать задачи;

С) решать примеры;

Г) решать уравнения;

Д) упрощать выражения?

3) Ты быстрее работаешь устно или письменно?

4) В каком арифметическом действии  (+, -, *, :)  ты допускаешь наибольшее количество ошибок?

5) Пользуешься ли ты при вычислениях таблицей умножения?

6) Возникает ли у тебя «страх», когда ты выполняешь умножение многозначных чисел?

7) Любишь ли ты заниматься с учителем на уроке устным счетом?

8) Применяешь ли ты рациональные способы вычислений?

9) Знаешь ли ты  какие - нибудь  нетрадиционные способы вычислений, которые позволяют тебе ускорить процесс вычислений?

10) Как быстро умножить число на 5; 50; 25?

11) Пользуешься ли ты при вычислениях  калькулятором?

Тема: «Как люди научились считать. Пальцевый счет».

Цель: познакомить учащихся с историей происхождения счета, как считали с помощью пальцев; прививать у учащихся интерес к математике.

1)Беседа учителя.

КАК ЛЮДИ НАУЧИЛИСЬ СЧИТАТЬ?

      Сколько тебе лет? Сколько у тебя друзей? Чтобы все подсчитать, нужно знать цифры. А как считали древние люди, которые их не знали?

      Давным-давно, многие тысячи лет назад, наши далекие предки жили небольшими племенами. Они бродили по полям и лесам, по долинам рек и ручьев, разыскивая себе пищу. Питались листьями, плодами и корнями  различных растений. Иногда ловили рыбу, собирали ракушки или охотились. Одевались в шкуры убитых зверей. Жизнь первобытных людей мало чем отличалась от жизни животных. Да и сами люди отличались от животных только тем, что владели речью и умели пользоваться простейшими орудиями труда: палкой, камнем или камнем, привязанным к палке.

      Первобытные люди, так же как и современные маленькие дети, не знали счета. Но теперь детей учат считать родители и учителя, старшие братья и сестры, товарищи. А первобытным людям не у кого было учиться. Их учителем была сама жизнь. Поэтому и обучение шло медленно.

      Наблюдая окружающую природу, от которой полностью зависела его жизнь, наш далекий предок из множества различных предметов сначала научился выделять отдельные предметы. Из стаи волков - вожака стаи, из стада оленей - одного оленя, из выводка плавающих уток - одну птицу, из колоса с зернами - одно зерно.

      Поначалу они определяли это соотношение как "один" и "много".

      Частые наблюдения множеств, состоявших из пары предметов (глаза, уши, рога, крылья, руки), привели человека к представлению о числе. Наш далекий предок, рассказывая о том, что видел двух уток, сравнивал их с парой глаз. А если он видел их больше, то говорил: "Много". Лишь постепенно человек научился выделять три предмета, ну а затем четыре, пять, шесть и т. д.

      Учиться считать требовала жизнь. Добывая пищу, людям приходилось охотиться на крупных зверей: лося, медведя, зубра. Охотились наши предки большими группами, иногда всем племенем. Чтобы охота была удачной, нужно было уметь окружить зверя. Обычно старший ставил двух охотников за берлогой медведя, четырех с рогатинами - против берлоги,  трех - с одной стороны и трех - с другой стороны берлоги. Для этого он должен был уметь считать, а так как названий чисел тогда еще не было, он показывал число на пальцах.

 И ноги, кстати сказать, сыграли немалую роль в истории счета, особенно когда люди начали обмениваться друг с другом предметами своего труда. Так, например, желая обменять сделанное им копье с каменным  наконечником на пять шкурок для одежды, человек клал на землю свою руку и показывал, что против каждого пальца его руки нужно положить шкурку. Одна пятерня означала 5, две- 10. Когда рук не хватало, в ход шли и ноги. Две руки и одна нога - 15, две руки и две ноги - 20.

     Проходили многие, многие годы. Менялась жизнь человека. Люди приручали диких животных, на земле появились первые скотоводы, затем и земледельцы. Постепенно росли знания людей, и чем дальше, тем больше увеличивалась потребность людей считать. Скотоводам приходилось пересчитывать свои стада, а при этом их счет мог уже идти сотнями, тысячами. Земледельцу надо было знать, сколько земли нужно засеять, чтобы прокормиться. Людям все чаще приходится сталкиваться с большими числами, запомнить которые трудно или даже невозможно. Нужно было придумать, как их записывать.

     И вот примерно 5 тысяч лет назад почти одновременно в разных странах - Вавилоне, Египте, Китае - родился способ записи чисел.    

     Сейчас мы пользуемся всего десятью цифрами, но с помощью этих десяти знаков можем записать любое число.

- Как это получается?

Возьмем число 189. Чтобы его получить, надо

189 = 1 сот. + 8 дес.  + 9 ед.

     Мы такое сложение выполняем в уме и обычно даже не думаем об этом. Каждое число состоит из ступенек единиц, десятков, сотен, тысяч и т.д. Математики называют такие ступеньки: разрядами.  Мы с вами считаем десятичными ступеньками - десятками.  Так вот около 5 тысяч лет назад люди додумались до того, что числа можно записывать по разрядам: отдельно единицы, отдельно десятки и т.д.

2) Выступления учащихся.

      Пальцевый счёт, счёт на пальцах— математические вычисления, осуществляемые человеком с помощью сгибания, разгибания или указывания пальцев рук (иногда и ног). Пальцы рук считаются самым первым счётным инструментом древнего человека с эпохи верхнего палеолита. Счёт на пальцах широко применялся в древнем мире и в средневековье. В настоящее время используется ограниченно, арабскими и индийскими торговцами на Среднем Востоке, в европейских странах — в примитивном виде преимущественно детьми или для отображения цифр жестами, ради убедительности в споре по мере перечисления аргументов, а также судьёй в боксе при отсчете секунд во время нокдауна.

1 учащийся:

Китайский счёт

     Китайский метод счёта основан на количестве и символике пальцев. Используя этот метод, на двух руках можно посчитать до 20. Стоит заметить, что в некоторых провинциях жесты могут отличаться.

0 — сложенный кулак;

1 — разжатый указательный палец;

2 — разжаты и растопырены указательный и средний пальцы;

3 — разжаты и растопырены указательный, средний и безымянный пальцы;

4 — кроме прижатого к ладони большого пальца, остальные разжаты;

5 — открытая ладонь;

6 — выпрямлены мизинец и большой палец, остальные — сжаты в кулак;

7 — большим палец вместе с указательным и средним сложены в щепоть;

8 — выпрямлены указательный и большой пальцы, остальные — сжаты в кулак;

9 — указательный и большой изогнуты в виде буквы «С», остальные — сжаты в кулак;

10 — три варианта. Первый: рука сжимается в кулак; второй: указательные пальцы обеих рук пересекаются; третий: выпрямленный средний палец заводится за выпрямленный указательный, остальные — сжаты в кулак.

Древнекитайская позиционная десятичная система счёта по двум рукам является наиболее сложной из существующих подобных, но при всём том позволяет показать числа от 1 до

99 999 999. На обеих руках фалангам каждого пальца задаются цифровые значения от 1 до 9: причём задействуется пространство как посреди фаланги, так и по бокам. Роль указателя играют ногти больших пальцев. Каждый палец имеет собственную разрядность, как на абаке: указательный палец правой руки — означает единицы, средний палец — десятки, безымянный — сотни и т. д. Переход от пальца к пальцу характеризуется последовательным повышением разряда. Пропуск имеет значение нуля.

2 учащийся:

Японский счёт

     В Японии счёт начинается с открытой ладони. Поджатый большой палец представляет число 1, мизинец является числом 5. Таким образом, пальцы, сложенные в кулак, указывает на число 5. Затем совершается обратное действие: число 6 обозначается разжатым мизинцем. Возврат к открытой ладони означает число 10. Однако, чтобы показать цифры другим собеседникам, используется тот же порядок, что в английской или русской традиции: выпрямленный указательный палец становится номером 1, большой палец теперь представляет число 5. Для чисел свыше пяти соответствующее количество выпрямленных пальцев другой руки прижимаются к раскрытой ладони первой. Например, число 7 отображают указательный и средний палец. Число 10 изображается двумя раскрытыми к собеседнику ладонями.

3 учащийся:

Арабско-восточноафриканский счёт

     В течение длительного времени на территории Арабского халифата и стран, возникших после его распада, в торговых операциях использовался римский пальцевый счёт, ещё в XIV веке арабские и персидские документы свидетельствуют о хорошем знании арабами римской системы счёта, сходной с той, которая была записана Бедой Достопочтенным в Европе начала VIII века. Особенностью этого счисления стала смена рук, означающих десятки и сотни, в соответствии с системой арабского письма справа-налево. Таким образом, правая рука стала означать сотни, а левая — единицы и десятки. Впоследствии, на восточных базарах и в портах Красного моря и восточного побережья Африки, торговцы выработали собственный оригинальный математический язык жестов. Покупатель и продавец, во избежании нечистоплотных посредников, конкурентов и нежелательных свидетелей, тайно договариваются о цене, накрыв свои руки тканью и касаясь ладоней друг друга по определённым правилам.

Прикосновение к вытянутому указательному пальцу продавца, в зависимости от цены и используемых денежных единиц, будет означать 1, 10 или 100. Одновременное прикосновение к двум, трём или чётырём пальцам продавца будет означать соответственно 2 (20, 200), 3 (30, 300) или 4 (40, 400). Касание открытой ладонью указывает на число 5, 50 или 500. Дотронуться до мизинца означает 6, 60 или 600, безымянный палец — 7, 70 или 700, средний палец — 8, 80 или 800, согнуть указательный палец — 9, 90 или 900, коснуться Большого пальца — 10, 100 или 1000. При этом счислении может соблюдаться последовательность числовых степеней, например число 78 задаётся касанием безымянного пальца продавца, а затем — его среднего пальца. Постукивание по указательному пальцу продавца в направлении от среднего сустава к кончику пальца — предложение о снижении цены вдвое (1/2), на четверть (1/4) или на восьмую часть (1/8) от первоначальной. Постукивание по указательному пальцу от основания пальца до его среднего сустава — будет являться надбавкой половины (1/2) от предложенной цены, или 1/4, или 1/8. Если перед указанием дробной степени указывается целое число, то оно умножается на дробную степень.

4 учащийся:

Английский счёт

     В англоязычных странах счёт до 5 ведётся  разжатием  пальцев, первоначально собранных в кулак, начиная с указательного пальца, и продолжается до мизинца (число 4). Разжатый большой палец указывает на число 5. Аналогичным образом процесс счёта продолжается на другой руке для чисел от 6 до 10. Например, число 7 указывается открытой ладонью с растопыренными пальцами одной руки и разжатыми указательным и средним пальцами другой. Чтобы указать на количество своему собеседнику, коренной житель англоговорящей страны поднимает руку или руки вверх. Например, разжатые указательный, средний и безымянный пальцы на поднятой вверх ладони будут означать число.

Балканские страны на юго-востоке Европы имеют счёт, схожий с английским.

5 учащийся

Континентальный европейский счёт

     У народов континентальной Западной Европы, таких, как немцы или французы, разжатый большой палец представляет собой начало исчисления (число 1). Затем разжимается указательный палец (число 2) и так далее — до мизинца (число 5).

     В некоторых европейских странах, а зачастую и во Франции, альтернативный метод подсчёта проводится путём сгибания пальцев в порядке: большой, указательный, средний, безымянный и мизинец.

Русский счёт

     Русский счёт на пальцах до десяти начинается с загибания мизинца левой руки и последовательно ведётся до загнутого большого пальца правой руки. Но когда требуется наглядно показать количество, рука сжимается в кулак и сначала разжимается указательный палец, затем средний, безымянный, мизинец и большой.

     Этот счёт также имеет место в странах бывшего СССР.

     Старинный русский способ умножения на пальцах однозначных чисел от 6 до 9 издревле применялся купцами как вспомогательный при устном счёте. Первоначально пальцы обеих рук сжимали в кулаки. Затем на одной руке разгибали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на второй руке делали то же самое для второго множителя. Суммарное число вытянутых пальцев умножалось на 10, потом перемножалось число загнутых пальцев одной руки на число загнутых пальцев другой. Два полученных результата складывались.

6 учащийся:

Пальцевый счёт в качестве культурной идентификации

     Культурные различия в подсчете на пальцах у разных народов иногда используются как тайный пароль, в частности, для различия национальностей во время войны. Эта возможность культурной идентификации является частью сюжета в фильме «Бесславные ублюдки» Квентина Тарантино и в романе «Пи в небе» («Pi in the Sky: Counting, Thinking, and Being»), Джона Барроу.

     Английский писатель Р. Мейсон в книге «А ветер не мог читать» приводит житейский пример из истории Второй мировой войны об японке Сабби, волей судьбы оказавшейся в Индии, принадлежащей тогда Великобритании, которая находилась с Японией в состоянии войны. Когда Сабби представили одному англичанину как китаянку, тот предложил ей сосчитать на пальцах до пяти, после чего обман раскрылся: «Вы видели как она считает? Загибает один за другим пальцы. Вы когда-нибудь видели, чтобы китаец при счёте загибал пальцы? Никогда! Китайцы считают так же, как и англичане. Они поднимают кулак и разгибают пальцы! Она японка!»

7 учащийся:

Пальцевый счёт в спорте

     В некоторых видах спорта, например в велосипедной гонке «Тур де Франс», перед стартом используется обратный отсчёт от 5 до 1 на пальцах поднятой руки судьи. Числа в этой системе, отображаются следующим образом: 5 - разжаты все пальцы, включая большой;   4 - кроме большого все пальцы разжаты;  3 - разжаты большой, указательный и средний палец;   2 - разжаты указательный и средний палец;  1 - разжат большой или указательный палец;  0 - все пальцы вытянуты снова, но рука отводится в сторону. Это сигнал о начале гонки.

3) Объянение учителя.

Умножение с помощью пальцев.

     При помощи пальцев можно умножать числа от 5 до 10. Пусть нам нужно умножить 6 и 7. На одной руке возьмем столько пальцев, на сколько 6 больше 5, т. е. 1 палец, а на другой – столько, на сколько другой множитель больше 5, т. е. 2 пальца. 1 палец на одной руке да 2 пальца на другой руке составят десятки. Получим 3 десятка. К этим трем десяткам прибавим произведение чисел загнутых пальцев. На одной руке 4  загнутых  пальца, а на другой – 3. Их произведение – 12. К трем десяткам прибавляем 12 единиц и получаем число 42, т. е. наш счет только подтвердил, что 6 умноженное на 7 равняется 42.

Дополнительная информация:

Телесный счёт

     Одной из самых примитивных систем счёта, является телесный счёт — разновидность пальцевого счёта, задействующая  и другие части человеческого тела в определённом порядке. Как правило, первобытные племена, использующие эту разновидность счисления, не имеют в языке достаточного количества слов для обозначения цифр, поэтому те же самые слова могут означать разные цифры и не могут быть верно поняты без содействия жестового языка. Также отсутствует настоящая числовая последовательность, как это имеет место в пятеричной, восьмеричной, десятичной, двенадцатеричной или двадцатичной системах счисления. Так, пальцевая арифметика народности панцах исчерпывается следующими цифрами:

1 (ануси) — выпрямленный мизинец правой руки;

2 (доро) — выпрямленный безымянный палец правой руки;

3 (доро) — выпрямленный средний палец правой руки;

4 (доро) — выпрямленный указательный палец правой руки;

5 (убеи) — выпрямленный большой палец правой руки;

6 (тама) — указывание на правое запястье;

7 (унубо) — указывание на правый локоть;

8 (виса) — указывание на правое плечо;

9 (деноро) — указывание на правое ухо;

10 (дити) — указывание на правый глаз;

11 (дити) — указывание на левый глаз;

12 (медо) — указывание на нос;

13 (бее) — указывание на рот;

14 (деноро) — указывание на левое ухо;

15 (виса) — указывание на левое плечо;

16 (унубо) — указывание на левый локоть;

17 (тама) — указывание на левое запястье;

18 (убеи) — выпрямленный большой палец левой руки;

19 (доро) — выпрямленный указательный палец левой руки;

20 (доро) — выпрямленный средний палец левой руки;

21 (доро) — выпрямленный безымянный палец левой руки;

22 (ануси) — выпрямленный мизинец левой руки.

Тема: «Великие счетчики».

Цель: познакомить учащихся с математиками, пропагандировавшими  различные приемы быстрого счета, а также с людьми, обладающими способностями к устному счету; прививать у учащихся интерес к математике.

1)Беседа учителя.

     Математика является одной из важнейших наук на земле и именно с ней человек встречается каждый день в своей жизни.

    Простейшие арифметические задачки жизнь задает нам  чуть ли не поминутно: в той или иной степени устным счетом владеет каждый. Приемы расчетов "в уме" несложны и описаны еще в прошлом веке Сергеем Александровичем Рачинским, крупным ученым и замечательным педагогом, автором первого в России задачника по "умственному счету".  Кстати,

С. А. Рачинский запечатлен в образе школьного учителя его учеником, известным художником Николаем Богдановым-Бельским в картине "Устный счет".

     На картине изображена деревенская школа XIX века во время урока арифметики при решении дроби в уме. Учитель — реальный человек, Сергей Александрович Рачинский, ботаник и математик, профессор Московского университета. На волне народничества в 1872 году Рачинский вернулся в родное село Татево, где создал школу с общежитием для крестьянских детей, разработал уникальную методику обучения устному счёту, прививая деревенским ребятишкам его навыки и основы математического мышления. Эпизоду из жизни школы с творческой атмосферой, царившей на уроках, и посвятил своё произведение Богданов-Бельский, сам в прошлом ученик Рачинского.

                                            .

     Оказывается, нехитрое упражнение школьников младших классов может стать предметом пристального внимания ученых. Феномен сверхбыстрого счета, возможность оперировать в уме многозначными цифрами со скоростью ЭВМ - вот что заставляет специалистов в области мозга находить и исследовать людей, обладающих выдающимися способностями к устному счету.

     Демонстрация мгновенных вычислений в уме на эстраде — явление не нового порядка, хотя и редкое, ибо требует знания метода и, конечно, тренировки.

     В программе цирков всегда были счетчики и феноменальные математики, в  несколько секунд производившие в уме удивительные вычисления. Обычно объяснялись эти номера «гениальностью», «феноменальной памятью» и т.п. Но есть один момент, заставлявший усомниться в том, что может быть только такое объяснение. Дело в том, что большинство таких цирковых математиков были профессиональными циркачами. Так, например, Конора, прежде чем стать мировым счетчиком, работал в цирке же и как будто математических способностей не обнаруживал.  Володя  Зубрицкий был сыном циркового артиста и вырос в цирке. Можно предполагать, что циркачи, вообще проявляющие колоссальную волю к тренировке, не задаваясь никакими теориями, просто выработали особые методы счета, позволившие им, после тренировки, превратить математику в блистательное зрелище.

     Между тем, опыт цирка был бы интересен и для счетной практики. Вот почему особенно интересна статья Гольдштейна, утверждающего, что никакой гениальности для быстрого счета не надо, что человек средних способностей может обучиться такому счету в две, три недели.

     Гольдштейн (псевдоним Дараев) Давид Наумович  — эстрадный счетчик-моменталист, разработчик и популяризатор методов устного счета. Пришел на эстраду в 1929 году после победы в публичном состязании с известным менталистом  Арраго Романом Семеновичем (1883 – 1949). Давид Гольдштейн всегда стремился донести до зрителей идею, что при достаточной настойчивости любой желающий способен достичь тех же, если не больших результатов, поскольку в основе быстрого счета лежит не врожденный талант, а интенсивные тренировки и знание специальных математических способов и приемов. Это коренным образом отличало выступления Гольдштейна от представлений других менталистов, которые, как правило, настаивали на своей уникальности и необыкновенных природных задатках. Уйдя с эстрады в 1956 году, Д. Гольдштейн продолжил работать в области популяризации разработанной им техники быстрых вычислений, демонстрировал возможности этой техники в научных и учебных заведениях. Д.Н. Гольдштейн — автор двух учебных пособий и ряда статей по вопросам оптимизации устных вычислений.

     Еще в начале 1930 года Радиоцентр организовал цикл лекций по радио, в которых слушателей  ознакомили с методами оперирования громадными числами. По этим лекциям в 1931 году была издана книга, но тиражом всего лишь 4000 экземпляров. Поток заказов на нее не прекращался долгое время, что говорит о широкой популярности и доходчивости лекций. В 1948 году Учпедгиз выпустил  книгу Гольдштейна «Техника быстрых вычислений», где было собрано и систематизировано множество приемов и способов устного счета.

     В начале века в России большую популярность приобрел «математик на эстраде» Р. Арраго. Прочитав как-то статью о математике-артисте Арраго, Юзеф Приходько вдруг понял, что и он может проделывать подобные номера. Сейчас Приходько - известный в нашей стране математик-моменталист.

     Ученые считают, что дар феноменального счета в том виде, в каком он наблюдается у взрослых счетчиков, является в какой-то степени даром "воспитанным" (то есть приобретенным в результате систематических упражнений). Бродя по джунглям чисел, люди-счетчики зачастую находят приемы, которые дают им возможность сокращать вычисления.

     Пожалуй, единственная научно обоснованная и достаточно подробно разработанная система резкого повышения быстроты устного счета создана была в годы второй мировой войны цюрихским профессором математики Я. Трахтенбергом. Она известна под названием "Системы быстрого счета".

     Профессор Трахтенберг был человеком замечательным и многогранно одаренным. Родился он в Одессе в 1888 году. По образованию - инженер (окончив с отличием Петербургский горный институт, он был главным инженером Обуховского судостроительного завода). Убежденный пацифист, Трахтенберг отдавал много сил пропаганде своих взглядов и в России, и в Германии, где он жил с 1919 года, а затем в Австрии, куда он бежал после прихода к власти Гитлера. Интересы его были чрезвычайно разнообразны. Так, ему принадлежит оригинальный метод преподавания иностранных языков, нашедший признание и широкое распространение в Германии. После аншлюса для Трахтенберга наступил семилетний период пребывания в тюрьмах и лагерях. Он был арестован фашистами и заключен в концентрационный лагерь. С помощью жены ему удалось бежать в Югославию. Но гестаповцы вскоре настигли его и там. Находясь в страшных, нечеловеческих условиях, Трахтенберг, стремясь сохранить здоровый дух и психику, всецело ушел в замкнутый мир чисел. Система быстрого счета - плод его размышлений за эти страшные годы. Когда в 1944 году стало известно о его предстоящей казни, его верный друг -жена - сумела еще раз спасти его. Она добилась перевода мужа в Лейпциг и там снова организовала побег. И хотя вскоре он был снова арестован и отправлен на каменоломню в Триест, самое тяжелое осталось позади. Последний побег - и супруги Трахтенберг в Швейцарии. В конце 40-х годов Трахтенберг организовал в Цюрихе свой Математический институт - единственное в своем роде учебное заведение, где дети и взрослые учились и переучивались считать по его методу, и по единодушному признанию успехи были поразительны.

     В Сиднейском университете в Индии  проходили соревнования человека и машины. Шакунтала Деви тоже опередила несколько вычислительных машин. Ее способности принесли практическую пользу. Она помогла индийским банкам выверить и свести миллиардные балансы, провела огромные расчеты, которые помогли при решении сложной для Индии демографической проблемы.

    Некоторые чудо-счетчики подвергались научному обследованию. Иноди однажды был приглашен на заседание Французской академий наук. Отчет о заседании был дан математиком Дарбу. Ученые пришли к выводу, что Иноди использует некоторые классические приемы, которые он сам "переоткрыл". Одна из комиссий при академии, в которую, в частности, входили известные ученые Арраго, Коши, исследовала Анри Монде. По свидетельству Коши, полуграмотный сын дровосека Монде применял бином.

    Как мы видим, быстрый счет это уже не тайна за семью печатями, а научно разработанная система. Раз есть система, значит, ее можно изучить, ей можно следовать, ею можно владеть.

Тема: «Умножение чисел разложением множителей на множители или на слагаемые. Свойства умножения для упрощения вычислений».

Цель: научить учащихся умножать числа наиболее рациональным способом, используя разложение множителей на множители или на слагаемые, или применяя свойства умножения;  развивать у учащихся смекалку, сообразительность, умения рассуждать.

     Давайте рассмотрим, как можно умножать числа, используя традиционные методы, которым вас обучают в школе. Некоторые из этих методов могут позволить вам быстро перемножать в уме числа при достаточной тренировке. Знать эти методы полезно.

1)Умножение чисел, оканчивающихся нулями.

40 * 7 = (4*7)*10 = 28 * 10 = 280;

400 * 7 = (4*7)*100 = 28 *100 =  2800;

1200* 50 = (12 * 5) * 1000 = 60 * 1000 = (6 *1) * 10 000 = 60 000.

2)Перестановка сомножителей.

Для максимально быстрого умножения необходимо знание следующих равенств:

2 * 5 = 10;    2* 50 = 100;     5 * 20 = 100;     25 * 4 = 100;    125 * 8 = 1 000.

Для упрощения вычислений целесообразно применять сочетательное свойство умножения: abc = (ac)b = (bc)a.

2 * 93 * 5 = (2 * 5) *93 = 10 * 93 = 930;

4 * 17 * 25 = (4 * 25) * 17 = 100 * 17 = 1700;

125 * 201 * 8 = (125 * 8) * 201 = 1000 * 201 = 201 000.

3) Умножение чисел, если один из множителей раскладывается на однозначные множители.

225 * 6 = (225 * 2) * 3 = 450 * 3 = (45 * 3) * 10 = 1350;

125 * 11 * 16 = 125 * 11 * 2 * 8 = (125 * 8) *(11 * 2) = 1000 * 22 = 22 000.

4)Умножение чисел, если один из множителей раскладывается на десятки и единицы.

35 * 12 = 35 * (10 + 2) = 35 * 10 + 35 * 2 = 350 + 70 = 420    или

35 * 12 = (40 - 5) * 12 = 40 * 12 - 5 *12 = 480  - 60 = 420.

399 * 7 = (400 – 1) *7 = 400 * 7 – 1 *7 = 2800 – 7 = 2793.

5)Умножение двузначных чисел путем разложения обоих множителей на десятки и единицы.

63 * 85 = (60 + 3) * (80 + 5) = 60 * 80 +60 * 5 + 80 * 3 + 3 * 5 = 4800 + 300 + 240 + 15 = 5355.

     Проще такие примеры решают в 3 действия. Сначала умножают  десятки друг на друга. Потом складываются два произведения единиц на десятки. Затем прибавляется произведение единиц. Схематично это можно описать так:

 1) 60 * 80 = 4800 – запоминаем

2) 60 * 8 + 80 * 3 = 540 – запоминаем

3)(4800 + 540) + 3 *5 = 5355 – ответ.

Для максимально быстрого эффекта потребуется хорошее знание таблицы умножения чисел до 10, умение складывать числа (до трехзначных). А также способность быстро переключать внимание с одного действия на другое, держа предыдущий результат в уме.

Задания для самостоятельного решения.

Вычислить наиболее удобным способом:

1) 5 * 78 * 20;       25 * 239 * 4;       125 * 49 * 8;        125 * 376 * 4 * 2.

2) 315 * 6;             125 * 24;             125 * 16 * 50.

3) 198 * 12;           13 * 61;               2998 * 9.

4) 52 * 94;              304 * 13;            104 * 206.

Тема: «Способы, учитывающие особенности чисел».

Цель: выработать  систему эвристических приемов, позволяющих быстро выполнять умножение чисел, развивать логическое мышление, внимание.

     Чтобы уметь решать сложные арифметические задачи, нужно для начала хорошенько усвоить некоторые базовые закономерности. Скорее всего, они у вас не вызовут трудностей. Однако уделите этим задачам  должное внимание, поскольку от того, как быстро вы сможете считать простейшие примеры, напрямую зависит ваше умение быстро выполнять более сложные математические операции.

Чтобы применять  особые приемы умножения, необходимо уметь всякое число умножать на 2 и 3.

1)Умножение на 4.

Умножение на 4 может быть сведено к двукратному последовательному умножению данного числа на 2.

48 * 4 = 48 * 2 * 2 = 96 * 2 = 192;

157 * 4 = 157 * 2 * 2 = 314 * 2 = 628.

2)Умножение на 5.

Умножать на 5 можно так: сначала разделить на 2, а затем умножить на 10.

42 * 5 = 42 : 2 * 10 = 21 * 10 = 210;

136 *5 = 136 : 2 * 10 = 68 * 10 = 680.

3)Умножение на 6.

При умножении на 6 можно применять два способа:

1) последовательное умножение;

2) представление в виде суммы 5 и 1.

52 * 6 = 52 * 2 * 3 = 104 * 3 = 312  или

 52 * 6 = 52 * (5 + 1) = 52 * 5 +  52 * 1 = (52 : 2 * 10) + 52 =260 + 52 = 312.

4)Умножение на 7.

При умножении на 7  можно представить 7  в виде суммы 5 и 2.

52 * 7 = 52 * (5 + 2) = 52 * 5 + 52 * 2 = (52 : 2 *10) +104 =260 + 104 = 364.

5)Умножение на 8.

Умножение на 8 может быть сведено к трехкратного последовательному умножению данного числа на 2.

45 * 8 = 45 * 2 * 2 * 2 = 90 * 2 * 2 = 180 * 2 = 360.

123 * 8 = 123 * 2 * 2 * 2  =246 * 2 * 2 = 492 * 2 = 984.

6)Умножение на 9.

При умножении на 9 можно представить 9 в виде разности 10 и 1.

37 * 9 = 37 * (10 – 1) = 37 * 10 – 37 * 1  = 370 – 37 = 333;

267 * 9 = 267 * (10 – 1) = 267 * 10 – 267 * 1 = 2670 – 267 = 2403.

7)Умножение на 11.

Умножить на 11 можно так:

1) последняя цифра множимого записывается как самая правая цифра результата;

2) каждая следующая цифра множимого  складывается со своим правым соседом и записывается в результат (если ответ содержит больше одной цифры, то  просто переносим 1 или 2 в следующий разряд);

3) первая цифра множимого становится самой левой цифрой результата.

   2 7 * 11 =   2 9 7

 2 + 7 = 9;  

374 * 11 = 4 1 14

7 +4 = 11;    3 + 7 = 10; 10 + 1 = 11;  3 + 1 = 4

8)Умножение на 12.

Умножить на 12 можно так:

1) последняя цифра множимого удваивается и  записывается как самая правая цифра результата;

2) каждая следующая цифра множимого удваивается и   складывается со своим правым соседом и записывается в результат (если ответ содержит больше одной цифры, то  просто переносим 1 или 2 в следующий разряд);

3) первая цифра множимого становится самой левой цифрой результата.

124 * 12 =1 4 8 8

4 * 2 = 8;       2 * 2 + 4 = 8;      1 * 2 + 2 = 4

9)Умножение на 25.

     Умножить на 25 можно так: сначала разделить на 4, а затем умножить на 100.

36 * 25 = 36 : 4 * 100 = 9 * 100 = 900;

128 * 25 = 128 :4 * 100 =  32 * 100 = 3200.

10)Умножение двух одинаковых множителей, оканчивающихся на 5.

     При умножении двух одинаковых  множителей, оканчивающихся на 5, достаточно число десятков помножить на число, единицей большей десятков и к произведению приписать 25.

252 = 625                                             752  =   56 25

2 * (2 + 1) = 6;                                     7 * (7 + 1) = 56

11)Умножение двузначного числа на 101.

Чтобы умножить двузначное число на 101, надо рядом записать полное число два раза.

36 * 101 = 3636.

Задания для самостоятельного решения.

Вычислить всеми возможными способами:

235 * 4;        43 * 8;       82 * 5;      4560 * 5;  

62 * 6;       148 * 6;        98 * 7;      106 * 7;

47 * 9;        327 * 9;       72 * 11;    467 * 11;

79 * 12;      147 * 11;     48 * 25;    264 * 25;

85 * 85;      35 * 35.

69 * 101;     97 * 101.

Тема: «Умножение на 9»

Цель: освоить с учащимися нетрадиционные приемы умножения чисел на 9,; развивать логическое мышление, умения сравнивать, обобщать.

     Умножение на 9 однозначных чисел.

     Многим трудно запомнить таблицу умножения первых десяти чисел на 9,но существует простой способ помочь памяти пальцами своих рук.

Движением пальцев. Положите обе руки рядом на стол и протяните пальцы. Каждый палец слева направо будет означать соответствующее порядковое число: первый слева – 1; второй – 2; третий – 3; четвертый – 4 и т. д. до десятого, который будет означать число 10. Пусть требуется  теперь любое число из первого десятка умножить  на 9. Для этого вам стоит только, не сдвигая рук со стола, приподнять вверх тот палец, который обозначает множимое. Тогда число остальных пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, будет числом десятков произведения, а число пальцев направо – числом единиц.

      Умножить 7 и 9. Кладите руки на стол и поднимите седьмой палец; налево от поднятого пальца лежат 6 пальцев, направо – 3 пальца. Значит, результат умножения 7 и 9 равен 63.

1 * 9 = 09;      0 + 9 = 9;      1 – 1 = 0;

2 * 9 = 18;      1 + 8 = 9;     2 – 1 = 1;

3 * 9 = 27;      2 + 7 = 9;     3 – 1 = 2;

4 * 9 = 36;      3 + 6 = 9;     4 – 1 = 3;

5 * 9 = 45;      4 + 5 = 9;     5 – 1 = 4;

6 * 9 = 54;      5 + 4 = 9;     6 – 1 = 5;

7 * 9 = 63;      6 + 3 = 9;     7 – 1 = 6;

8 * 9 = 72;      7 + 2 = 9;     8 – 1 = 7;

9 * 9 = 81;      8 + 1 = 9;     9 – 1 = 8.

     Это  удивительное на первый взгляд механическое умножение тотчас станет понятным, если вспомнить, что сумма цифр в каждом произведении чисел таблицы умножения на 9 равна 9, а число десятков в произведении всегда на 1 меньше того числа, которое  мы умножаем на 9. Поднятием соответствующего  пальца это мы и  отмечаем, а  следовательно, и умножаем. Человеческая рука есть одна из первых счетных машин!

Умножение многозначных чисел на 9.

1 способ: Чтобы число умножить  на 9, надо это число умножить на 10, а затем из полученного произведения вычесть данное число.

576*9 = 576*10 -  576 = 5760 -576 =5184.

Этот способ целесообразно применять только в случае, когда множимое мало. В остальных случаях эффективен следующий прием.

2 способ: Чтобы умножить целое число на 9, надо вычесть из множимого  число десятков, увеличенное на 1, и к полученному результату приписать дополнение цифры единиц множимого до 10 (дополнение должно содержать один разряд).

58 * 9 = 522.

1. 58 – (5 + 1) = 52;
2. 10 – 8 =2;
3. к 52 приписать 2, получим 522.

576*9 = 5184.

1. 576 – (57 + 1) = 518;
2. 10 – 6= 4;
3. к 518 приписать 4, получим 5184.

1345 * 9 = 12105.

1) 1345 – (134 + 1) = 1210;

2)10 – 5 = 5;

3) к 1210 приписать 5, получим 12105.

Задания для самостоятельного решения.

Вычислить двумя способами:

32 * 9;               99 * 9;  

153 * 9;           994 * 9;

9983 * 9;       1014 * 9.

Тема: «Умножение на 99»

Цель: освоить с учащимися нетрадиционные приемы умножения чисел на 99,; развивать логическое мышление, умения сравнивать, обобщать.

     Умножение многозначных  чисел на 99.

1 способ : Чтобы умножить многозначное число на 99, надо множимое увеличить в 100 раз, а затем из полученного произведения вычесть множимое.

 462 * 99 = 462 * 100 – 462 = 46200 – 462 = 45738.

     Этот способ целесообразно применять только в случае, когда множимое мало. В остальных случаях эффективен следующий прием.

2 способ: Чтобы  умножить m- значное  число (m 2)  на 99, надо к предшествующему числу приписать его дополнение до 100 (дополнение должно занимать два разряда).

8 * 99 = 792.

1) 7 – число, предшествующее числу 8;

2) 100 – 8 = 92;

3) к 7 приписать 92, получим 792.

98 * 99 = 9702.

1. 97 -  число, предшествующее числу 98;
2. 100 – 98 = 02 (дополнение должно занимать два разряда);
3. к  97 приписать 02, получим 9702.

3 способ: Чтобы умножить целое число на 99, надо  из этого числа  вычесть число его сотен, увеличенное на 1, и к полученной разности приписать дополнение до 100 числа, образованного двумя последними цифрами  множимого

 ( дополнение должно содержать два разряда).

462 * 99 = 45738.

1. 462 – (4 + 1) = 457
2. 100 – 62 = 38
3. к 457 приписать 38, получим 45738.

4598 * 99 = 455202.

1) 4598 – (45 +1) = 4552;

2) 100 – 98 = 02 (дополнение должно содержать два разряда);

3) к  4552 приписать 02, получим 455202.

4 способ (частный): Умножение двузначных чисел, цифры которых одинаковые, на 99.

11 *99 = 1089

22 * 99 = 2178

33 * 99 = 3267

44 * 99 = 4356

55 * 99 = 5445

66 * 99 = 6534

77 * 99 = 7623

88 * 99 = 8712

99 * 99 = 9801

Нетрудно подметить следующие свойства этих произведений:

1. первая цифра результата совпадает с цифрами множимого;.
2. вторая цифра всегда на 1 меньше первой;
3. третья цифра – дополняет первую цифру до 9;
4. четвертая цифра дополняет вторую цифру до 9.

Знание этих свойств дает возможность, не заглядывая в таблицу, определить результат любого из рассмотренных умножений по одной его цифре.

Задания для самостоятельного решения.

Вычислить всеми возможными способами:

73 * 99;             66 * 99;

345 * 99;         889 * 99;

4578 * 99;     9999 * 99.

Тема: «Умножение на 999»

Цель: освоить с учащимися нетрадиционные приемы умножения чисел на 999,; развивать логическое мышление, умения сравнивать, обобщать.

1 способ: Чтобы умножить многозначное число на 999, надо множимое увеличить в 1000 раз, а затем из полученного произведения вычесть множимое.

12 * 999 = 12 * 1000 – 12 = 12000 – 12 = 11988.

Этот способ целесообразно применять только в случае, когда множимое мало. В остальных случаях эффективен следующий прием.

2 способ: Чтобы  умножить m-значное  число (m 3)  на 999, надо  к предшествующему числу приписать его дополнение до 1000 (дополнение должно занимать три разряда).

6 * 999 =5994.

1) 5 – число, предшествующее числу 6;

2) 1000 – 6 = 994;

3) к 5 приписать 994, получим 5994.

78 * 999 = 77922.

1)77 -  число, предшествующее числу 78.

2)1000 – 78 = 922;

3) к 77 приписать 922, получим 77922.

987 * 999 = 986 013.

1) 986 – число, предшествующее числу 987;

2) 1000 – 987 = 013(дополнение должно занимать три разряда);

3) к 986  приписать 013, получим 986 013.

3 способ: Чтобы умножить целое число на 999, надо  из этого числа  вычесть число его тысяч, увеличенное на 1, и к полученной разности приписать дополнение до 1000 числа, образованного тремя последними цифрами  множимого (дополнение должно содержать три разряда).

2453 * 999 = 2 450 547.

1. 2453 – (2 + 1) = 2450;
2. 1000 – 453 = 547;
3. к 2 450 приписать  547, получим 2450 547.

 25 999 * 999 = 25 973 001.

1) 25999 – (25 + 1) = 25973;

2) 1000 -999 = 001 (дополнение должно содержать три разряда);

3) к 25 973 приписать  001, получим 25 973 001.

Задания для самостоятельного решения.

Вычислить всеми возможными способами:

34 * 999;            55 * 999;

765 * 999;        917 * 999;

6732 * 999;      9999 * 999.

Тема: «Умножение двузначного числа на число, близкое к 100»

Цель: освоить с учащимися нетрадиционные приемы умножения двузначных чисел на число, близкое к 100; развивать логическое мышление, умения сравнивать, обобщать.

     Чтобы умножить произвольное двузначное число, близкое к 100, необходимо:

1) от числа отнять дополнение второго множителя до 100, результат дает число сотен окончательного результата;

2) найти дополнение первого числа до 100;

3) умножить полученное дополнение на дополнение  второго числа до 100;

4) к результату, полученному в пункте 1, приписать результат, полученный в предыдущем пункте, следя за тем, чтобы он занимал два разряда (если произведение дополнений является числом трехзначным, то число сотен произведения складывается с числом сотен, полученных в пункте 1).

83 * 98 = 8134.

     1)  100 – 98 = 2;          83 – 2 = 81;

     2)  100 – 83 = 17;

     3)  17 * 2 = 34;

     4)  к 81 приписать 34, получим 8134.

66 * 97 = 6402.

    1)  100 – 97 = 3;         66 – 3 = 63;

    2)  100 – 66 = 34;

    3)   34 * 3 = 102 (содержит более двух разрядов);

    4)   к 63 приписать 02, а 1 прибавить к разряду сотен, получим 6402.

Задания для самостоятельного решения.

Вычислить:

58 * 97;            29 * 98;

75 * 95;            88 * 94;

92 * 97;             87 * 89.

Тема: «Умножение многозначного числа на число, близкое к 100»

Цель: освоить с учащимися нетрадиционные приемы умножения многозначных чисел на число, близкое к 100; развивать логическое мышление, умения сравнивать, обобщать.

     Чтобы многозначное число умножить на число, близкое к 100, необходимо:

1) найти разность между множимым и произведением числа сотен множимого, увеличенного на единицу, на дополнение множителя до 100;

2) найти произведение дополнения до 100 числа, образованного последними двумя цифрами множимого, на дополнение множителя;

3) к числу, полученному в пункте 1, надо приписать произведение, полученного в пункте 2.

289 * 97 = 28 033.

     1)  (2 + 1) * (100 – 97) = 9;   289 – 9 =280;

     2)  100 – 89 = 11;     11 * 3 = 33;

     3)  к 280 приписать 33, получим 28 033.

     Более   математически  точно данный метод надо сформулировать так: при умножении целого числа на число, близкое к 100, число сотен произведения находится как разность между множимым и произведением числа его сотен, увеличенного на единицу, на дополнение множителя до 100. Произведение дополнений числа, образованного последними двумя цифрами множимого и множителя до 100, дает число единиц окончательного результата. При нахождении произведения дополнений части множимого и множителя иногда может получаться и трехзначное число. В этом случае число сотен этого произведения надо сложить с последней цифрой разности, полученной при нахождении числа сотен окончательного произведения («приписывание» справедливо только в том случае, если произведение дополнений дает двузначное число).

289 * 97 = 28033.

   1) 289 – (2 + 1) * (100 – 97) = 289 – 9 = 280;    

   2) (100 -89) * (100 – 97) = 11 * 3 = 33;

   3)  к 280 приписать 33, получим 28033.

341 * 98 = 33 418.

    1)  341 - (3 +1) * (100 -98) = 341 – 8 = 333;

    2)  (100 – 41) * (100 – 98) = 59 * 2 = 118 (содержит более двух разрядов);

    3)   к 333 приписать 18, а 1 прибавить к разряду сотен, получим 33 418.

Задания для самостоятельного решения.

Вычислить:

851 * 96;              75 * 98;

2099 * 96;             391 * 97;

789 * 97;              69 * 98.

Тема: «Умножение чисел, у которых сумма цифр единиц составляет 10».

Цель: освоить с учащимися нетрадиционные приемы умножения чисел, у которых сумма цифр единиц составляет10; развивать логическое мышление, умения сравнивать, обобщать.

     Чтобы умножить два числа, у которых сумма цифр  единиц составляет десять , необходимо:

1) число, полученное вычитанием из большего числа меньшего без единиц, умножить на число единиц меньшего числа,  две последние цифры дают десятки и единицы окончательного результата, число сотен запоминаем;

2) умножить число десятков меньшего числа на число десятков большего числа, увеличенное на единицу,

3) к полученному числу прибавить запомненное число сотен; полученное число дает сотни окончательного результата.

76 * 14 = 1064.

     1)  76 – 10 = 66;         66 * 4 = 264;         76 * 14 = …264;

     2)  1 * (7 + 1) = 8;        

     3)  8 + 2 = 10;             76 * 14 = 1064.

32 * 88 = 2816.

     1) 88 – 30 = 58;           58 * 2 = 116;            32 * 88 = …116;

     2) 3 * (8 + 1) = 27;      

     3) 27 + 1 = 28;             32 *  88 = 2816.

Задания для самостоятельного решения.

Вычислить:

66 * 94;               49 * 91;

76 * 14;              53 * 17;

92 * 78;              39 * 41.

Тема: «Умножение чисел, у которых число десятков одинаково, а сумма единиц сомножителей составляет 10, и другие случаи».

Цель: освоить с учащимися нетрадиционные приемы умножения чисел, у которых число десятков одинаково, а сумма единиц сомножителей составляет 10, и другие случаи; развивать логическое мышление, умения сравнивать, обобщать.

     Чтобы умножить два числа, у которых число десятков одинаково, а сумма цифр единиц сомножителей составляет десять или

чтобы перемножить два числа с равным числом единиц, сумма цифр десятков у которых равна десяти или

чтобы перемножить  два числа, цифры одного из которых одинаковы, а цифры другого в сумме составляют десять

необходимо применить правило:

1) к произведению десятков сомножителей прибавить повторяющуюся цифру, результат дает число сотен произведения;

2)  найти произведение единиц обоих чисел (число должно быть двузначным);    

 3) к числу, полученному в пункте 1 приписать  двузначное число, полученное в пункте 2.

43 * 63 = 2709.

      1)  4 * 6 + 3 = 27;

      2)  3 * 3 = 09 (число должно быть двузначным);    

      3)  к 27 приписать 09, получим 2709.

62 * 68 = 4216.

     1)  6 * 6 + 6 = 42;

     2)  2 * 8 =16;    

     3) к 42 приписать 16, получим 4216.

88 * 37 = 3256.

    1) 8 * 3 + 8 = 32;

    2) 7 * 8 = 56;    

    3) к 32 приписать 56, получим 3256.

Задания для самостоятельного решения.

Вычислить:

84 * 86;                  63 * 67;              97 * 17;

54 * 54;                  44 * 37;              66 * 64;

29 * 21;                  33 * 37;               27 * 87;

19 * 99;                  77 * 73;              91 * 99.

Тема: «Умножение чисел с равным числом  десятков или с равным числом единиц, или на число, состоящее из одинаковых цифр».

Цель: освоить с учащимися нетрадиционные приемы умножения чисел с равным числом  десятков или с равным числом единиц, или на число, состоящее из одинаковых цифр; развивать логическое мышление, умения сравнивать, обобщать.

     Чтобы перемножить два двузначных числа, у которых одинаково число десятков или

одинаковое число единиц или

один из сомножителей состоит из одинаковых цифр

необходимо:

1) найти произведение единиц сомножителей – оно дает единицы окончательного результата (если произведение двузначное – число десятков запомнить);

2) сумму различных цифр умножить на общую цифру - оно дает десятки окончательного результата, при записи учитывать запомненное число десятков, если такое было;

3) перемножить цифры десятков сомножителей  - оно дает сотни окончательного результата, при записи учитывать запомненное число сотен, если такое было.

23 * 26 =598.

   1)  3 * 6 = 18;                 23 * 26 = …18;

   2)  (3 + 6) * 2 = 18;       18 + 1 =19;           23 * 26 = …198;

   3)  2 * 2 =4;                    4 + 1 = 5;             23 * 26 = 598.

67 * 37 = 2479.

    1)  7 * 7 = 49;                67 * 37 = …49;

    2)  (6 + 3) * 7 = 63;       63 + 4 = 67;        67 * 37 = …679;

    3)  6 * 3 = 18;                18 + 6 = 24;        67 * 37 = 2479.

33 * 84 = 2772.

1) 3 * 4 = 12;                   33 * 84 =  …12;

2) (8 + 4) * 3 = 36;           36 + 1 = 37;          33 * 84 = …372;

3) 3 * 8 = 24;                    24 + 3 = 27;           33 * 84 = 2772.      

Задания для самостоятельного решения.

Вычислить:

69 * 65;          37 * 47;           55 * 64;

58 * 56;           26 * 76;           33 * 89;

42 * 45;           23 * 93;           66 * 73.  

Тема: «Умножение чисел, заключенных между 10 и 20».

Цель: освоить с учащимися нетрадиционные приемы умножения чисел, заключенных между 10 и 20; развивать логическое мышление, умения сравнивать, обобщать.

     Чтобы умножить два числа, заключенных между 10 и 20, необходимо:

1) к одному из сомножителей надо прибавить единицы второго сомножителя и сумму умножить на 10;

2) найти произведение единиц сомножителей;

3) к полученному результату в пункте 1 прибавить результат, полученный в пункте 2.

17 * 13 =  221.

    1)  (17 + 3) * 10 = 200;

    2)   3 * 7 = 21;

    3) 200 + 21 = 221.

18 * 18 = 324.

    1)  (18 + 8) * 10 = 260;

    2)  8 * 8 = 64;

    3)  260 + 64 = 324.

     Этот метод можно применять и в  другой трактовке:  чтобы умножить два числа, заключенные между 10 и 20, необходимо:

1) перемножить  единицы сомножителей, число единиц произведения записать в окончательный результат, число десятков запомнить;

2) сложить  единицы сомножителей;

3) прибавить к полученному числу запомненное число и число 10;

4) записать полученное число перед записанной ранее цифрой.

19 * 13 = 247.

     1)  9 * 3 = 27;    19 * 13 = …27;

     2)  9 + 3 = 12;

     3)  12 + 2 + 10 = 24;

     4)  24 записать перед 7, получим 247.

17 * 15 = 255.

1)  7 * 5 = 35;       17 * 15 = …35

2)  7 + 5 = 12;

3) 12 + 3 + 10 = 25;

4) 25 записать перед 5, получим 255.

Задания для самостоятельного решения.

Вычислить:

19 * 19;                14 * 18;

13 * 16;                17 * 17;

15 * 19;                16 * 12.

Тема: «Умножение двузначных чисел, оканчивающихся на 1».

Цель: освоить с учащимися нетрадиционные приемы умножения двузначных чисел, оканчивающихся на 1; развивать логическое мышление, умения сравнивать, обобщать.

     Чтобы умножить два числа, оканчивающихся на 1, необходимо:

1) в разряде единиц произведения записать 1;

2) в разряд десятков произведения записать сумму десятков чисел, если сумма – число двузначное, то в произведение записать единицы суммы, а десятки запомнить;

3) найти произведение десятков (при записи учитывать запомненное число десятков);

4) записать, полученное число в пункте 3, перед полученными ранее цифрами.

71 * 61 = 4331.

      1)   71 * 61 = …1;

      2)  6 + 7 = 13,      71 * 61 = …131;

      3)  7 * 6 = 42;       42 + 1 = 43;        

      4)  43 записать перед 31, получим 4331.

21 * 51 = 1071.

    1)  21 * 51 = …1;

    2)  2 + 5 = 7;       21 * 51 = …71;

    3)  2 * 5 = 10;    

   4) 10 записать перед 71, получим 1071.

Задания для самостоятельного решения.

Вычислить:

41 * 21;            71 * 91;

81 * 41;             51 * 51;

21 * 21;             61 * 91.

Тема: «Фокусы и развлечения».

Цель: вовлечь учащихся в игровую коммуникативную деятельность, в которой формируются устойчивые вычислительные навыки.

     Разобравшись в способах умножения многозначных чисел, мы можем многие из них использовать в качестве математических фокусов.

Фокусы.

1)Некоторое двузначное число с одинаковыми цифрами  умножьте на 99. В произведении получилось четырехзначное число, назовите только одну третью цифру результата. Я попробую назвать вам все число.

Решение: Например,  третья 5, тогда первая -  дополнение третьей до 9, т.е.9 -5 = 4, вторая -  на 1 меньше первой - 3, четвертая -  дополнение  второй до 9, т. е.  9 -3  = 6, полученное число 4356.

2)Запишите  число 12345679 (все цифры в порядке возрастания, без 8). Умножьте его на любое однозначное число, а затем на 9. Назовите мне число, на которое вы умножили  и я вам скажу сразу ответ.

Решение:  12345679                                       12345679

                *             7                                       *            8

                _________                                     _________

                 86419753                                        98765432

                *             9                                      *             9

                _________                                     _________

               777777777                                     888888888

Причина явления заключается в том, что произведение состоит из одних единиц:

12345679 * 9 =111 111 111.

3) Запишите число 37.  Умножьте его на число, которое делится на 3, но меньшее 30. Назовите мне это число и я вам назову ответ.

Решение:

37 * 3 =111;

37 * 6 =(37 * 3) * 2 = 111 * 2 = 222;;

37 * 9 =(37 * 3) * 3 = 111 * 3 = 333;

37 * 12 =(37 * 3) * 4 = 111 * 4 = 444;

37 * 15 =(37 * 3) * 5 = 111 * 5 = 555;

37 * 18 =(37 * 3) * 6 = 111 * 6 = 666;

37 * 21 =(37 * 3) * 7 = 111 * 7 = 777;

37 * 24 =(37 * 3) * 8 = 111 * 8 = 888;

37 * 27 =(37 * 3) * 9 = 111 * 9 = 999;

4) Вынимаем из бездонной числовой шкатулки число 142857. Оно состоит из шести разных цифр. Умножьте данное число на любое число 2, 3, 4, 5 или 6.Назовите мне первую цифру произведения и я вам назову значение всего произведения.

Решение: Расположим все цифры данного числа  по кругу в виде циферблата. Перемещаясь по циферблату вместе со стрелкой, можно прочесть любое из получившихся произведений. Каждое число циферблата служит первой цифрой одного из результатов произведения.

 142 857 * 1 = 142 851

142 857 * 2 = 285 714

142 857 * 3 = 428 571

142 857 * 4 = 571 428

142 857 * 5 = 714 285

142857 * 6 = 857 142

Развлечения.

1) Перед вами произведение некоторого числа на сумму чисел, составленных из его цифр:   37 * (3 + 7) = 370.   Вдруг первый множитель «растаял», а  то  что осталось, обратилось в сумму кубов:   33 + 73  и представьте – результат не изменился

33 + 73 = 27 + 343 = 370.

Таким же свойством обладает и число 48. Проверьте это.

Решение: 48 * (4 + 8) = 576;    43 + 83 = 64 + 512 = 576,

                 то 48 * (4 + 8) =43 + 83.

2)  342 = 1156.

    Между числами 11 и 56 расположим число 15, то получим 111556 = 3342.

Затем в центральную часть записи каждого следующего числа записываем 15:

11115556  = 33342;

1111155556 = 333342 и т. д.

Запишите следующее равенство и проверьте его.

Решение: 111111555556 = 3333342.

3)Числовые находки.

      А) Среди целых чисел обнаружено несколько пар таких, что сумма и произведение чисел каждой пары отличаются только расположением цифр:

9 + 9 = 18;                  9 * 9 = 81;

24 + 3 = 27;               24 * 3 =72;

47 + 2 = 49;               47 * 2 = 94.

Проверьте это свойство на числах:  263 и 2;   497 и 2.

Решение:

263 + 2 = 265;           263 * 2 = 526;

497 + 2 =499;            497 * 2 = 994.

     Б) Несколько пар двузначных чисел замечательны совсем другим свойством: произведение, составленное из пар чисел не  изменится, если в каждом из сомножителей переставить цифры. Взгляните:

12 * 42 = 21 * 24;                          24 * 63 = 42 * 36;

12 * 63 = 21 * 36;                          24 * 84 = 42 * 48;

12 * 84 = 21 * 48;                          26 * 93 = 62 * 39;

13 * 62 = 31 * 26;                          34 * 86 = 43 * 68;

14 * 82 = 41 * 28;                          36 * 84 = 63 * 48;

23 * 96 = 32 * 69;                          46 * 96 = 64 * 69;

Найдите еще две пары таких чисел.

Решение: 23 * 64 = 32 * 46;                          13 * 93 = 31 * 39.

4)Еще одно наблюдение.

     В конце XIX века живописец – жанрист Н. П. Богданов – Бельский (1868 – 1945) написал картину «Трудная задача», на которой изобразил группу учеников сельской школы, задумавшихся над решением «в уме» задачи С. А. Рачинского, записанной учителем на школьной доске:

     Действительно, нелегкая задача для быстрого решения «в уме», если не знать «секрета». А «секрет» очень прост. Дело в том, что 102 + 112 + 122 = 132 + 142.

Существуют еще такие числа. Проверьте, что

212 + 222 + 232 + 242 = 252 + 262 + 272.

Решение: 212 + 222 + 232 + 242= 441 + 484 + 529 + 576 = 2030;

                252 + 262 + 272= 625 + 676 + 729 = 2030.

Тема: «Числовой фейерверк».

Цель: формировать умение по проведению исследовательской деятельности; учить проводить обобщение, сравнение, анализ, систематизацию; закрепить опыт решения задач, требующих поиска путей и способов решения.

1)Заполнить числовую пирамиду, найдя закономерность:

                              1* 8 + 1 =

                           12 * 8 + 2 =

                          123 *8 + 3 =

                       1234 * 8 + 4 =

                     12345 * 8 + 5 =

                    123456 * 8 +6 =

                  1234567 * 8 +7 =

               12345678 * 8 + 8 =

             123456789 * 8 + 9 =

Решение:              1* 8 + 1 = 9

                           12 * 8 + 2 = 98

                          123 *8 + 3 = 987

                       1234 * 8 + 4 = 9876

                     12345 * 8 + 5 = 98765

                    123456 * 8 +6 = 987654

                  1234567 * 8 +7 = 9876543

               12345678 * 8 + 8 = 98765432

             123456789 * 8 + 9 = 987654321.

2) Волшебное  число – число Шехерезады.

1001 называется числом Шехерезады. Это число делится без остатка на три последовательных простых числа (числа, которые имеют  два  делителя  называются простыми): 7; 11; 13 и является произведением этих чисел. Вычислить   726 * 1001;      195 * 1001. Найдите алгоритм умножения и сформулируйте его.

Решение: Если трехзначное число умножить на 1001, то в произведении получится шестизначное число, написанное дважды множимым, например, 893 * 1001 = 893 * 1000 + 893 = 893000 + 893 = 893 893.

3)Мгновенное возведение.

     А) Давайте вспомним таблицу квадратов от 1 до 20.

Оказывается таблицу квадратов можно составить по - другому:

      Б) Вспомните нетрадиционные приемы умножения и запишите таблицу квадратов от 20 до 30.

Решение:

202 = 20 * 20 = 400;

212 = 21 * 21 = 21 (20 + 1) = 21 * 20 + 21 * 1 = 420 + 21 = 441;

222= 22 * 22 = 22 * (20 + 2) = 22 * 20 + 22 * 2 = 440 + 44 = 484;

232 = 23 * 23 = 23 * (20 + 3) = 23 * 20 + 23 * 3 = 460 + 69 =529;

242= 24 * 24 = 24 * (25 – 1) = 24 * 25 – 24 * 1 = 24 : 4 * 100 -24 = 600 – 24 = 576;

252= 625;        ( 2 * (2 + 1) = 6 и приписать 25)

262 = 26 * 26 = 26 * (25 + 1) = 26 * 25 + 26 * 1 = 26 * 100 : 4 + 26 =650 + 26 = 676;

272 = 27 * 27 = (25 +2) * (25 +2) =252+(25 *2+ 25 * 2) + 2*2 =625 + 100 + 4 =729;

282 = 28 * 28 = 28 * (30 – 2) = 28 * 30 -28 * 2 = 840 – 56 =784;

292 = 29 * 29 = 29 * (30 – 1) = 29 * 30 – 29 * 1 = 870 – 29 =841.

     В) Рассмотрим удобный способ возведения в квадрат чисел и по образцу  выведите алгоритм возведения в квадрат числа.

272 = (27 + 3) * (27 – 3) + 32 = 30 * 24 + 9 = 729;

182 = (18 +2) * (18 – 2) +22 = 20 * 16 + 4 = 320 + 4 = 324.

Вычислить: 632;   352;   482;    542.

Решение:

632 = (63 + 3) * (63 – 3) + 32 = 66 * 60  + 9 = 3960 + 9 = 3969;

352 = (35 + 5) * (35 – 5) + 52 = 40 * 30 + 25 = 1200 +25 = 1225;

482 = (48 + 2) * (48 – 2) + 22 = 50 * 46 + 4 = 2300 + 4 = 2304;

542 = (54 - 4) * (54 + 4) + 42 = 50 * 58 + 16 = 2900 + 16 =2916.

4) Факториал.

Факториал (!) – знак, который ставится справа от числа и обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до этого числа включительно, т.е. 5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120; n! = 1 * 2 * 3 * 4 *… * (n -1) * n.

Число 145 может быть выражено суммой факториалов своих цифр:

145! = 1! + 4! + 5!

Неизвестно,  имеются ли еще числа, обладающие таким же свойством.

Проверьте равенство: 145! = 1! + 4! + 5!

Решение:

1! = 1;      4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24;      5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120.

1 + 24 + 120 = 145.

Тема: «Анкетирование».

Цель: выяснить отношение учащихся к данному курсу через анкетирование.

Анкета:

1. Нравится ли тебе заниматься математикой?
2. С удовольствием ли ты посещал данный курс?
3. Какой нетрадиционный способ вычислений удивил тебя больше всего?
4. Каким из изученных способов ты пользуешься чаще всего?
5. Несмотря на изученные способы умножения, ты пользуешься традиционным способом (да или нет)?
6. Делишься ли ты своими полученными знаниями, полученными при изучении данного курса, со своими родителями, знакомыми?
7. Пользуешься ли ты изученными способами умножения в повседневной жизни?
8. Чаще или реже, после изучения данного курса, ты стал пользоваться калькулятором?
9. Запиши любимый нетрадиционный способ умножения. Приведи пример.
10. Будешь ли ты посещать в будущем дополнительные занятия по математике для дальнейшего совершенствования своих математических знаний?

Список литературы:

1. Бертман Г. Н.  Приемы счета. – М.: Физматгиз,1959.

2. Гольдштейн Д. Н. Техника быстрых вычислений. – М.: Учпедгиз, 1948.

3. Катлер Э. и Мак – Шейн Р. Система быстрого счета по Трахтенбергу. – М.: Просвещение, 1967.

4. Кордемский Б. А. Математическая смекалка. – М.: Государственное издательство технико – теоретической литературы, 1957.
5. Перельман Я. И. Занимательная математика. – М.: Наука, 1970.

6. Сорокин А. С. Техника счета. – М.: Знание, 1976.

1

4

2

8

5

7

МОУ «Средняя общеобразовательная школа № 33»

Программа элективного курса

«Нетрадиционные приемы умножения»

5 – 6 классы

                                         Автор - составитель

                                                     Богачева Ольга Михайловна,

                                                          учитель математики высшей категории

Саранск

2012г.

Пояснительная записка

Счет и вычисления – основа порядка в голове.

И. Песталоцци.

      Рабочая программа элективного курса составлена на основе федерального компонента государственного стандарта основного общего образования. При разработке элективного курса учитывалось то, что курс как компонент образования должен быть направлен на формирование  у учащихся  новых видов познавательной и практической деятельности.  

     Развитие общества требует постоянного улучшения качества обучения, трудового и нравственного воспитания учащихся. Поэтому, важнейшей задачей обучения математике является обеспечение прочного и сознательного овладения учащимися математических знаний и умений, нужными в повседневной жизни и в работе каждого члена современного общества.

     В связи с этим необходимо подчеркнуть роль вычислительной подготовки учащихся в системе общего образования. Вычислительная культура является тем запасом знаний и умений, который находит повсеместное применение, является фундаментом изучения математики и других учебных дисциплин. Кроме того, вычисления активизируют память учащихся, их внимание, стремление к рациональной организации деятельности и прочие качества, оказывающие существенное влияние на развитие учащихся.

     Однако, из бесед с учителями математики можно сделать вывод о том, что уровень навыков вычислений и тождественных преобразований у учащихся резко снизился: они плохо и нерационально считают, кроме того, при вычислениях все чаще прибегают к помощи технических средств - калькуляторов. Еще одна проблема современных учащихся, которая напрямую связана с вычислительной культурой, - нерациональность вычислений. Нужно обучать школьников не только выбирать и осуществлять рациональный путь выполнения упражнений и решения задач, но и рационально записывать то или иное решение.

     Из выше сказанного следует, что существует необходимость более тщательного рассмотрения этого раздела  методики преподавания математики. Возникает потребность в ознакомлении учащихся с дополнительными приемами устных и письменных вычислений, которые позволили бы значительно сократить время, потраченное на вычисления и запись решения, и избежать использования различных вычислительных средств.

Цель курса:

- совершенствование вычислительных навыков учащихся посредством нетрадиционных приемов счета;

- обеспечение учащихся достаточно прочной базовой математической подготовкой, необходимой для продуктивной деятельности в современном мире.

Задачи:

 -  познакомить учащихся с различными нетрадиционными приемами счета и научить применять их на практике;

- повысить интерес учащихся к изучению математики;

- активизировать исследовательскую и познавательную деятельность учащихся;

-  воспитывать у учащихся  потребность в поиске знаний и их приложений;

- доказать учащимся необходимость приобретения навыков быстрого счета.

     Применять данный курс целесообразно в 5 – 6 классах. В истории математики известно более 30 общих способов умножения, отличающихся либо схемой записи, либо самим ходом вычисления. Пожалуй, принятый у нас обычный способ умножения является наиболее удобным для преподавания в младших классах, но отнюдь не лучшим в применении. Научиться  быстро считать  не так уж и сложно, а хорошему физику и математику просто необходимо овладеть основными приемами быстрого счета. Ниже перечисленные способы быстрого устного счета рассчитаны на ум « обычного» человека и не требует уникальных способностей. Главное – более или менее продолжительная тренировка.  В результате изучения данного курса повышается интерес учащихся к математике, увеличивается скорость вычислений, уменьшается количество ошибок.

Объем: 17 часа.

Результаты освоения курса

 Личностными результатами изучения  курса является формирование следующих умений:

- самостоятельно определять  правила поведения при общении и сотрудничестве.

Метапредметными результатами изучения курса являются формирование следующих универсальных учебных действий:

- учиться  совместно  с учителем обнаруживать и формулировать учебную проблему;

-  самостоятельно предполагать, какая информация нужна для решения учебной задачи;

- перерабатывать полученную информацию: сравнивать и группировать факты и явления;

- систематизировать, анализировать информацию, использовать разнообразные информационные источники, включая учебную и справочную литературу;

- перерабатывать полученную информацию: делать выводы на основе обобщения знаний;

- ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи;

- слушать других, пытаться принимать другую точку зрения, быть готовым изменить свою точку зрения;

- выдвигать свои гипотезы и их обосновывать;

- выполняя различные роли в группе, сотрудничать в совместном решении проблемы (задачи).

Предметными результатами изучения курса  являются формирование следующих умений:

- применять  нетрадиционные приемы умножения в повседневной жизни;

- рационально организовывать ход вычислений;

- сознательно использовать основные особенности чисел, применяемых в вычислениях.

Тематический план

Содержание

История счета.

   -   Введение. Анкетирование учащихся.

    - История происхождения чисел. Как люди научились считать. Пальцевый счет.  Китайский счет; японский счет; арабско- восточноафриканский счет; английский счет; континентальный европейский счет.  Пальцевый счет в качестве культурной идентификации. Пальцевый счет в спорте. Телесный счет.

     - Великие счетчики. Знакомство с людьми, обладающими способностями к устному счету. Краткие сведения о жизни Рачинского С.А., Трахтенберга, Я.,Гольдштейна Д. Н. – математиков, пропагандировавших различные приемы быстрого счета.

Приемы умножения.

     - Умножение чисел разложением множителей на множители или на слагаемые. Свойства умножения для упрощения вычислений.

- Способы, учитывающие особенности чисел. Умножение чисел на 4; на 5; на 6; на 7; на 8; на 9; на 11; на 12;  на 25; на 101.

Нетрадиционные приемы умножения.

      - Алгоритмы умножения чисел на 9. Умножение однозначных чисел на 9  с помощью пальцев. Решение различных заданий на умножение многозначных чисел на 9.

- Алгоритмы умножения чисел на  99. Умножение двузначных чисел, цифры которых одинаковые, на 99. Решение различных заданий на умножение многозначных чисел на 99.

 - Алгоритмы умножения чисел на  999. Решение различных заданий на умножение многозначных чисел на 999.

- Алгоритмы  умножения двузначного и многозначного  чисел на число, близкое к 100. Решение заданий на применение этих  алгоритмов.

- Алгоритм умножения чисел, у которых сумма цифр единиц составляет 10. Решение различных заданий на умножение  таких чисел.

- Алгоритмы умножения чисел, у которых число десятков одинаково, а сумма единиц сомножителей составляет 10, и другие случаи. Решение различных заданий на применение данных алгоритмов.

- Алгоритмы умножения чисел с равным числом десятков или с равным числом единиц, или на число, состоящее из одинаковых цифр. Решение различных заданий на отработку данных алгоритмов.

- Алгоритм умножения чисел, заключенных между 10 и 20. Решение различных заданий на умножение таких чисел.

- Алгоритм  умножения двузначных чисел, оканчивающихся на 1. Решение различных заданий на отработку данного алгоритма .

Применение различных приемов умножения.

  -  Решение примеров на умножение чисел различными нетрадиционными способами.

 - Использование различных нетрадиционных способов умножения в качестве математических фокусов и развлечений.

- Числовой фейерверк: решение познавательных и оригинальных задач. Мгновенное возведение в квадрат. Факториал. Число Шехерезады.

   - Анкетирование учащихся.

Список литературы:

1. Бертман Г. Н.  Приемы счета. – М.: Физматгиз,1959.
2. Гольдштейн Д. Н. Техника быстрых вычислений. – М.: Учпедгиз, 1948.
3. Катлер Э. и Мак – Шейн Р. Система быстрого счета по Трахтенбергу. – М.: Просвещение, 1967.
4. Кордемский Б. А. Математическая смекалка. – М.: Государственное издательство технико – теоретической литературы, 1957.
5. Перельман Я. И. Занимательная математика. – М.: Наука, 1970.
6. Сорокин А. С. Техника счета. – М.: Знание, 1976.