Решение линейных неравенств, методика повторения
методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме

Методика повторения темы:

«Решение неравенств первой степени

с одним неизвестным»

(при подготовке девятиклассников к итоговой аттестации)

Разработка учителя математики ГБОУ СОШ № 861

Ходаковой Людмилы Ивановны

г. Москва, 2012год

Оглавление:

Введение        

1. Решение неравенств первой степени с одним неизвестным        

1.1.        Упражнения для закрепления        

1.2. Примеры для самостоятельного решения        

1.3. Примеры для закрепления        

1.3.1. I блок заданий        

1.3.2. II блок заданий        

1.4. Тренировочные упражнения        

1.5. Упражнения для самостоятельного решения        

Заключение        

Литература        

Введение

Цель данной работы: разработка методики подготовки учащихся 9-х классов к Государственной итоговой аттестации, по теме «Неравенства».

Все девятиклассники нашей школы  сдают экзамены по алгебре в  форме ГИА. Этот экзамен вызывает у многих учащихся и их родителей тревогу не только названием, но и формой проведения, он не похож на обычные школьные контрольные работы, к которым привыкли и ученики и учителя. Именно поэтому к нему необходимо специально готовить даже тех, кто неплохо пишет обычные контрольные работы, а уж тем более тех, кто испытывает затруднения в математике.

Перед учителем стоит задача, наряду с прохождением программы 9-го класса организовать повторение по всему классу алгебры. Это не только итоговое повторение – это систематическая работа в течение всего года, на каждом уроке.

Некоторые темы изучаются не так много времени, но в тестах они есть. Например, «стандартный вид числа». Отработку можно проводить почти на каждом уроке; предложить ученику записать ответ в стандартном виде. При изучении или повторении любой темы записывать ответ не только обыкновенной дробью, но и перевести ее в десятичную (если это возможно). В алгебраических дробях или выражениях попросить записать ответ по-разному, так как часто ученики не узнают свой правильный результат в предложенных ответах и т.д.

Выпускные классы 1 раз в неделю занимаются по группам.

Первая группа идет на урок математики, а вторая – на урок русского языка. На следующий урок группы меняются. На этих уроках идет систематическая подготовка учащихся к экзаменам по специально подготовленному планированию, которое разрабатывалось учителем с учетом рекомендаций Федерального института педагогических измерений, согласно кодификатору элементов содержания.

Также учитель использует анализ результатов выполнения экзаменационной работы предыдущего учебного года, данный в материалах Московского центра качества образования.

В 2008 году авторский коллектив МЦНМО Ященко И.В., Семенов А.В., Захаров П.И. предложили свою систему подготовки к экзамену по алгебре в новой форме. Предложенная система оказалась востребованной учителями, учащимися и их родителями. Мне, как учителю математики, она оказала большую помощь в организации повторения курса алгебры в выпускном классе.

1. Решение неравенств первой степени с одним неизвестным

1. Определение. Действительное число а больше (меньше) действительного числа b, если их разность а – b – число положительное (отрицательное).

а)  т.е. а > b, если a – b > 0.

На координатной прямой «а» расположено правее «b».

          b                 a

б)  a < b, если a – b < 0, и число а расположено на координатной прямой левее числа b.  

              a                  b

Отсюда следует:

0. всякое положительное число больше нуля
1. всякое отрицательное число меньше нуля

Итак,   a > 0 означает, что а – положительное число;

        а < 0 означает, что а – отрицательное число;

                а > b означает, что a – b – положительное число, т.е. a – b > 0;

                a < b означает, что a – b – отрицательное число, т.е. a – b < 0.

Для нестрогих неравенств:

                а ≥ 0, а – неотрицательное число;

                а ≤ 0, а – неположительное число;

                a ≥ b, a – b – неотрицательное число, значит a – b ≥ 0;

                a ≤ b, a – b – неположительное число, значит a – b ≤ 0;

                a2 ≥ 0, (a – b)2 ≥ 0 – для любых чисел a и b.

Геометрическая модель: из двух чисел a и b больше то, которое располагается на числовой оси правее.

Алгоритм решения линейного неравенства 1 степени с одной неизвестной:

1. Раскрыть скобки в обеих частях неравенства (если есть дробные коэффициенты, то неравенство освободить от дробей).
2. Перенести слагаемые, содержащие переменную в одну часть, а не содержащие в другую.
3. Привести подобные члены в каждой части.
4. Разделить обе части неравенства на коэффициент перед переменной (с учетом свойств равносильности при а ≠ 0).
5. Записать ответ в виде простейшего неравенства.
6. Отметить соответствующие промежутки на координатной прямой.
7. Записать числовой промежуток.

1. Упражнения для закрепления

Далее целесообразно привести примеры непосредственно из экзаменационных материалов 2009 года (сборники ФИПИ, МЦКО, рабочая тетрадь и др.) в качестве самостоятельного решения с последующей проверкой.

1. На координатной прямой отмечены числа х, у и z. Какая из следующих разностей положительна?

                     Х                 Y               Z        х

1. x – у                     2) y – z                   3) z – y                  4) x – z

z – y > 0, т.к. z > y (правее)

2. На координатной прямой отмечены числа а и b. Сравните числа – а и –b

                     b                  а               0                 х

        Решение.

       b         a          0          -a      -b      x

а и –а,  b и –b – числа противоположные, на координатной прямой они располагаются по разные стороны от нуля.

– а <  –b, т.к. число – а левее числа  –b.

Ответ: – а < –b.

3. О числах а, b и с известно, что а > b > с. Какое из этих чисел отрицательно?

A.     a – b                              В.      а – с

Б.      b – с                          Г.     с – b  

Решение.

                     с                       b               а                х

a – b > 0, т.к. точка а правее точки b, т.е. a > b

b – с > 0, т.к. точка b правее точки c, т.е. b > c

а – с > 0, т.к. точка а правее точки b, т.е. a > с

с – b < 0, точка с левее точки b, т.е. с < b.

Рассмотрению линейных неравенств и их систем предшествует детальное изучение числовых неравенств и их свойств, в итоговом повторении необходимо их вспомнить.

Свойства числовых неравенств:

1. Если  a > b и b > c, то a > с.
2. Если  a > b, то a + с > b + с.
3. Если a > b и m > 0, то am > bm; если a > b и m < 0, то am < bm.

Смысл свойства 3:

Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства следует сохранить; если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства следует изменить (< на >, > на <).

4. Если a > b и с > d, то а + с > b + d.
5. Если a, b, с, d – положительные числа и a > b, с > d, то aс > bd.

Свойство 5 означает, что при умножении неравенств одинакового смысла, у которых левые и правые части – положительные числа, получится неравенство того же смысла.

6. Если a и b – неотрицательные числа и a > b, то an > bn, где n – любое натуральное число.

Смысл свойства 6 заключается в следующем: если обе части неравенства – неотрицательные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства.

Дополнение к свойству 6.

Если n – нечетное число, то для любых чисел a и b из неравенства   a > b следует неравенство этого же смысла an > bn.

Свойства числовых неравенств позволяют сравнивать действительные числа по величине, оценивать результат.

Примеры:

1. Оцените периметр прямоугольника его сторонами a м и b м, если 3

Решение.

Р = (a + b) ∙ 2

1. Сложим почленно оба данных неравенства, т.к. они одинакового смысла (св-во 4)

    3 < a < 4

+ 5 < b < 6

 8 < a + b < 10

2. Умножим все неравенство на 2: 16 < 2 ∙ (a + b) < 20. Итак, 16

Ответ: 16м < P < 20м.

2.  Оцените площадь прямоугольника со сторонами Х см и У см, если 15

Решение.

S = х * у.

Так как х > 0 и у > 0,  то получим (свойство 5):

   15 < x < 16

* 20 < y < 21

300 < x∙y < 336

Ответ 300 см2 < S < 336 см2 .

3. Сравнить числа:

а)   √5  и  √7

Решение.

Предположим (подсказывает интуиция), что √5 < √7, тогда согласно свойству 6, (√5)2 < (√7)2, т.е. 5 < 7 – верное числовое неравенство, значит √5 < √7.

 б) √3 + √6     и      2 + √5

Решение.

Поставим знак > наугад, т.е. предположим √3 + √6 > 2 + √5, далее возведем в квадрат и используя свойство 6 получим:

(√3 + √6)2 > (2 + √5)2,

3 + 2√18 + 6 > 4 + 4√5 + 5, 9 + 2√18 > 9 + 4√5.

Прибавим – 9 к обеим частям неравенства, получим (свойство 2)

9 + 2√18 – 9 > 9 + 4√5 – 9,

2√18 > 4√5 | : 2 (св-во 3),

√18 > 2√5,   (√18)2 > (2√5)2 (св-во 6),

18 > 20 – ложно, значит √3 + √6 < 2 + √5.

1.2. Примеры для самостоятельного решения

Свойства числовых неравенств помогут нам решать неравенства с переменной, т.е. находить те значения переменной, при которых неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство.

Каждое такое значение переменной называют решением неравенства с переменной (частным).

Например, 2х + 5 < 7,

х = 0 является частным решением данного неравенства, т.к. 2 ∙ 0 + 5 < 7, 5 < 7 (верно);

х = 1 не является решением, т.к. 2 ∙ 1 + 5 < 7, 7 < 7 (ложно);

х = -3 является решением данного неравенства, т.к. – 6 + 5 < 7, - 1 < 7 (верно).

Но ведь все числа невозможно перебрать!

Вот тут-то и нужно использовать свойства числовых неравенств.

2х + 5 < 7,

2х + 5 – 5 < 7 – 5 (свойство №2),

2х < 2 | : 2 (свойство №3),

х < 1.

Решением этого неравенства является любое число х, которое меньше 1. Эти числа заполняют луч (- ∞, 1) – решение неравенства 2х + 5 < 7.

Свойства числовых неравенств позволяют руководствоваться при решении неравенств следующими правилами:

1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не изменив при этом знак неравенства.
2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства.
3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный.

Обычно при решении неравенства стараются заменить данное неравенство более простым, но равносильным ему. Такую замену называют равносильным преобразованием неравенства.

Эти преобразования как раз указаны в правилах 1 – 3.

Для решения линейных неравенств, т.е. неравенств, сводящихся к виду  ах + b > 0 (или ах + b < 0), будем применять равносильные преобразования.

Пример 1.

Решить неравенство 3х – 5 ≥ 7х – 15.

Решение.

3х – 7х ≥ – 15 + 5, т.е.

-4х ≥ - 10 | : (-4) (делим на отрицательное число),

х ≤ 2,5.

Изобразим множество решений заданного неравенства на числовой прямой.

                        -2,5                        х

Ответ: (- ∞; 2,5] или х ≤ 2,5.

Результаты экзаменов показывают, что при решении линейных неравенств основной трудностью остается деление обеих частей неравенства на отрицательное число.

1.3. Примеры для закрепления

1.3.1. I блок заданий

Во всех этих примерах учитель может задавать дополнительные вопросы, например:

2. назовите хотя бы одно частное решение этого неравенства;
3. какое это неравенство – строгое или нестрогое?
4. является ли число 6 решением данного неравенства (пример 2.к)?
5. назовите несколько целых частных решений этого неравенства;
6. назовите наибольшее (наименьшее) целое решение данного неравенства.

Отработав решение простейших неравенств, можно перейти ко IIблоку примеров вида 9х – 5 > 3х + 7, а потом к решениям неравенств (III блок) вида 8 – 5(х + 2) < 4(1 – х).

1.3.2. II блок заданий

1. Является ли число, указанное в скобках, решением неравенства?

2.  Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой.

а) 3(3х – 1) > 2(5х- 7)

Решение.

Раскроем скобки, применив распределительное свойство умножения.

3(3х – 1) > 2(5х- 7),

9х – 3 > 10х- 14,

9х – 10х  > - 14 + 3

- х > -11 | ∙ (-1) !                                         11                          х

х < 11.

б). 2(3х – 7)  - 5х ≤ 3х – 11,

     6х – 14 – 5х ≤ 3х – 11,

     х – 3х ≤ -11 + 14,

     -2х ≤ 3 | : (-2) !,                                           -1,5                           х

     х ≥ - 3/2.

1.4. Тренировочные упражнения

Задание:                                Решение:

1.5. Упражнения для самостоятельного решения

    Задания                                           Ответы

1. 6 – 4с > 7 – 6c                                     (0,5; + ∞)
2. 3 – 2x < 12 – 5х                                   (- ∞; 3)
3. 6n – 2 ≤ 7n + 8                                [-10; + ∞)
4. 3t + 5 > 7t – 7                                      (- ∞; 3)
5. x – 4(x – 3) < 3 – 6x                            (- ∞; - 10)
6. 25 – x > 2 – 3(x – 6)                            (- 2,5; + ∞)
7. 2x – 4(x – 8) ≤ 3x + 2                          [6; + ∞)
8. 12x – 16 ≥ 11x + 2(3x + 2)                (- ∞; - 4]
9. 6x – 5(2x + 8) > 14 + 2x                        (- ∞; - 9)
10. 5(x + 4) < 2(4x – 5)                        (10; + ∞)
11. 3x – 4(x + 1) < 8 + 5x                        (-2; + ∞)
12. 3x – (2x – 7) ≤ 3(1 + x)                        [2; + ∞)
13. При каких значениях m значение выражения 10m + 1 больше значений выражения 8m – 2?                         Ответ: при m ϵ (-1,5; + ∞)
14. При каких значениях а выражение 3а + 1 принимает положительные значения?                                        Ответ: при а > - 1/3
15. При каких значениях у значение выражения 3у + 12 не больше 9?

Ответ: при  у ≤ - 1

Заключение

В ходе данной работы были решены следующие задачи:

1. Изучена учебно-методическая литература по теме «Неравенства»

2. Для разных типов неравенств даны алгоритмы их решения.

3. Разработана методика подготовки учащихся 9-х классов к итоговой аттестации в форме ГИА по теме «Неравенства».

4. Разработана система упражнений по данной теме.

5. Были изучены материалы Федерального института педагогических измерений о результатах ГИА в 2010 году, особенно причины неудач на экзамене и перечень ошибочных представлений школьников, которые следует иметь в виду в практике преподавания.

При подготовке к ГИА учитель использует тематическую рабочую тетрадь «Алгебра. 9 класс» И.В. Ященко, А.В. Семенов, П.Н. Захаров, что значительно облегчает его работу.

Литература

1. И.В. Ященко, А.В. Семенов, П.И. Захаров. Подготовка к экзамену по математике ГИА-9. Методические рекомендации. М.: МЦНМО, 2010г.
2. И.В. Ященко, А.В. Семенов, П.И. Захаров. Алгебра. Тематическая рабочая тетрадь для подготовки к экзамену (в новой форме). М.: МЦНМО, 2010г.
3. Е.С. Зозуля, В.В. Марголина, А.О. Татур. Сборник материалов для подготовки выпускников IX классов к государственной (итоговой) аттестации в 2009/2010 учебном году в новой форме. М.: МЦКО.
4. Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Т.В. Колесникова, Л.О. Рослова. Алгебра. Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе. М.: «Просвещение», 2008г.
5. С.А. Шестаков, И.Р. Высоцкий, Л.И. Звавич. Сборник задач для подготовки и проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы.
6. А.Г. Мордкович. Алгебра. Методическое пособие для учителя 7-9 класс. М.: Мнемозина, 2010 г.
7. А.Г. Мордкович. Алгебра 8(9). Учебник. М.: Мнемозина, 2011 г.
8. А.Г. Мордкович. Алгебра 8(9). Задачник. М.: Мнемозина, 2011 г.
9. Л.В. Кузнецова. Методические указания к теме «Неравенства». М: «Математика в школе» №6, 2002 г. :  (с. 22-32).
10. Т. Королева. Математический тренажер по алгебре для 7-9 классов. М:

«Математика в школе» № 8, 2001 г. :  (с. 12-30).

11. С.М. Никольский и др. «Алгебра 9. Учебник». Издательство «Просвещение», 2002 г.