Особенности изучения темы "Неравенства"
методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме

Особенности изучения темы: «Неравенства»

Методическая разработка

учителя математики ГБОУ СОШ № 861 г.Москвы

Ходаковой Людмилы Ивановны

Москва, 2012 год

Оглавление:

Введение        

1. Особенности изучения темы «Неравенства»        

Заключение        

Литература        

Введение

Цель данной работы: выявление особенностей изучения темы «Неравенства и их системы» для разработки в дальнейшем методики повторения этой темы при подготовке девятиклассников к итоговой аттестации.

Школа должна подготовить учащихся к тому, чтобы в будущем они умели решать разнообразные практические и теоретические задачи. Поэтому надо стараться формировать у учащихся общие методы мышления и деятельности, общие способы подхода к любой задаче. Применение алгоритмических приемов в практической работе широко используется при изучении темы «Неравенства», так как понятие алгоритма пронизывает все области математики – от элементарной до высшей.

Материал, связанный с неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики. Неравенства используются в различных разделах математики при решении важных прикладных задач.

Неравенства сами по себе представляют интерес для изучения еще и потому, что именно с их помощью на математическом (символьном) языке записываются важные задачи познания реальной действительности. В курсе математики (7-11) А.Г. Мордковича математический язык и построение математических моделей является идейным стержнем.

Тема «Неравенства» связана со всеми темами курса алгебры. Например, неравенства используются при изучении свойств функции (монотонность, ограниченность, нахождение промежутков знакопостоянства и др.), решении задач, связанных с прогрессиями, а также текстовых задач, в которых построение математической модели приводит к неравенству или системе неравенств.

1. Особенности изучения темы «Неравенства»

До прихода в школу дети приобретают опыт в обращении с понятиями «больше», «меньше», «не равно». С соотношениями «больше», «меньше» между числами и знаками этих соотношений дети знакомятся в первом классе при изучении чисел первого десятка. В начальной школе дети должны научиться сравнивать простейшие числовые выражения, например, такие как: а + 3 и а + 1.

В начальной школе начинается и решение простейших неравенств, хотя термины «решение неравенства» и «»решить неравенство» еще не вводятся. Пример задания, предлагаемого в начальной школе: «Записать несколько значений букв, при которых верно неравенство Х < 9». В классе изучается сравнение натуральных чисел и десятичных дробей. Результат сравнения записывается в виде неравенства с помощью знаков «>» и «<».

В 6 классе отношения «больше», «меньше» осуществляются с помощью числовой оси: «больше» - значит правее, «меньше» - левее. На множестве рациональных чисел вводится понятие модуля числа. В связи с этим рассматриваются неравенства вида │х│ ≤ а, │х - b│ < b, │х - а│≤ b.

В 7 классе в связи с изучением линейной и квадратичной (y = x2) функций (уч. А.Г. Мордковича, 7 кл.) появляется новая математическая модель – числовые промежутки, еще один шаг в изучении неравенств. На этом этапе важно отработать умение записывать промежутки, используя знаки неравенств, переходить от аналитической записи к геометрической модели и, конечно, их называть. Появляются упражнения:

0. Изобразите на координатной прямой числовой промежуток, назовите его, запишите его аналитическую модель, используя знаки неравенств, например: (-1, 0)

                                               - интервал (-1, 0), -1 < y < 0.

       -1                  0         y

[4, 6]

                                               - отрезок  4 ≤ х ≤ 6.

       4                   6         x

1. Дана геометрическая модель числового промежутка. Назовите этот числовой промежуток, обозначьте его, запишите его аналитическую модель.

Тема «Неравенства» систематически изучается, начиная с 8-го класса. В нее включены следующие разделы: «Числовые неравенства и их свойства», «Линейное неравенство с одной переменной», «Система линейных неравенств с одной переменной», «Квадратные неравенства». В 8 классе начинается изучение различных способов доказательства неравенств. Эта тема придает логическую завершенность всему материалу, который изучается в 8-ом классе по авторской программе А.Г. Мордковича.

Идея равносильности и равносильных преобразований, заложенная при изучении рациональных и иррациональных уравнений, развивается на этот раз на материале линейных неравенств.

Две главные темы всего курса алгебры 8-го класса «Решение квадратных уравнений» и «Построение графика квадратного трехчлена» соединены в параграфе «решение квадратных неравенств».

Наконец, введя понятие монотонности функции, имеется возможность повторить весь связанный с функциями материал 8-го класса.

Выстраивая для себя методику изучения неравенств в 8-ом классе, учителю важно знать, какое продолжение имеет эта тема в старших классах.

В 9-ом классе одной из первых тем изучается тема «Рациональные неравенства и их системы». Поэтому важно учесть следующее обстоятельство: квадратные неравенства в 8-ом классе интересуют нас не как самоцель, а как средство для более глубокого усвоения ключевых моментов курса - квадратных уравнений и графика квадратного трехчлена. Далее, в 10-м классе предполагается изучение показательных и логарифмических неравенств, а в 11-м классе – изучение всего курса алгебры завершается обзорной темой «Уравнения, неравенства, системы уравнений, системы неравенств», где предполагается подвести итоги всему изучению уравнений и неравенств с 7-го по 10-й класс: равносильные и неравносильные преобразования, причины появления посторонних решений, способы проверки, основные методы решения уравнений и неравенств, уравнения и неравенства с параметрами, доказательство неравенств и т.д.

Вернемся к теме «Решение квадратных неравенств». Понятно, что не стоит в 8-ом классе увлекаться методом интервалов, гораздо важнее довести до учащихся следующую мысль: решая неравенство ax2 + bx + с > 0, достаточно сделать схематический набросок графика функции у = ax2 + bx + с, для чего следует лишь найти корни квадратного трехчлена – точки пересечения параболы с осью Х и определить, куда (вверх или вниз) направлены ветви параболы. Этот схематический набросок даст наглядное истолкование решения неравенств.

В 9-м классе первый параграф, посвященный линейным и квадратным неравенствам с одной переменной, носит повторительный характер. По сравнению с курсом алгебры  8 класса продвижение вперед намечено по двум направлениям.

1. Обобщаются правила умножения или деления на одно и то же положительное или отрицательное число:

Если обе части неравенства с переменной х умножить или разделить на одно и то же выражение р(х), положительное при всех значениях х, и сохранить знак исходного неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.

Если обе части неравенства с переменной х умножить или разделить на одно и то же выражение р(х), отрицательное при всех значениях х, и изменить знак исходного неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Например, неравенство (2х + 1)(х2 + 2) > 0 равносильно неравенству 2х + 1 > 0 (обе части исходного неравенства разделили на выражение х2 + 2, положительное при любых значениях х; при этом знак исходного неравенства оставили без изменения).

Неравенство  равносильно неравенству 3х – 4 < 0 (обе части исходного неравенства умножили на выражение –х4 – 1, отрицательное при любых значениях х; при этом знак исходного неравенства изменили).

2. Если в курсе алгебры 8 класса рассматривались неравенства с модулями только вида │х - а│ < с, неравенства вида │ах + b│< с.

Пример.

Решить неравенство │3х + 4│ < 5.   

Решение.

3│х + 4/3│< 5

│х + 4/3│ < 5/3

А далее применяется прием, известный учащимся из курса алгебры 8 класса: нужно найти на числовой прямой все точки х, удаленные от  точки  (-4/3)  менее  чем  на  5/3. Все они расположены в интервале (-3, 1/3).

      -3       -4/3      1/3     x

Во втором параграфе речь идет о решении рациональных неравенств методом интегралов, здесь необходимо обратить внимание на следующие моменты:

1. Необходимо добиться, чтобы учащиеся усвоили идею сохранения знака рациональной функции на интервалах между ее нулями (корнями числителя) и полюсами (корнями знаменателя). Когда накопится некоторый содержательный опыт, тогда можно формализовать ситуацию и вывести кривую знаков.
2. Прием «двойных точек» можно показать в конце изучения темы, в продвинутом классе, так как овладение самой идеей знакопостоянства функции важнее овладения механической технологией решения неравенств.

(х – 1)2 (х + 2) < 0

            2                1          x

3. В работе с учениками, для решения квадратных неравенств не стоит использовать метод интервалов, так как это вносит некую путаницу и неуверенность (кроме «напрашивающихся» на метод интервалов неравенств типа х(х – а) < 0).

Процедура решения систем неравенств раскрывается в третьем параграфе. Сначала ученикам предлагаются задачи, выводящие на новую математическую модель – систему неравенств, т.е. используется проблемный подход к изучению нового материала.

Для решения систем неравенств можно использовать метод штриховок (ученики его лучше воспринимают) или метод крыш.

Пример.

Решить систему неравенств:

Х2 – 9 ≥ 0,

5х – х2 ≥ 0

Решение.

1. х2 – 9 ≥ 0, (х – 3)(х + 3) ≥ 0

                                               - геометрическая модель решения первого

        -3                   3        x       неравенства

2. 5х – х2 ≥ 0, х(5 – х) ≥ 0

                                               - геометрическая модель решения второго

       0                   5         x        неравенства

Отметим найденные решения обоих неравенств системы на одной координатной прямой, использовав для решения первого верхнюю штриховку, а для решения второго – нижнюю.

Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Таким промежутком является отрезок [3, 5].

       -3        0        3     5           x

При использовании «метода крыш» геометрические модели будут выглядеть так:

        -3                   3        x      

       0                   5         x        

       -3        0        3     5   x

Задания первой части экзаменационной работы направлены на проверку владения следующими знаниями и умениями:

1. знать и понимать алгебраическую трактовку отношений «больше» и «меньше» между числами;
2. знать и применять свойства числовых неравенств;
3. знать и понимать термины: «решение неравенства с одной переменной»,  «решение системы неравенств с одной переменной»;
4. решать линейные неравенства с одной переменной и их системы;
5. находить множество решений квадратного неравенства с одной переменной, опираясь на графическое изображение.

Задания второй части экзаменационной работы направлены на проверку умений:

1. решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, требующие для их приведения к простейшему виду алгебраических преобразований;
2. выбирать решения, удовлетворяющие дополнительным условиям;
3. решать квадратные неравенства и системы, включающие квадратные неравенства;
4. решать задачи, связанные с решением неравенств и систем, содержащих буквенные коэффициенты;
5. применять аппарат неравенств для решения математических задач.

Согласно этим требованиям, учитель подбирает систему упражнений по теме «Неравенства» как для работы в классе (тренировочные, для самостоятельного решения, зачетные), так и для домашних заданий в ходе как итогового повторения, так и входе систематической подготовки учащихся к экзаменам по специально подготовленному планированию в течение всего учебного года.

Заключение

В ходе данной работы были решены следующие задачи:

1. Изучена учебно-методическая литература по теме «Неравенства».

2. Были изучены материалы Федерального института педагогических измерений о результатах ГИА в 2010 году, особенно причины неудач на экзамене и перечень ошибочных представлений школьников, которые следует иметь в виду в практике преподавания.

Литература

1. И.В. Ященко, А.В. Семенов, П.И. Захаров. Подготовка к экзамену по математике ГИА-9 (новая форма) в 2010 году. Методические рекомендации. М.: МЦНМО, 2010г.
2. И.В. Ященко, А.В. Семенов, П.И. Захаров. Алгебра. Тематическая рабочая тетрадь для подготовки к экзамену (в новой форме). М.: МЦНМО, 2010г.
3. А.Г. Мордкович. Алгебра. Методическое пособие для учителя 7-9 класс. М.: Мнемозина, 2005 г.
4. А.Г. Мордкович. Алгебра 8(9). Учебник. М.: Мнемозина, 2005 г.
5. А.Г. Мордкович. Алгебра 8(9). Задачник. М.: Мнемозина, 2005 г.
6. Л.В. Кузнецова. Методические указания к теме «Неравенства». М: «Математика в школе» №6, 2002 г. :  (с. 22-32).