Особенности изучения темы "Неравенства"
методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме
Методическая разработка "Особенности изучения темы "Неравенства"
Цель данной работы: выявление особенностей изучения темы «Неравенства и их системы» для разработки в дальнейшем методики повторения этой темы при подготовке девятиклассников к итоговой аттестации.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 147.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Особенности изучения темы: «Неравенства»
Методическая разработка
учителя математики ГБОУ СОШ № 861 г.Москвы
Ходаковой Людмилы Ивановны
Москва, 2012 год
Оглавление:
1. Особенности изучения темы «Неравенства»
Заключение
Литература
Цель данной работы: выявление особенностей изучения темы «Неравенства и их системы» для разработки в дальнейшем методики повторения этой темы при подготовке девятиклассников к итоговой аттестации.
Школа должна подготовить учащихся к тому, чтобы в будущем они умели решать разнообразные практические и теоретические задачи. Поэтому надо стараться формировать у учащихся общие методы мышления и деятельности, общие способы подхода к любой задаче. Применение алгоритмических приемов в практической работе широко используется при изучении темы «Неравенства», так как понятие алгоритма пронизывает все области математики – от элементарной до высшей.
Материал, связанный с неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики. Неравенства используются в различных разделах математики при решении важных прикладных задач.
Неравенства сами по себе представляют интерес для изучения еще и потому, что именно с их помощью на математическом (символьном) языке записываются важные задачи познания реальной действительности. В курсе математики (7-11) А.Г. Мордковича математический язык и построение математических моделей является идейным стержнем.
Тема «Неравенства» связана со всеми темами курса алгебры. Например, неравенства используются при изучении свойств функции (монотонность, ограниченность, нахождение промежутков знакопостоянства и др.), решении задач, связанных с прогрессиями, а также текстовых задач, в которых построение математической модели приводит к неравенству или системе неравенств.
1. Особенности изучения темы «Неравенства»
До прихода в школу дети приобретают опыт в обращении с понятиями «больше», «меньше», «не равно». С соотношениями «больше», «меньше» между числами и знаками этих соотношений дети знакомятся в первом классе при изучении чисел первого десятка. В начальной школе дети должны научиться сравнивать простейшие числовые выражения, например, такие как: а + 3 и а + 1.
В начальной школе начинается и решение простейших неравенств, хотя термины «решение неравенства» и «»решить неравенство» еще не вводятся. Пример задания, предлагаемого в начальной школе: «Записать несколько значений букв, при которых верно неравенство Х < 9». В классе изучается сравнение натуральных чисел и десятичных дробей. Результат сравнения записывается в виде неравенства с помощью знаков «>» и «<».
В 6 классе отношения «больше», «меньше» осуществляются с помощью числовой оси: «больше» - значит правее, «меньше» - левее. На множестве рациональных чисел вводится понятие модуля числа. В связи с этим рассматриваются неравенства вида │х│ ≤ а, │х - b│ < b, │х - а│≤ b.
В 7 классе в связи с изучением линейной и квадратичной (y = x2) функций (уч. А.Г. Мордковича, 7 кл.) появляется новая математическая модель – числовые промежутки, еще один шаг в изучении неравенств. На этом этапе важно отработать умение записывать промежутки, используя знаки неравенств, переходить от аналитической записи к геометрической модели и, конечно, их называть. Появляются упражнения:
- Изобразите на координатной прямой числовой промежуток, назовите его, запишите его аналитическую модель, используя знаки неравенств, например: (-1, 0)
- интервал (-1, 0), -1 < y < 0.
-1 0 y
[4, 6]
- отрезок 4 ≤ х ≤ 6.
4 6 x
- Дана геометрическая модель числового промежутка. Назовите этот числовой промежуток, обозначьте его, запишите его аналитическую модель.
Тема «Неравенства» систематически изучается, начиная с 8-го класса. В нее включены следующие разделы: «Числовые неравенства и их свойства», «Линейное неравенство с одной переменной», «Система линейных неравенств с одной переменной», «Квадратные неравенства». В 8 классе начинается изучение различных способов доказательства неравенств. Эта тема придает логическую завершенность всему материалу, который изучается в 8-ом классе по авторской программе А.Г. Мордковича.
Идея равносильности и равносильных преобразований, заложенная при изучении рациональных и иррациональных уравнений, развивается на этот раз на материале линейных неравенств.
Две главные темы всего курса алгебры 8-го класса «Решение квадратных уравнений» и «Построение графика квадратного трехчлена» соединены в параграфе «решение квадратных неравенств».
Наконец, введя понятие монотонности функции, имеется возможность повторить весь связанный с функциями материал 8-го класса.
Выстраивая для себя методику изучения неравенств в 8-ом классе, учителю важно знать, какое продолжение имеет эта тема в старших классах.
В 9-ом классе одной из первых тем изучается тема «Рациональные неравенства и их системы». Поэтому важно учесть следующее обстоятельство: квадратные неравенства в 8-ом классе интересуют нас не как самоцель, а как средство для более глубокого усвоения ключевых моментов курса - квадратных уравнений и графика квадратного трехчлена. Далее, в 10-м классе предполагается изучение показательных и логарифмических неравенств, а в 11-м классе – изучение всего курса алгебры завершается обзорной темой «Уравнения, неравенства, системы уравнений, системы неравенств», где предполагается подвести итоги всему изучению уравнений и неравенств с 7-го по 10-й класс: равносильные и неравносильные преобразования, причины появления посторонних решений, способы проверки, основные методы решения уравнений и неравенств, уравнения и неравенства с параметрами, доказательство неравенств и т.д.
Вернемся к теме «Решение квадратных неравенств». Понятно, что не стоит в 8-ом классе увлекаться методом интервалов, гораздо важнее довести до учащихся следующую мысль: решая неравенство ax2 + bx + с > 0, достаточно сделать схематический набросок графика функции у = ax2 + bx + с, для чего следует лишь найти корни квадратного трехчлена – точки пересечения параболы с осью Х и определить, куда (вверх или вниз) направлены ветви параболы. Этот схематический набросок даст наглядное истолкование решения неравенств.
В 9-м классе первый параграф, посвященный линейным и квадратным неравенствам с одной переменной, носит повторительный характер. По сравнению с курсом алгебры 8 класса продвижение вперед намечено по двум направлениям.
- Обобщаются правила умножения или деления на одно и то же положительное или отрицательное число:
Если обе части неравенства с переменной х умножить или разделить на одно и то же выражение р(х), положительное при всех значениях х, и сохранить знак исходного неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.
Если обе части неравенства с переменной х умножить или разделить на одно и то же выражение р(х), отрицательное при всех значениях х, и изменить знак исходного неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.
Например, неравенство (2х + 1)(х2 + 2) > 0 равносильно неравенству 2х + 1 > 0 (обе части исходного неравенства разделили на выражение х2 + 2, положительное при любых значениях х; при этом знак исходного неравенства оставили без изменения).
Неравенство равносильно неравенству 3х – 4 < 0 (обе части исходного неравенства умножили на выражение –х4 – 1, отрицательное при любых значениях х; при этом знак исходного неравенства изменили).
- Если в курсе алгебры 8 класса рассматривались неравенства с модулями только вида │х - а│ < с, неравенства вида │ах + b│< с.
Пример.
Решить неравенство │3х + 4│ < 5.
Решение.
3│х + 4/3│< 5
│х + 4/3│ < 5/3
А далее применяется прием, известный учащимся из курса алгебры 8 класса: нужно найти на числовой прямой все точки х, удаленные от точки (-4/3) менее чем на 5/3. Все они расположены в интервале (-3, 1/3).
-3 -4/3 1/3 x
Во втором параграфе речь идет о решении рациональных неравенств методом интегралов, здесь необходимо обратить внимание на следующие моменты:
- Необходимо добиться, чтобы учащиеся усвоили идею сохранения знака рациональной функции на интервалах между ее нулями (корнями числителя) и полюсами (корнями знаменателя). Когда накопится некоторый содержательный опыт, тогда можно формализовать ситуацию и вывести кривую знаков.
- Прием «двойных точек» можно показать в конце изучения темы, в продвинутом классе, так как овладение самой идеей знакопостоянства функции важнее овладения механической технологией решения неравенств.
(х – 1)2 (х + 2) < 0
2 1 x
- В работе с учениками, для решения квадратных неравенств не стоит использовать метод интервалов, так как это вносит некую путаницу и неуверенность (кроме «напрашивающихся» на метод интервалов неравенств типа х(х – а) < 0).
Процедура решения систем неравенств раскрывается в третьем параграфе. Сначала ученикам предлагаются задачи, выводящие на новую математическую модель – систему неравенств, т.е. используется проблемный подход к изучению нового материала.
Для решения систем неравенств можно использовать метод штриховок (ученики его лучше воспринимают) или метод крыш.
Пример.
Решить систему неравенств:
Х2 – 9 ≥ 0,
5х – х2 ≥ 0
Решение.
- х2 – 9 ≥ 0, (х – 3)(х + 3) ≥ 0
- геометрическая модель решения первого
-3 3 x неравенства
- 5х – х2 ≥ 0, х(5 – х) ≥ 0
- геометрическая модель решения второго
0 5 x неравенства
Отметим найденные решения обоих неравенств системы на одной координатной прямой, использовав для решения первого верхнюю штриховку, а для решения второго – нижнюю.
Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Таким промежутком является отрезок [3, 5].
-3 0 3 5 x
При использовании «метода крыш» геометрические модели будут выглядеть так:
-3 3 x
0 5 x
-3 0 3 5 x
Задания первой части экзаменационной работы направлены на проверку владения следующими знаниями и умениями:
- знать и понимать алгебраическую трактовку отношений «больше» и «меньше» между числами;
- знать и применять свойства числовых неравенств;
- знать и понимать термины: «решение неравенства с одной переменной», «решение системы неравенств с одной переменной»;
- решать линейные неравенства с одной переменной и их системы;
- находить множество решений квадратного неравенства с одной переменной, опираясь на графическое изображение.
Задания второй части экзаменационной работы направлены на проверку умений:
- решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, требующие для их приведения к простейшему виду алгебраических преобразований;
- выбирать решения, удовлетворяющие дополнительным условиям;
- решать квадратные неравенства и системы, включающие квадратные неравенства;
- решать задачи, связанные с решением неравенств и систем, содержащих буквенные коэффициенты;
- применять аппарат неравенств для решения математических задач.
Согласно этим требованиям, учитель подбирает систему упражнений по теме «Неравенства» как для работы в классе (тренировочные, для самостоятельного решения, зачетные), так и для домашних заданий в ходе как итогового повторения, так и входе систематической подготовки учащихся к экзаменам по специально подготовленному планированию в течение всего учебного года.
В ходе данной работы были решены следующие задачи:
1. Изучена учебно-методическая литература по теме «Неравенства».
2. Были изучены материалы Федерального института педагогических измерений о результатах ГИА в 2010 году, особенно причины неудач на экзамене и перечень ошибочных представлений школьников, которые следует иметь в виду в практике преподавания.
- И.В. Ященко, А.В. Семенов, П.И. Захаров. Подготовка к экзамену по математике ГИА-9 (новая форма) в 2010 году. Методические рекомендации. М.: МЦНМО, 2010г.
- И.В. Ященко, А.В. Семенов, П.И. Захаров. Алгебра. Тематическая рабочая тетрадь для подготовки к экзамену (в новой форме). М.: МЦНМО, 2010г.
- А.Г. Мордкович. Алгебра. Методическое пособие для учителя 7-9 класс. М.: Мнемозина, 2005 г.
- А.Г. Мордкович. Алгебра 8(9). Учебник. М.: Мнемозина, 2005 г.
- А.Г. Мордкович. Алгебра 8(9). Задачник. М.: Мнемозина, 2005 г.
- Л.В. Кузнецова. Методические указания к теме «Неравенства». М: «Математика в школе» №6, 2002 г. : (с. 22-32).
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2011/10/12/picture-23679.gif)
Статья "Особенности изучения географии в 6 классе"
В статье говорится о возрастных особенностях шестиклассников, требованиях к урокам географии....
![](/sites/default/files/pictures/2011/11/10/picture-31916.jpg)
«Особенности изучения тематического блока неравенства с учётом новой формы аттестации»
В рамках построения общероссийской системы оценки качества образования поставлен вопрос о получении независимой оценки учебных достижений учащихся освоивших программы основного общего образования. Эта...
"Особенности изучения формы Булериас в токе - фламенко"
Рассмотрены особенности метода изучения формы Булериас....
![](/sites/default/files/pictures/2017/02/04/picture-132341-1486220347.jpg)
ОсОбенности изучения геометрического материала на уроках математики в начальных классах
Материал можно использовать при оформлении математического уголка в начальных классах и при изучении раздела "Методика изучения геометрического материала" по учебной дисциплине "Мето...
![](/sites/default/files/pictures/2012/10/21/picture-124759-1350836479.jpg)
Особенности изучения лирических, эпических и драматических произведений в школе
Целью данной работы является постановка и практическое разрешение проблемы литературного образования школьников при условии глубокого осмысления учителем системы теоретических и методических при...
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ВЛИЯНИЯ ТИПОЛОГИЧЕСКИХ ОСОБЕННОСТЕЙ НЕРВНОЙ СИСТЕМЫ СПОРТСМЕНА НА ЭФФЕКТИВНОСТЬ СПОРТИВНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ВЛИЯНИЯ ТИПОЛОГИЧЕСКИХ ОСОБЕННОСТЕЙ НЕРВНОЙ СИСТЕМЫ ШКОЛЬНИКА НА ЭФФЕКТИВНОСТЬ СПОРТИВНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ 1.1. Типология свойств нервной системы В основу выде...