Методическая разработка "Комплексные числа"
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАЧАЛЬНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ЛИЦЕЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

МЕТОДИЧЕСКАЯ   РАЗРАБОТКА

для факультативных занятий учащихся II курса при изучении темы «Комплексные числа» дисциплины «Математика»

Санкт-Петербург

2012 год

ОДОБРЕНА                                                УТВЕРЖДАЮ

методической комиссией                                Заместитель директора по УР

общеобразовательных дисциплин

Председатель комиссии

 ________________В.П. Косякова                ______________Н.Г. Мельничук

Автор: Л.И. Поройкова

Введение

Тема «Комплексные числа» в курсе современной математики, а также в ряде разделов физики и техники имеет большое значение, так как с ней связано дальнейшее развитие понятия числа. Комплексные числа – это числа более общей природы, появились в XVI веке при решении уравнений III степени, когда стало ясно, что реальные решения рассматриваемых уравнений существуют, но не всегда могут быть найдены, если ограничиваться только действиями над действительными числами.

Комплексные числа имеют различные интерпретации (алгебраическую, тригонометрическую, показательную и геометрическую). Процесс их становления был долгим и противоречивым. Полное признание комплексные числа завоевали лишь в начале XIX века, когда немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) выяснил их геометрический смысл.

В условиях начального профессионального образования оно приобретает особую актуальность ещё и потому, что комплексные числа находят широкое применение при изучении ряда общетехнических и специальных предметов.

Дидактическая цель занятий по математике достигается различными путями, но главными из них являются: удачное сочетание методов и средств обучения в конкретных условиях; соответствующий подбор примеров и упражнений, способствующий развитию познавательной самостоятельности учащихся и интереса к дисциплине; показ значимости приобретённых знаний по математике для познания её самой и других дисциплин.  

Тема: развитие понятия числа, комплексные числа, основные соотношения; алгебраическая форма комплексного числа; действия над комплексными числами в алгебраической форме; геометрическая интерпретация комплексного числа; геометрическое изображение суммы и разности комплексных чисел.

Цель:  расширить понятие числа, ввести понятие комплексного числа и действий над комплексными числами в алгебраической форме.

Вид занятия:  урок усвоения новых знаний.

Актуализация опорных знаний учащихся.  

О числовых множествах известны следующие сведения:

а) множество натуральных чисел N={1,2,3, …, n, …}; эти числа появились в глубокой древности. Их практическим применением был счет предметов. На данном множестве можно числа складывать, но не всегда вычитать, т.е. выполнять обратную операцию сложению.

Решение многих задач сводится к решению алгебраических уравнений. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов математики. Стремление сделать уравнения разрешимыми - одна из главных причин расширения понятия числа. Рассмотрим уравнение вида а + х = в. Для его разрешимости положительных чисел недостаточно и приходится вводить отрицательные числа и нуль.

б) множество целых чисел Z={…,-2;-1;0;1;2;…}, целых неотрицательных чисел Zo={0,1,2, …}; На данном множестве можно выполнять операции сложения, вычитания, умножения, но не всегда деление, т.е. выполнять обратную операцию умножению. Это значит, что для решения уравнения ax = b (a≠0) недостаточно целых чисел и приходится вводить дробные числа.

в) множество рациональных чисел ;

На множестве рациональных чисел разрешимы уравнения вида ax = b (a≠0), однако уравнение x2 = 2 не имеет рациональных корней. Еще в глубокой древности, задолго до появления отрицательных чисел, которые стали рассматриваться в середине прошлого тысячелетия, было установлено, что отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны не является рациональным числом. Это привело к тому, что появилась необходимость введения иррациональных чисел. Рациональные и иррациональные числа образуют множество R действительных чисел.

г) множество действительных чисел R. В области действительных чисел стало возможным решать квадратные уравнения. Однако и действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое алгебраическое уравнение. Например, уравнение x2 +1 = 0 не имеет действительных корней. Поэтому приходится расширять множество действительных чисел до нового множества, такого, чтобы в этом множестве уравнения вида x2 + a2 = 0 имели решения.

Мотивация учебной деятельности студентов.

 Краткие исторические сведения. Первые упоминания о комплексных числах имеются в работах итальянского математика Джероламо Кардано (1501-1576), термин «комплексные числа» ввёл немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777-1855). На рубеже XVIII-XIX вв. комплексным числам было дано геометрическое истолкование. В начале XIX в. была создана теория функций комплексного переменного, которая играет важную роль в современной прикладной математике. Комплексные числа, а также функции комплексного переменного широко применяются в электротехнике, в теории упругости, гидродинамике, картографии, аэродинамике, ядерной физике, в теории автоматического регулирования и т.д.

III.  Восприятие учебного материала и осознание его студентами.

1. Решим примеры, приводящие к понятию комплексных чисел:

а) ;

б) ;

в) .

2.Определение комплексного числа.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   Корень уравнения x2 + 1 = 0 или x2 = -1 называется мнимой единицей и обозначается буквой i.

Таким образом, символ i удовлетворяет условию i2 = -1.

Комплексным числом называется выражение вида a +bi, где a и b – действительные числа, а i – мнимая единица.

Число а называется действительной частью комплексного числа, а число bi – мнимой частью. Знак «+» здесь надо понимать не как знак сложения, а как некий соединительный знак.

Комплексное число часто обозначают одной буквой z. Множество комплексных чисел принято обозначать буквой С.

         Запись комплексного числа в виде z = a + bi называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Два комплексных числа a1 + b1i и a2 + b2i называются равными только тогда , когда a1=a2 и b1=b2, т.е. когда равны их действительные части и коэффициенты при мнимой части.

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не определяются.

Комплексное число z = 0+0i называется нулём и обозначается 0; комплексное число    

z= a + 0i отождествляется с действительным числом  а, т.е. a + 0i = a; комплексное число z = 0 +bi называется чисто мнимым и обозначается bi, т.е. 0 + bi = bi.

Число 0 является единственным числом, которое одновременно действительное и чисто мнимое.

Комплексные числа  вида a + bi и a – bi называются сопряжёнными.

3. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Суммой двух комплексных чисел z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i называется комплексное число z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i. Сложение комплексных чисел обладает свойствами коммутативности и ассоциативности.

Например,    

Произведением двух комплексных чисел z1 = a1 + b1i и z2 = a2+ b2i называется комплексное число z1z2 = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1)i. 

Например,    

Произведение двух сопряжённых комплексных чисел равно сумме квадратов действительной части и коэффициента его мнимой части, т.е.  Произведение комплексных чисел обладает свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности

Пример1  Разложить на множители:

        а)

б)

Вычитание комплексных чисел вводится как операция, обратная сложению; Например,   

Деление комплексных чисел вводится как операция, обратная умножению.

Правила вычитания и деления комплексных чисел z2 = a2 + b2i и z1 = a1 + b1 определяются формулами

z2 / z1 = (a1a2 + b1b2) / (a21 + b21) + (a1b2 – a2b1) / (a21 + b21),

где a1 + b1i ≠ 0 + 0i.

Формулы, определяющие правила действий над комплексными числами в алгебраической форме, не нуждаются в запоминании.

Формулы суммы, разности и произведения комплексных чисел получаются автоматически, если формально выполнить соответствующие действия над двучленами

a1 + b1i и a2 + b2i и заменить i2 на -1.

При делении на комплексное число достаточно умножить числитель и знаменатель дроби

на число, сопряжённое знаменателю, т.е. на a1 – b1i. 

Например,      Ответ: 8 – i

Возведение комплексного числа в степень производится по формулам возведения двучлена в степень, но при этом надо учитывать, что:

i1 = i,       i4n+1 = i1 = i

i2 = -1,    i4n+2 = i2 = -1

i3 = -i,     i4n+3 = i3 = -i

i4 = 1,      i4n =1

Например, i24 = 1, i59 = i4*14+3 = i3 = -i, i42 = i4*10+2 = i2 = -1

4. Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Комплексные числа, как и действительные, допускают простую интерпретацию, если вместо координатной прямой использовать координатную плоскость.

Комплексное число z = a + bi изображается на координатной плоскости точкой М (a, b) или вектором ОМ, начало которого совпадает с началом координат, а конец - с точкой М (рис.1)

Сама координатная плоскость называется при этом комплексной плоскостью, ось абсцисс - действительной осью, а ось ординат – мнимой осью.

Модулем  комплексного числа называется абсолютная величина вектора, соответствующего этому числу. Для модуля числа z = a + bi используются обозначения r, |z| или |a+bi|.

На основании теоремы Пифагора (рис.1) получается формула | z | = r = √a2 + b2   Например, комплексное число z = 8-6i имеет модуль, равный 10, так как | z | = √82 + (-6)2 = √64 + 36 = √100 = 10.  Уточним, что модули сопряжённых комплексных чисел равны между собой,   т.е.;

Аргументом комплексного числа z ≠ 0 называется величина угла φ между положительным направлением действительной оси и вектором, соответствующим этому числу (рис.1).

Для аргумента числа z = a + bi используются обозначения φ, arg z или arg (a + bi). Аргумент комплексного числа z≠0 в отличии от модуля определяется неоднозначно. Так, аргументами числа 5 являются следующие углы: φ1=0, φ2=2π, φ3=-2π и вообще каждый из углов φk=2πk, k € Z; аргументом числа 3i – следующие углы:  φ1 = π/2, φ2 = π/2 + 2π, φ3 = π/2 - 2π (рис.2) и вообще каждый из углов φk = π/2 + 2πk, k € Z.

Любые два аргумента комплексного числа отличаются друг от друга на слагаемое, кратное 2π. Аргумент комплексного числа z = a + bi можно находить так:

а) найти острый угол ά = arktg | b/a |;

б) найти аргумент комплексного числа в зависимости от того, в какой координатной четверти лежит вектор, соответствующий этому числу: в İ четверти φ = ά; во İİ четверти  

φ = π – ά; в İİİ четверти φ = π + ά ; в İV четверти φ = 2π – ά.  Аргументы действительных и чисто мнимых чисел надо находить непосредственно, исходя из их геометрической интерпретации, а не используя приведённое выше правило (тем более, что для чисто мнимых чисел это правило вообще нельзя применять).

Пример 2.  Найти r, если  

Ответ: r=5.

Замечание: комплексные числа не сравнимы между собой по величине, так как точки, им соответствующие, не лежат на одной оси. Не имеет смысла вопрос? Может быть, речь только о том, у какого из двух комплексных чисел больше модуль: комплексные числа сравнимы только по модулю. Например, так  как

        IV. Осмысливание и систематизация знаний. Ответы на вопросы преподавателя (по существу изложенного материала). Решение примеров.

        Пример 3.  Найти модуль комплексного числа  сопряжённое ему число z  и изобразить их геометрически.

        Решение.  (рис.4)

        Пример 4. Дано:    Найти   (алгебраически и геометрически)

        Решение.   (рис. 5)

Пример 5.  Выполнить умножение:

        Решение.

Пример 6.  Выполнить деление:   

        Решение.

Пример 7. Найти два действительных числа x и y, удовлетворяющих                        равенству

        Решение. Перепишем данное равенство в виде:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              Z                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         Рис. 4                                                        Рис.5

Используя условия равенства двух комплексных чисел, получаем систему        откуда находим x=1, y=1

V. Подведение итогов занятия и выдача домашнего задания.

Тема: тригонометрическая и показательная формы комплексного числа; действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах; переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и показательной и обратно

Цель:   ввести понятие комплексного числа и действий над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах.

Вид занятия:  урок усвоения новых знаний.

        I. Проверка наличия и правильности выполнения домашнего задания.

        II. Актуализация опорных знаний студентов и способов выполнения действий.

        Фронтальный опрос по материалу предыдущего занятия по вопросам:

Обозначения числовых множеств и соотношения между этими множествами.

Определение комплексных чисел, частные случаи, основные соотношения.

Определения сопряжённых и противоположных комплексных чисел, модуля комплексного числа.

Геометрическое изображение комплексных чисел, сопряжённых и противоположных комплексных чисел.

Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме (определение и свойства): сложение; вычитание; умножение; деление; возведение в степень.

Действия над сопряжёнными комплексными числами и геометрическое изображение их суммы и разности.

Действия над противоположными комплексными числами и геометрическое изображение их суммы.

Можно ли сравнивать комплексные числа?

Какие закономерности имеются у степеней мнимой единицы?

Математический диктант

Вариант №1

Упростить i

Представить 10(cosв алгебраической форме

 Выполнить умножение (3+i5)(3-i5)

Разложить на множители a+16

Возвести в степень (cos30+isin30))

Вариант №2

Упростить i

Представить 3(cos в алгебраической форме

Выполнить умножение (2+i3)(2-i3)

Разложить на множители 25+b

Возвести в степень ((cos45+isin45))

О Т В Е Т Ы

Вариант1. 1)-1;    2)-5+i5    3)34     4)(a+i4)(a-i4)

                   5)i2

Вариант2.  1)-i      2)-i       3)13      4)(5+i    5)-9

III.  Восприятие учебного материала и осознание его студентами.

1.Тригонометрическая форма комплексного числа. Пусть дано комплексное число

z = a + bi. Из ∆ ОМА (см. рис.1) можно выразить действительные числа а и b через модуль r и аргумент φ числа z следующим образом: a = r cos φ, b = r sin φ. Таким образом, комплексное число можно записать в виде z = (cos φ + i sin φ),

где r – модуль комплексного числа, а φ – один из его аргументов. Представление комплексного числа z ≠ 0 в указанном виде называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Правило 1. Для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа z = a + bi к тригонометрической, достаточно найти его модуль и один из аргументов. Аргумент комплексного числа z = a + bi можно находить  из системы  cos φ = a/r;     или

                                                                                                                            sin φ = b/r.

по формуле  с учетом четверти, в которой находится данное комплексное число.

Правило 2. Для того, чтобы перейти от тригонометрической формы записи комплексного числа

z = r (cos φ + isin φ) к алгебраической, достаточно найти действительные числа a и b по формулам a = r cos φ, b = r sin φ.

2. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме. Если z1 = r1(cos φ1 + isin φ1) и z2 = r2(cos φ2 + isin φ2), то

z1z2 = r1r2(cos(φ1 + φ2) + isin(φ1 + φ2)),

z1 / z2 = r1 / r2(cos(φ1 – φ2) + isin(φ1 – φ2)).

Если z = r(cos φ + isin φ), то

zn = (r(cos φ + isin φ))n = rn(cos nφ + isin nφ),

n√z = n√r(cos φ + isin φ) = n√r  (cos((φ + 2πk) / n) + isin((φ + 2πk) / n),

где n√r – арифметический корень, k = 0,1, 2,…, n-1.

3. Показательная форма комплексного числа. Рассматривая функцию y = ex для комплексного переменного, Эйлер установил замечательное соотношение

eiφ = cos φ + isin φ,   которое называется формулой Эйлера.

Из этой формулы следует, что каждое комплексное число z ≠ 0 можно записать в форме

z = r(cos φ + isin φ) = reiφ, которая называется показательной формой записи.

4. Действия над комплексными числами, заданными в показательной форме.

Над комплексными числами, заданными в показательной форме, удобно производить умножение и деление, возведение в натуральную степень и извлечение корня:

r1eiφ1 r2eiφ2 = r1r2ei(φ1+ φ2);

r1eiφ1 / r2eiφ2 = (r1 / r2) ei(φ1 – φ2)

(reiφ)n = rneinφ;

n√reiφ = n√r ei(φ + 2πk / n), k = 0, 1, 2,…, (n – 1).

IV. Осмысливание и систематизация знаний. Ответы на вопросы преподавателя (по существу изложенного материала). Решение примеров. Математический диктант.

Математический диктант

Вариант №1

Дать определение комплексного числа в алгебраической форме.

Записать формулу вычисления модуля комплексного числа.

Выполнить сложение         (2+3i)+(-4-5i)=

Определить аргумент комплексного числа   2+2i

Определить четверть, в которой находится число  

Выполнить умножение

Возвести в степень (1-i)3

Возвести в степень

Представить число (3  -i) в тригонометрической форме.

Представить число -5 в тригонометрической форме.

Вариант №2

Дать определение комплексного числа в тригонометрической форме.

Записать формулу вычисления аргумента комплексного числа.

Выполнить вычитание         (-3+4i)-(-7-2i)=

Определить модуль комплексного числа   -3+4i

Определить четверть, в которой находится число  

Выполнить деление

Возвести в степень (-2+i)2

Возвести в степень

Представить число (-1,5 +1,53 i) в тригонометрической форме.

Представить число –4i в тригонометрической форме.

О Т В Е Т Ы

Вариант1. 3)-2-2i;    4) 450 ;   5) II четверть;     6) ;  7) –2-2i ;  

8) ;  9) ; 10)

Вариант2.  3)4+6i;    4) 5 ;   5) III четверть;     6) ;  7) 3-4i ;  

8) ;  9) ; 10)

ЛИТЕРАТУРА

Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа, М.,1981

Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для  техникумов, М.,1989

Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. М.,1983

  y

y

x

0

5

-5

z

-2

-z

x

z2 – z1 = (a2 – a1) + (b2 – b1)i

x

y

x

y

x

y

0

0

0

3

5

1

-√3

M

b

A

a

r

φ

рис.1

рис.2

рис.3