Разработка урока в 10-м классе с примененим модульной технологии. Тема: "Решение тригонометрических уравнений"
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

Учебный элемент

Учебный материал с указанием заданий.

Руководство по усвоению материала

УЭ0

(2 мин)

В процессе работы над учебными элементами вы должны уметь:

1. 1 уровень – решать простейшие тригонометрические уравнения; решать тригонометрические уравнения по заданному алгоритму.
2. 2 уровень – решать тригонометрические уравнения, самостоятельно выбирая метод решения.
3. 3 уровень – применять полученные знания в нестандартных ситуациях.

1 уровень – самый общий, т.е. знаниями этого уровня должны овладеть все учащиеся.

2 уровень включает все, что достигнуто на 1 уровне, но в более сложном виде.

3 уровень – все, что достигнуто на 1 и 2 уровнях, но теперь должно применяться в нестандартных ситуациях.

Внимательно ознакомьтесь с интегрирующей целью модуля.

УЭ1-УЭ4 соответствуют 1 уровню подготовки.

УЭ5 обеспечивает 2 уровень.

УЭ6 – 3 уровень подготовки.

Вся работа над данным модулем сопровождается оценочным листом.

(2 мин)

Тригонометрия традиционно популярна при проведении всевозможных экзаменов (в том числе ЕГЭ, вступительные экзамены в ВУЗ), конкурсов, олимпиад т.д., поскольку данный материал чрезвычайно удобен для всевозможного варьирования и усложнения. В связи с этим очень важно научиться решать тригонометрические уравнения.

УЭ1

(10 мин)

Цель: закрепить решение простейших тригонометрических уравнений.

Решите уравнения :

Вспомните основные правила решения тригонометрических уравнений. Для этого прочитайте текст соответствующих пунктов учебника под редакцией А.Г.Мордковича.

Выполните письменно самостоятельную работу.

Правильные ответы получите от учителя. Исправьте ошибки и проставьте число набранных баллов в свой оценочный лист. Если набрано 6 баллов и больше, переходите к УЭ2. Если набрано меньше 6-ти баллов, следует прорешать задания другого варианта, аналогичные тем, в которых была допущена ошибка. Проставьте набранные баллы в графу «Корректирующие задания». 

УЭ2

(10 мин)

Цель: закрепить умения решать тригонометрические уравнения методом сведения к квадратному.

Метод сведения к квадратному уравнению состоит в том, что, пользуясь изученными формулами, надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию (например, sin x или cos x ) или комбинацию функций обозначить через у, получив при этом квадратное уравнение относительно у.

Пример. Решить уравнение 4 - .

Решение: Вместо подставим тождественное ему выражение  Тогда исходное уравнение примет вид

Если ввести y = sin x , получим квадратное уравнение

Оно имеет корни 1 и 3. Значит, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

Sin x = 1 или  sin x = 3.

Уравнение sin x = 1  имеет решение x = n, n.

Уравнение sin x = 3 решений не имеет.

                                    Ответ:

Прочитайте внимательно данные объяснения.

Выполните самостоятельные работы.

Проверьте и оцените свою работу, правильные ответы возьмите у учителя. Исправьте ошибки, проставьте количество набранных баллов в оценочный лист.

Если набрано 5 баллов, то переходите к следующему этапу, если же меньше, то решайте задание другого варианта, аналогичные тому, в котором была ошибка.

УЭ3

(10 мин)

Цель: Закрепить навык решения тригонометрических уравнений методом разложения на множители.

Пример. Решить уравнение.

Решение. Сначала сгруппируем первый член с третьим, а cos2x представим в виде .

Из выражения, стоящего в первых скобках, вынесем sin x, а в выражении, стоящем во вторых скобках, вместо  запишем . Уравнение примет вид

Отсюда следует, что исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

Ответ:

Задания для самостоятельной работы. Решить уравнения.

Если набрано 5 баллов, то переходите к следующему элементу. Если меньше, то прорешайте соответствующее задание другого варианта.

Внимательно прочитайте данные ниже пояснения и выполните задания.

Под разложением на множители понимается представление данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит произведение нескольких множителей, а в другой – 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Исходное уравнение можно представить в виде совокупности более простых уравнений.

Нельзя указать единого способа разложения на множители любого выражения. Одним из самых популярных являются способы вынесения за скобки общего множителя, группировки, применения формул сокращенного умножения.

УЭ4

(10 мин)

Цель: закрепить навык решения однородных уравнений.

Покажем как решать однородное уравнение 1-й степени, т.е.

Пример 1. Решить уравнение .

Поделим обе части уравнения на cos x или sin x. Но предварительно надо доказать, что это выражение никогда не обращается в нуль. Предположим, что cos x=0. Тогда 5sin x-2∙0=0  sin x=0. Получается, что если sin x=0, то и cos x=0 , чего быть не может ввиду равенства .

Значит можно поделить уравнение на cos x:

Получим уравнение 5tg x-2=0. Отсюда .

Решение однородных уравнений вида начинается с того, что обе части уравнения делят на .

Пример 2. .

Решение. Данное уравнение не является однородным. Но его можно превратить в однородное, заменив 3sin2x на 6sin x cos x  и число 2 на .

Приведя подобные слагаемые, получим уравнение

. Аналогично решению примера 1, докажем, что cos x0 .

Тогда можно обе части уравнения поделить на . Получим

 или . Отсюда

.

Самостоятельная работа.

Прочитайте пояснения и выполните задания.

Если набрано 5 баллов, то можно переходить к УЭ5. Если набрано менее 5 баллов, то нужно прорешать тот пример другого варианта, где допущена ошибка.

УЭ5

(15 мин)

Вы прошли 1 уровень усвоения материала. Теперь вам самостоятельно придется выбрать метод решения уравнений.

Выполните самостоятельную работу.

Вспомните основные тригонометрические формулы. Для этого прочитайте текст учебника под ред. А.Г. Мордковича.

Проверьте и оцените свою работу, правильные ответы возьмите у учителя. Исправьте ошибки, если они есть. Проставьте баллы в оценочные листы.

Если набрано 5 баллов или больше, то переходите к УЭ6, если меньше, то решайте задания другого варианта, аналогичные тем, в которых была допущена ошибка.

УЭ6

(20 мин)

Вы освоили решение уравнений 2 уровня сложности. Целью дальнейшей вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.

Самостоятельная работа.

(задания не ограничиваются временными рамками, так как их решают далеко не все учащиеся )

1. sin6x+cos6x=1-2sin3x   (2 )
5. sin x(sin x+cos x)=1

Проверьте и оцените свои работы. Исправьте ошибки, если они есть, подсчитайте количество баллов. Проставьте количество баллов в оценочный лист. Оцените свои работы.

В случае затруднений воспользуйтесь подсказками.

1. Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin6 x, сos 6x.
2. Обозначьте x-2=t , решите уравнение, сведя его к квадратному с помощью формулы .
3. Сгруппируйте первое и третье слагаемые, примените разложение на множители.
4. Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin4x, cos4x, формулой понижения степени .
5. Раскройте скобки, примените основное тригонометрическое тождество.
6. Приведите дроби к общему знаменателю. А затем используйте основное тригонометрическое тождество , сведите к квадратному.

(5 мин)

Подведение итогов. Выставление оценок.

Оценка за весь модуль зависит от суммы баллов по всем учебным элементам. Если сумма больше 32, то вы получаете «5», при получении от 27 до 31 баллов – оценка «4», при получении от 21 до 26 баллов – оценка «3», менее 21 балла вы получаете «2». Для тех, кто получил неудовлетворительную оценку проводится коррекционная контрольная работа.

Фамилия

Имя

УЭ

К-во баллов за основные задания

Корректирующие задания

Общее к-во баллов за этап

№1

№2

№3

№4

№5

№6

Итоговое количество баллов

Оценка

Получили оценку

«5»

«4»

«3»

«2»

6

7

8

1