Методическая разработка на тему: "Применения в условиях ФГОС технологии проблемного обучения на уроках геометрии".
методическая разработка по геометрии

Методическая разработка на тему:
«Применение в условиях ФГОС технологии проблемного обучения на уроках геометрии».

В условиях ФГОС технология проблемного обучения в школе является эффективным средством повышения познавательной активности учащихся. Данная технология позволяет развить творческие способности, способствует формированию самостоятельного мышления, успешному освоению знаний учениками. Технология проблемного обучения является универсальной, т.е. подходящей для организации учебной деятельности на любом предметном уроке. Проблемное обучение предполагает замену пассивного получения знаний обучающимися на самостоятельное обучение школьников, основанное на решении учебных проблем. При этом роль учителя должна сводиться к роли помощника, помогающего ученику преодолеть трудности в усвоении учебного материала.
   Проблемный подход к обучению нельзя назвать новейшим методом. Данный подход для активизации умственной активности использовался ещё Сократом в дискуссиях с собеседником, а также в пифагорейской школе. Ф.А. Дистервег считал этот метод обучения хорошим, который активизирует познавательную деятельность ученика.

Проблемное обучение –это обучение развивающее, которое способствует развитию творческих способностей учащихся.

    Важной особенностью проблемного обучения является организация учителем самостоятельной познавательной деятельности ученика. Познавательная деятельность школьников должна сочетаться с готовыми предметными знаниями. Проблемное обучение отличается от традиционного, прежде всего целеполаганием (постановкой цели)и организацией процесса усвоения знаний. Урок с применением проблемного обучения организуется таким образом, что ученикам даётся возможность искать пути решения  проблемы самим. Задачами проблемного обучения являются: формирование личностной мотивации ученика, развитие мыслительной способности, познавательной активности, формирование диалектического мышления. Однако применение данного метода требует больших затрат времени, чем традиционные методы обучения, которые являются более распространенными в школьной практике. Умение учителя на уроках проблемного обучения, прежде всего, заключается в умении создать проблемную ситуацию. В качестве заданий при организации проблемного обучения можно предложить обучающимся провести сравнение, сделать выводы из проблемной ситуации, сформулировать вопросы, сопоставить факты.

   Целями проблемного обучения являются:
-усвоение результатов научного познания, а также овладение способами познания;
-формирование и развитие интеллектуальной, мотивационной сфер школьника;
-развитие индивидуальных способностей учащихся.

   Проблемное обучение направлено на самостоятельное открытие знаний учащимися. Методы и приёмы, используемые при проблемном обучении, направлены на освоение знаний учащимися. Однако при проблемном обучении уделяется больше внимания на воспитание навыков творческого применения знаний, т.е. умение применить полученные знания в новой ситуации и умение решать возникшие проблемы. К специальным относят:
-воспитание навыков творческого усвоения знаний (применение системы логических приемов или отдельных способов творческой деятельности);
-воспитание навыков творческого применения знаний (применение усвоенных знаний в новой ситуации) и умений решать учебные проблемы;
-формирование и накопление опыта творческой деятельности (овладение методами научного исследования, решения практических проблем и художественного отображения действительности);
-формирование мотивов учения, социальных, нравственных и познавательных потребностей.

   Важными функциями проблемного обучения являются развитие творческих способностей учащихся, развитие практических навыков использования знаний и повышение уровня освоения учебного материала. Творческое развитие – неотъемлемая часть проблемного обучения.А что отличает творческий процесс от обычного способа усвоения знаний? Отличительной чертой творческого процесса является способность использовать имеющиеся знания в нестандартных ситуациях.
  Развитие творческой личности в школе происходит через включение учащихся в познавательный поиск, развитие мышления. Проблемное обучение как средство развития творческой личности формирует умение анализировать и делать выводы. Формированию творческой личности способствует умение видеть проблему и находить способы её решения, развитие познавательных навыков, развитие поисково-исследовательских навыков. Творческий процесс  включает этапы столкновения с трудностями и попытки решить проблему с помощью имеющихся знаний, интуитивный поиск решения, логическое обоснование решения.

   Приведу два примера применения технологии проблемного обучения на уроках математики:
1) Решение задач по теореме Виета (8 класс);
2) Площадь и периметр прямоугольника (5 класс).

Тема: Решение задач по теме «Теорема Виета».

8 класс.
Учитель Лукина И.В.

На уроке используется технология проблемного обучения.

Цели урока:

а) Образовательные:
- обеспечение прочности приобретенных знаний, умений и навыков по теме «Теорема Виета»;

- исследование различных подходов к решению нестандартных задач.

б) Развивающие:
- развитие самостоятельности, ответственности;
- развитие критичности мышления, нестандартного мышления;
- развитие творческих способностей учащихся.

в) Воспитательные:

- воспитание творческой личности;

- воспитание коммуникативных качеств ученика.

Задача: изучить новые способы решения полных квадратных уравнений. Для этого  организовать на уроке проблемные ситуации, оказать учащимся помощь в решении этих проблем, проверить решения.

Ход урока.
Учащиеся работают в четырех разноуровневых группах.

1. Вводная часть

Ученик читает стихотворение, подготовленное заранее:
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни – и дробь уж готова?
В числителе с, в знаменателе а.
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь эта, что за беда!
В числителе b, в знаменателе а.

2. Проверка творческого домашнего задания.
    На дом было задано сочинить стихотворение, небольшой рассказ или сказку по теме «Теорема Виета». Это задание было задано на неделю. Работы были собраны заранее. Трое учащихся, чьи работы признаны лучшими, выступают перед классом.
3. Объявляется тема урока. 
   Ставится задача: изучить новые нестандартные способы решения полных квадратных уравнений.
4. Постановка 1проблемы.
   Теорема Виета не зря воспета в стихах. Она очень облегчает решение приведенных квадратных уравнений, но мы никогда не использовали ее при решении неприведенных квадратных уравнений. А возможно ли это в принципе?
   Проведем эксперимент. Для этого рассмотрим уравнение 3х2 – 8х + 5 = 0. Его можно решить по формуле, которая применяется для решения полных квадратных уравнений.
   
   

                Х1 = 1; Х2 = 5/3

Рассмотрим теперь приведенное квадратное уравнение, которое можно получить из  данного неприведенного, для этого мы свободный член умножим на старший коэффициент.

                         
                         Х2 – 8Х + 5·3 = 0

                          Х2 – 8Х + 15 = 0
Это уравнение легко решается по теореме, обратной теореме Виета.
Обозначим эти корни Х3 и Х4

                Х3 = 3; Х4 = 5.
Сравнивая корни уравнений, получаем, что корни второго уравнения в три раза больше корней первого, т.е. Х1 = Х3/3 и Х2 = Х4/3
Возникает проблема: всегда ли корни неприведенного квадратного уравнения
ax2 + bx + c = 0 и корни приведенного квадратного уравнения x2 + bx + c·a = 0, полученного из первого умножением старшего коэффициента на свободный член, cвязаны равенством   Х1 = Х3/а и Х2 = Х4/а, где Х1 и Х2 – корни неприведенного уравнения, а Х3 и Х4 – корни приведенного уравнения. Было бы здорово решить эту проблему сегодня на уроке. А вы как думаете, это случайное совпадение или нет?
          5. Поиск решения проблемы и признание решения учащимися. 

Учащимся дается возможность высказаться, посовещавшись с членами группы и доказать или опровергнуть выдвинутую гипотезу. Если дети затрудняются, то учитель предлагает подсказки по очереди, давая после каждой подсказки время для обдумывания дальнейшего хода решения и высказывания каждой группе. Подсказки предлагаются на слайдах презентации:
1 подсказка. 
Проверьте еще раз зависимость между корнями уравнений 7Х2 – 6Х - 1 = 0 и
Х2 – 6Х -  1·7 = 0

Двое учащихся работают на досках, а остальные – в тетрадях.

1)7Х2 – 6Х - 1 = 0

          6 ± √62 - 4·7·1

Х1,2 =

Х1 = 1; Х2 = - 1/7

2)Х2 – 6Х -  1·7 = 0

Х2 – 6Х -  7 = 0 – по теореме, обратной теореме Виета находим корни этого уравнения:

Х3 = 7; Х4 = - 1.

Класс делает вывод:  Х1 = Х3/7 и Х2 = Х4/7.
Таким образом, Х1 = Х3/а и Х2 = Х4/а.

2 подсказка. 
Попробуйте записать оба уравнения: неприведенное и полученное из него приведенное квадратные уравнения в общем виде и применить к каждому из них формулу для решения полных квадратных уравнений.
Учащиеся работают в группах, и если они затрудняются, то учитель им помогает.
Представители от групп выходят к доске и объясняют решение. На доске появляются записи:

1) а Х2 + bХ +  c = 0

          - b ± √b2 - 4·a·c

Х1,2 =

2) Х2 + bХ +  c·a = 0

          - b ± √b2 - 4·a·c

Х3,4 =

3 подсказка. 
Сравните правые части равенств (1) и (2).
Учащиеся снова работают в группах. А затем представители от групп выходят к доске и объясняют решение.
Из формул видно, что если правую часть равенства (2) разделить на а, то получится правая часть равенства (1).
Разделим обе части равенства (2) на а (напоминаю, что на а делить можем т.к. а ≠ 0 по определению квадратного уравнения).

Запись на доске:

              - b ± √b2 - 4·a·c

Х3,4 =  

Сравнивая полученное равенство с равенством (1) получаем, что правые части этих равенств равны, следовательно, равны и левые. Таким образом
Х1 = Х3/а и Х2 = Х4/а.
Доказательство учащиеся, по мере обсуждения, записывают в тетради.

5. Обобщение и выводы.
   Мы доказали, что неприведенные квадратные уравнения можно решать не только по общей формуле, а так же по теореме, обратной теореме Виета.

Алгоритм решения:
1) составить приведенное квадратное уравнение из данного неприведенного, умножив свободный член на старший коэффициент.
2) решить полученное уравнение по теореме, обратной теореме Виета.
3) получить корни заданного уравнения, разделив корни полученного  приведенного квадратного уравнения на старший коэффициент.

Алгоритм записывается учащимися в тетради.

6. Упражнения.

Каждой группе дается задание на карточке:
1) решить данное учителем уравнение по записанному алгоритму
2) составить и решить свое уравнение для другой группы (творческое задание).
1)Уравнения, данные учителем для групп:
1 группе: 2Х2 – 5Х - 3 = 0;
Запись в тетрадях: Х2 – 5Х - 3·2 = 0;
                                Х2 – 5Х - 6 = 0;
                                Х3 = - 1; Х4 = 6;

                                 Х1 = - 1/2; Х2 = 3.

2 группе: 2Х2 –Х - 6 = 0;
Запись в тетрадях: Х2 – Х - 6·2 = 0;
                                Х2 – Х - 12 = 0;
                                Х3 = - 3; Х4 = 4;

                                 Х1 = - 1.5; Х2 = 2.

3 группе: 6Х2 –Х - 1 = 0;
Запись в тетрадях: Х2 – Х - 6·1 = 0;
                                Х2 – Х - 6 = 0;
                                Х3 = - 2; Х4 = 3;

                                 Х1 = - 1/3; Х2 = 1/2.

4 группе: 5Х2 + 2Х - 3 = 0;
Запись в тетрадях: Х2 + 2Х - 3·5 = 0;
                                Х2 + Х - 15 = 0;
                                Х3 = - 5; Х4 = 3;

                                 Х1 = - 1; Х2 = 3/5.

Учащиеся в группе обсуждают решение, записывают его по алгоритму, и представители от каждой группы выходят к доске и объясняют решение. Остальные слушают.
2) Для составления квадратных уравнений необходимо рассуждать точно в обратном порядке, а именно: сначала по корням, используя теорему Виета составить приведенное квадратное уравнение, а далее, разложив на множители свободный член, получить неприведенное уравнение.  
Далее каждая группа решает уравнение, предложенное другой группой: 1 группа составляет уравнение для 2 группы, 2 группа – для 3 группы, 3 группа – для 4 группы, 4 группа – для 1 группы. Решения оформляются на листах и передаются в группу, которая это уравнение составила, для проверки и выставления оценки за правильность решения и оформление. После чего листы с решением и отметками сдаются учителю.

7. Постановка 2 проблемы.

Дано квадратное уравнение с большими коэффициентами:
1978Х2 – 1984Х + 6 = 0. Решить его по общей формуле не просто, слишком большие коэффициенты. Теорема Виета то же не решит проблему т.к. подобрать корни в уравнении с такими большими коэффициентами очень долговременно. И вообще, имеет ли это уравнение корни, и если – да, то как их найти рациональным способом?

8. Поиск решения проблемы и признание решения учащимися.

Учащимся дается возможность высказаться, посовещавшись с членами группы, и попытаться решить поставленную проблему. Если дети затрудняются, то учитель снова дает подсказки по очереди, давая после каждой подсказки время для обдумывания дальнейшего хода решения и высказывания, используя слайды презентации:

1 подсказка.
 Найдите сумму коэффициентов уравнения.
Сумма коэффициентов равна нулю (1978 – 1984 + 6 = 0).
2 подсказка.
 Исходя из того, что сумма коэффициентов равна нулю, подбором найдите один корень уравнения.

Х1 = 1.

3 подсказка.
 Получите изданного уравнения приведенное, разделив обе части его на старший коэффициент 1978.

1978Х2 – 1984Х + 6 = 0
Х2 – 1984/1978Х + 6/1978 = 0.

4 подсказка. 
По теореме, обратной теореме Виета, найдите второй корень уравнения.

Х1·Х2 = 6/1978
Х1 = 1, следовательно 1·Х2 = 6/1978, значит Х2 = 6/1978 или Х2 = 3/989
Ответ: 1; 3/989.
Решение учащиеся записывают в тетради.

9. Выводы.
   Этот урок можно назвать творческим т.к. на нем были заслушаны лучшие детские сочинения и решались квадратные уравнения нестандартными способоми. Для этого вы пытались самостоятельно выявить связи между уравнениями, учились переносить «старые» знания на новые ситуации и задачи, приучались к самоконтролю, самопроверке и взаимопроверке.
10. Итоги урока.
    Благодарность всем учащимся за работу.
    Каждый ученик получит оценку за урок, которая будет складываться из оценки за решение проблем (активное обсуждение и выступление), за работу на доске, за решение уравнений, предложенных учителем в группе и оценки на листах, выставленной учащимися. Оценки будут объявлены на следующем уроке после суммирования.
11. Домашнее задание (творческое).
    1) придумать 5 уравнений с большими коэффициентами и решить их;
    2) № 434 – решить уравнения по изученному на уроке алгоритму, используя теорему, обратную теореме Виета;
    3) для уравнения 3х2 – 8х + 5 = 0 найти х12 + х22, не решая уравнение.

Математика 5 класс

Обобщение и  систематизация знаний

по теме  «Площадь и периметр прямоугольника».

  Цели урока: 

Образовательные: закрепить знания по формулам вычисления площади и периметра прямоугольника; совершенствование вычислительных навыков.

Развивающие: уметь анализировать, систематизировать пройденный материал; объяснять свои действия при вычислении площадей и периметра; развивать познавательный интерес, логическое мышление, внимание, навыки самоконтроля.

Воспитательные: воспитывать трудолюбие, аккуратность при выполнении вычислений, прививать интерес к математике.

 Задачи урока:

Проверить знания учащихся по освоению основных приемов вычисления значений площади и периметра прямоугольника; продолжить работу с понятием площади ; научить творчески применять свои знания; продолжать работу по обучению оценивания своих знаний.

Тип урока: закрепление и систематизация знаний по теме.

Ресурсы: раздаточный материал (набор многоугольников в конвертах),  карточки с заданиями, презентация.

 Эпиграф:   Три пути ведут к знанию:

                                      - путь размышления – путь самый благородный

                                            - путь подражания – путь самый легкий

                   - путь опыта – путь самый горький

                             Ход урока

1. Организационный момент. 

Рефлексия настроения. Настрой на урок.

Здравствуйте, дорогие ребята! Я рада вас всех видеть! Сегодня у нас необычный урок. Вы будете сами оценивать результаты своего труда. А помогут нам в этом смайлики. Я пришла к вам на урок вот с таким настроением (показываю изображение смайлика)! (слайд 6)

А какое у вас настроение? На столе у вас три рисунка. С каким настроением вы пришли на урок? Покажите. ( показывают изображение смайлика)

Молодцы! У всех хорошее настроение. 

Давайте проверим, готовы ли начать работать? Нам сегодня понадобятся тетрадь, ручка, линейка, карандаш и ножницы. Все готовы? Желаю вам успехов в работе.

Устный счет

Ну-ка, в сторону карандаши!

Ни бумажек, ни ручек, ни мела!

Устный счет! Мы творим это дело

Только силой ума и души!

Новые знания нам будет очень трудно осваивать без умения быстро и верно считать, поэтому, как всегда, начнем урок с устного счета: (слайды  8)  

48:4=                     76:2=                     36а-18а=                  37+13=

     12+13=                  81∙0=                  99:9=                          8²=

 24∙3=                    115∙1=                          4²=                          19х+13х=                  

3. Фронтальный опрос учащихся.     

На прошлых уроках мы изучали формулы площадей, говорили о равных фигурах и разбиении фигур на части. Давайте вспомним теоретический материал.

     -Какие фигуры изображены на доске? (слайд 9)

    -Среди данных фигур найдите прямоугольники.                                     - Какие измерения имеет прямоугольник? Как они обозначаются?         Как вычислить периметр прямоугольника?                                                 - Назовите единицы измерения периметра                                                    - Как вычислить площадь прямоугольника?                                                 -Назовите единицы измерения  площади                                                     - Что такое квадрат?                                                                                         - Как найти  измерения прямоугольника по его площади? слайд

 4.Работа с раздаточным материалом

Учащимся  раздаются набор многоугольников  в конверте. Из набора многоугольников нужно выбрать прямоугольники.

-Какие из этих прямоугольников являются квадратом?

-Посмотрите и покажите, какие из них равны? Как вы определили?  (Наложением).

Две фигуры называются равными , если одну из них можно наложить на другую и эти фигуры совпадут. У равных фигур площади и периметры равны Слайд 14  ) .

Теперь посмотрим, как вы научились применять эту формулу при вычислении тех или иных входящих в нее величин.

 Проблема 1:  как найти площадь и периметр  прямоугольника? ( Слайд 14  )

Проблема 2:  как найти площадь прямоугольника? ( Слайд 15  )

Нескольким учащимся раздаются карточки с заданием.  После того, как будут выполнены эти задания, осуществляется проверка.

            Карточки

Карточка №1. По данным прямоугольника, представленным в таблице, найдите недостающие данные и заполните таблицу

Карточка №2. Определить площадь фигуры, разбив его на части

Карточка №3. Найти значение выражения:

 52 + 32 ;             13 + 23;             52 × 22;                03 + 42

Зачем нужно знать площадь прямоугольника в жизни? (для строительства, работы в сельском хозяйстве и т.д.)

Действительно, в жизни мы постоянно встречаемся с прямоугольниками, и очень часто нам приходится не только определять их длину и ширину, но и вычислять периметр и площадь.

Задача ( Слайд  17 )

      Хватит ли 260м металлической сетки, если огород имеет форму прямоугольника, размер которого 80м и 40м? Какая площадь при этом будет обнесена забором? 

5.Физкультминутка.  ( Слайд 18  )

 Поднимает руки класс – это «раз».

Повернулась голова – это «два»,

Руки вниз, вперед смотри – это «три»,

Руки в стороны пошире развернули – на «четыре».

С силой их к плечам прижать – это «пять».

Всем ребятам тихо сесть – это «шесть».

6.Практическая часть

1. Работа в тетрадях. Запись даты, темы урока.

Решение задачи № 717 у доски и в тетрадях.  ( Слайд 20  )

Длина прямоугольника АВСД равна 28 см, а его ширина в 7 раз меньше. Чему равна площадь прямоугольника?

1. 28:7=4(см)-ширина.
2. 4·28=112(

Ответ: площадь прямоугольника 112.  

7. Исследовательская работа. Решение задачи № 739, стр 112. ( Слайд  21 )

 Из набора многоугольников нужно выбрать прямоугольник со сторонами 6см и 5см  и вычисляем площадь прямоугольника .

  С помощью линейки и карандаша соединяем  вершины А и С. Разрезаем прямоугольник по этой линии, в результате получаем два треугольника.

-Какие треугольники мы получили?

-Можно ли найти площадь данного треугольника?

 В                                                        С

           5 см          

А                      6см                             Д

                          6 см

 Найти                                  (56):2=15  

Сейчас я вам показала, как найти площадь прямоугольного треугольника, но более подробно вы познакомитесь с этим понятием в 7 классе в курсе геометрии.

8. Самостоятельная работа (тестирование) ( Слайд  22 )

1 вариант

1.Площадь прямоугольника определяется по формуле:                                                 а)        б)          в)

2.Площадь квадрата со сторонами 7 см равна:                                                      а)  59 см²        б)  49 см²         в) 27 см²

3.Периметр квадрата 64 см.Чему равна его площадь?                                              а)  128 см²        б)  64 см²         в) 256 см²

2 вариант

1.Площадь квадрата определяется по формуле:                                                   а)        б)          в)

2.Площадь прямоугольника со сторонами 5 см и 9 см равна:                                                      а)  35 см²        б)  45 см²         в) 28 см²

3.Площадь квадрата 100 см.Чему равен его периметр?                                              а)  60 см         б)  20 см          в) 40 см

                                             Правильные ответы( Слайд  23 )

1 вариант: 1б, 2б,3в                                                                                                   2 вариант: 1а, 2б, 3в    

 После выполнения задания ребята меняются тетрадями и выполняют проверку работы товарища с выставлением оценки. ( Слайд 24)

Ребята, наш урок подходит к концу.

9 Рефлексия.

-О каких геометрических фигурах шел разговор на уроке?

-Что нужно знать, чтобы найти площадь прямоугольника, квадрата?

-Пригодятся ли в жизни полученные знания? Где?

-Кто работал на уроке лучше всех?

-Кому еще надо стараться?

-С каким настроением вы уйдете с урока?  Покажите( Слайд26   )

Спасибо за внимание! До свидания! ( Слайд  27 )

Домашнее задание   п.18,№№742, стр. 113,

найти измерения своей комнаты,  вычислить S и P.  ( Слайд 25  )