Применение элементов аналитической геометрии к решению стереометрических задач
методическая разработка по математике (10, 11 класс)

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ЛИЦЕЙ № 14»

Бурмистрова А.В

Применение элементов аналитической геометрии к решению стереометрических задач

ТАМБОВ 2019

ВЫЧИСЛЕНИЕ РАССТОЯНИЙ И УГЛОВ

     Рассмотрим несколько геометрических задач, для решения которых необходимо вычислить те или иные расстояния или углы в пространстве (эти задачи предлагались на вступительных экзаменах в вузы). Задачи такого типа удобно решать с помощью скалярного произведения векторов. Основной метод решения заключается в том, что  в пространстве выбирается подходящий базис и составляется таблица умножения – таблица скалярных произведений векторов этого базиса. Имея такую таблицу и зная разложения векторов в выбранном базисе, вычислить длины этих векторов и углы между ними уже легко. Мы начнем с простой задачи, где этот метод напрашивается сам собой, а затем перейдем к более сложным задачам, продемонстрировав на них все основные случаи.

Задача 1. В треугольной пирамиде ABCD все ребра имеют одинаковую длину.  Точка M – середина ребра AD, точка О – центр треугольника ABC, точка N – середина ребра AB и точка K – середина ребра CD. Найдите угол между прямыми MO и KN.

     Решение.

 Примем длину ребра тетраэдра за единицу и выберем в качестве базиса векторы , , . Составим таблицу умножения для этого базиса (табл. 1). Разложим векторы  и  по векторам ,  и :                                                                                                                                                             

                                                                                                 Таблица1

.

Угол φ между прямыми MO и KN вычисляется по формуле

.

Найдем , и , пользуясь таблицей 1:

;

= 

Отсюда cosφ=, φ=.

     Однако условие задачи не всегда позволяет выбрать базис с полностью определенной таблицей умножения. В этом случае нужно попытаться составить уравнение относительно недостающего элемента.

     Задача 2. Сторона основания правильной треугольной призмы  равна а, точки  и  являются центрами оснований  и  соответственно. Длина ортогональной проекции отрезка  на прямую  равна 5а/6. Определите высоту призмы.

     Решение. 

Выберем в качестве базиса векторы , ,  (рис. 1). Пусть . Таблица 2 – это таблица умножения для базиса (, , ).

                                                           Таблица 2

     Ортогональная проекция отрезка  на прямую  равна длине этого отрезка, умноженной на косинус угла φ между прямыми  и . Чтобы вычислить  и , разложим векторы  и  в базисе ( , ):

.

Используя таблицу 2, находим:

,

Поскольку  мы получаем уравнение

.

Отсюда .  

     Можно выделить четыре основных типа задач на вычисление расстояний и углов.

1. Расстояние от точки до прямой.

     Дано: точка; прямая l с направляющим вектором , точка А, принадлежащая прямой l; .

     Найти: расстояние от  очки M до прямой l.

     (Векторы  и  в условии задачи даны в том смысле, что известны их разложения в некотором базисе с заданной таблицей умножения.)

     Приведем схему решения этой задачи.

     Пусть N – ортогональная проекция точки M на прямую l (рис. 2). Тогда  Неизвестный коэффициент х находится из условия перпендикулярности векторов  и :  Искомое расстояние .

     Задача 3. В правильной треугольной пирамиде SABC (S – вершина, SA = 4) точка D лежит на ребре SC, а расстояние от точки A до прямой BD равно 2. Найдите объем пирамиды.

     Решение. Выберем базис из векторов , , .

Составим таблицу умножения для этого базиса, обозначив через φ плоский угол при вершине пирамиды (табл. 3). По условию расстояние от точки А до прямой BD равно 2. Вычислив это расстояние с помощью таблицы 3, мы получим уравнение, позволяющее найти .

Таблица 3

     Пусть N – проекция точки A на прямую BD (рис. 3). Тогда  Так как векторы  и  перпендикулярны, получаем ( Используя таблицу 3, после упрощений находим:

                                                                                         (1)

Вычислим теперь длину вектора :

.

Так как              

                                                                               (2)

Из равенств (1) и (2) получаем /9. Поэтому  = 55/64.

     Найдем теперь длину отрезка  - высоту пирамиды. Так как O – центр треугольника ABC,

откуда

Чтобы найти площадь основания пирамиды, вычислим :

Теперь искомый объем

     2. Расстояние от точки до плоскости. Угол между прямой и плоскостью.

     Дано: плоскость α с базисом (), точка А, принадлежащая плоскости α, точка M, не лежащая в плоскости α, .

     Найти: расстояние от точки до плоскости α и угол между прямой и плоскостью α.

     Схема решения этой задачи такова.

     Пусть N  - ортогональная проекция точки M на плоскость α (рис. 4). Тогда  Неизвестные коэффициенты x, y находятся из условия перпендикулярности вектора  векторам  и :

     Зная x и y, находим расстояние от точки M до плоскости α, равное 

     Если  то угол между прямой AM и плоскостью α равен углу между векторами  и , а если , то прямая AM перпендикулярна плоскости α.

     Задача 4. В основании прямой призмы  лежит ромб ABCD с острым углом А = . Все ребра призмы имеют длину а. Точка К является ортогональной проекцией точки  на плоскость , а точка L – ортогональной проекцией точки К на плоскость  Найдите объем пирамиды DCLK.

     Решение. Примем за основание пирамиды DCLK треугольник CDL, лежащий в плоскости . Тогда отрезок KL – высота пирамиды (рис. 5). Следовательно,

где M – ортогональная проекция точки L на прямую DC.

                                                           Таблица 4

     Выберем в качестве базиса векторы , ,  и заполним таблицу 4 – таблицу умножения для этого базиса.

     Далее,

     Так как вектор перпендикулярен векторам  и , получаем систему

      Заменив вектор  его разложением в базисе ( , ) и воспользовавшись таблицей 4, придем после упрощений к системе уравнений 2x + y = 1, 3x + 4y = 1, откуда x = 3/5, y = -1/5.

     Следовательно, .

Аналогично

Так как  и то  откуда , и 5t + 1 = 0, откуда t = -1/5. Следовательно,

     Теперь можно найти высоту пирамиды :

      Осталось найти :

Так как  то , откуда , .

Таким образом,

     3. Расстояние и угол между скрещивающимися прямыми.

     Дано: прямая  с направляющим вектором , точка , принадлежащая прямой ; прямая  с направляющим вектором , точка , принадлежащая прямой ;  

     Найти: расстояние и угол между прямыми l и l.

     Задачи этого типа решаются по следующей схеме.

     Косинус угла  между прямыми  и  находятся по формуле

Чтобы определить расстояние между прямыми  и , т.е. длину их общего перпендикуляра  (, , рисунок 6), представим  вектор   в виде  Неизвестные коэффициенты x, y находятся из условий перпендикулярности вектора  векторам  и :

Искомое расстояние – длина вектора , т.е.

     Задача 5. Основанием пирамиды SABC  является треугольник ABC, длина стороны которого равна 4 Боковое ребро SC перпендикулярно к плоскости основания и имеет длину 2. Найдите величину угла и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину ребра BC, а другая проходит через точку С и середину ребра AB.

                                                                     Таблица 5

  Решение. Пусть M и N – середины ребер и (рис. 7). Выберем в качестве базиса векторы ,   Таблица умножения для этого базиса – это таблица 5. Найдем угол φ между прямыми SM и CN:

;

     Вычислим , , :

 = 12,  = ,  = .

     Следовательно, , φ = .

     Вычислим теперь расстояние между прямыми SM и CN, т.е. длину их общего перпендикуляра PQ (PSM, QCN):

     Из условия перпендикулярности вектора  векторам  и  получаем систему уравнений

3x + 3y = -1, x + 2y = 0,

откуда x = -2/3, y = 1/3.

     Следовательно,

     4. Угол между плоскостями.

  Угол между двумя плоскостями  равен углу между перпендикулярными им прямыми. Действительно, пусть плоскости α и β пересекаются по прямой с (рис.8). Через какую-нибудь точку, не лежащую на прямой с, проведем прямые a и b, перпендикулярные плоскостям α и β соответственно. Тогда плоскость, проходящая через прямые a и b, пересекает плоскости α и β по прямым  и , перпендикулярным прямой с (см. рис. 8). Угол между плоскостями α и β равен углу между прямыми  и , который, в свою очередь, равен углу между прямыми a и b (так как прямые  a,  b, ,  лежат в одной плоскости и a,  b).

     Таким образом, задача нахождения угла между плоскостями сводится к вычислению угла между прямыми.

      Задача 6. В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC со стороной 1, ребро SA пирамиды перпендикулярно плоскости основания, SA = . Плоскость α параллельна прямым SB и AC, плоскость β параллельна прямым SC и AB. Определите величину угла между плоскостями α и β.

    Таблица 6

Решение. Выберем в качестве базиса векторы , , . Таблица 6 – это таблица умножения для векторов этого базиса. Если  и  - ненулевые векторы, перпендикулярные плоскостям α и β соответственно , а φ – угол между этими плоскостями, то

     В качестве вектора  можно взять любой ненулевой вектор, удовлетворяющим условиям  

     Запишем вектор  в виде  Так как , , мы получаем систему уравнений

     С помощью таблицы 6 приводим эту систему к виду

6x – 2y – z = 0,  y + 2z = 0.

     Число уравнений в этой системе меньше числа неизвестных. Это объясняется тем, что вектор  условием α не определен однозначно. Решение такой системы сводится к выражению двух неизвестных через третье. Выразим x и y через z: y = -2z, x = -1/2z.

     Положив теперь, например, z = -2, найдем x и y: x = 1, y =4. Вектор  - один из ненулевых векторов, перпендикулярных плоскости α.

     Аналогично будем искать ненулевой вектор , перпендикулярный плоскости β: , ;

так что

, .

     Можно взять u = -2. Тогда v = 4, t =1, так что  (Выражение для вектор  можно было получить из выражения для вектора , заметив, что условие, задающее плоскость β, получается из условия, задающего плоскость α, перестановкой точек B и C.)

     Теперь вычисляем  :

  .

Таким образом, .

     Упражнения

     1. В параллелограмме ABCD точка K – середина стороны BC, а точка M – середина стороны AD. Найдите AD, если AK = 6, AM = 3,  = .

Ответ: 4

     2. В правильном тетраэдре ABCD отрезок MN соединяет середину ребра AC с центром грани BDC, а точка E – середина ребра AB. Найдите угол между прямыми MN и DE.

Ответ:.

     3. В основании треугольной призмы лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC, длины катетов AB и AC которого равны α. Боковые ребра , ,  образуют с плоскостью основания углы в , а диагональ  боковой грани  перпендикулярна ребру AC. Найдите объем призмы, если длина диагонали  равна .

Ответ:.

     4. В правильной треугольной призме  длина стороны основания равна а, длина бокового ребра равна а/2. Точка D является ортогональной проекцией середины ребра  на плоскость , а точка E – ортогональной проекцией точки D на плоскость . Найдите объем пирамиды

Ответ:.

     5. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD имеет длину a, боковое ребро – длину 2а. Рассматриваются отрезки с концами на диагонали BD основания и боковом ребре SC, параллельные плоскости SAD.

     a) Один из этих отрезков проведен через точку M диагонали BD такую, что DM : DB = 1 : 3. Найдите его длину.

     б) Найдите наименьшую длину всех рассматриваемых отрезков.

Ответ: а), б).

МЕТОД КООРДИНАТ.

Задача 1. В основании треугольной пирамиды SABC  лежит прямоугольный треугольник АВС с катетами СА=4, СВ=3. Вершина пирамиды S проектируется в точку С, причем SC=1. На ребрах пирамиды взяты точки М – на СА, N – на СВ, Р – на SA, причем MC = 1, NC = NB, SP = PA. Найти величину угла, образуемого плоскостью сечения пирамиды, проходящей через точки M, N, P, с плоскостью основания.

Решение.

Взаимно перпендикулярные ребра пирамиды CS, СА и СВ позволяют связать с ними прямоугольную систему отсчета, поместив начало в вершине С. Тогда плоскость сечения проходит через три точки, координаты которых нам известны, а именно М(1, 0, 0), N(0,, 0), P(2, 0, ).

Уравнение плоскости, проходящей через эти точки, будем искать в виде

. Это так называемое «уравнение плоскости в отрезках». Числа а, b и с  - это координаты точек пересечения плоскости с соответствующими осями координат, точнее говоря, координаты этих точек имеют вид (а, 0, 0), (0, b, 0), и (0, 0, с).

Подставляя в это уравнение последовательно координаты точек М, N, P, получим три уравнения для определения чисел а, b и с :

Отсюда находим а=1, b= и с= , т.е. секущая плоскость имеет уравнение  или .

Известно далее, что коэффициенты (3, 2, -6), стоящие при x, y, z в уравнении плоскости, можно рассматривать как координаты вектора , перпендикулярного этой плоскости. Аналогично, координаты вектора , перпендикулярного плоскости  основания пирамиды, равны (0, 0, 1). Поэтому, используя формулу для выражения косинуса угла между векторами через их скалярное произведение и длины, можно вычислить этот угол, который как раз и равен углу между рассматриваемыми плоскостями. Имеем: , т.е. .

Задача 2. Через три точки O, E, F, лежащие на поверхности куба ( - боковые ребра), проведена плоскость сечения. Найти величину угла, образуемого его плоскостью с плоскостью основания куба, если известно, что О – центр грани  куба, Е и F принадлежат ребрам  и ВС, соответственно, причем  и .

Решение.

Приняв за начало координат вершину В куба, направим ее оси x, y, z соответственно по векторам . Тогда точки Е, О и F, через которые проводится сечение, имеют координаты,  , .

Уравнение плоскости, проходящей через эти точки, будем искать в виде

.

Числа а, b и с  - это координаты точек пересечения плоскости с соответствующими осями координат, точнее говоря, координаты этих точек имеют вид (а, 0, 0), (0, b, 0), и (0, 0, с).

Подставляя в это уравнение последовательно координаты точек Е, О, F, получим три уравнения для определения чисел а, b и с :

Отсюда находим а=, b= и с=. После этого уравнение плоскости можно записать следующим образом: .

Известно далее, что коэффициенты (9, 4, -5), стоящие при x, y, z в уравнении плоскости, можно рассматривать как координаты вектора , перпендикулярного этой плоскости. Аналогично, координаты вектора , перпендикулярного плоскости  основания куба, равны (0, 0, 1). Поэтому, используя формулу для выражения косинуса угла между векторами через их скалярное произведение и длины, можно вычислить этот угол, который как раз и равен углу между рассматриваемыми плоскостями. Имеем: , т.е. .

Задача 3. Доказать, что расстояние  от точки до плоскости  вычисляется по формуле: .

Решение.

Проведем , где . Координаты точки В обозначим через .Векторы и  коллинеарны, поэтому угол между ними равен или . Пользуясь скалярным произведением, получим: . Но , тогда ,

отсюда . В последнем равенстве перейдем к координатам: . Раскроем скобки в числителе и заменим выражение числом , так как . Получим: .

Задача 4. Длина ребра куба равна 1. На ребре KL взята точка А так, что длина отрезка КА равна . На ребре ММ1 взята точка В так, что длина отрезка М1В равна . Через центр куба О и точки А и В проведена плоскость . Точка Р – проекция вершины К1 на плоскость . Найти длину отрезка АР.

Решение.

Треугольник АК1Р – прямоугольный, так как по условию. Поэтому .

Найдем координаты точек А, В, О, К1:

 ;;

Из  находим . Длину отрезка К1Р найдем, как расстояние от точки К1 до плоскости , воспользовавшись формулой , где () – координаты точки К1, а числа a, b, c, d  - координаты уравнения , определяющего плоскость .

Чтобы найти значения a, b, c, d  , подставим в уравнение плоскости координаты точек А, В, и О. Получим систему:

 . Решая эту систему, находим:   и . Подставив найденные значения a, b  и  c, получаем уравнение плоскости : .

Теперь определим К1Р=. И, наконец, находим АР: .

Задача 5. Дан куб  с ребром 1. Найти радиус сферы, проходящей через вершину А, середины ребер DC и ВВ1 и центр грани .

Решение.

 Введем систему координат с началом в вершине А, выбрав оси так, чтобы вершины В, D и А1 имели координаты В(1, 0, 0), D(0, 1, 0), А1(0, 0, 1), координаты середин ребер DC и ВВ1 соответственно , , центра грани А1В1С1D1 - .

Напомним, что уравнение сферы с центром  и радиусом r имеет вид . Последнее уравнение можно преобразовать к виду . Поскольку сфера содержит начало координат, то d = 0. Для а, в, и  с легко получить систему уравнений:

Решив эту систему, найдем . Таким образом, уравнение сферы примет вид: , или . Искомый радиус равен .

Задача 6. Дан куб  с ребром 1.Две сферы одинакового радиуса касаются друг друга, причем центр первой сферы совпадает с вершиной D1, а центр второй расположен внутри куба, и она касается ребер трехгранного угла с вершиной А. Определить радиус сфер.

Решение.

 Введем систему координат с началом в вершине А, выбрав оси так, чтобы вершины D, B и А1 имели координаты D(1, 0, 0), B(0, 1, 0),

А1(0, 0, 1), тогда координаты центра первой сферы (точки D1)  - (1, 0, 1). Пусть R – радиус сфер. Поскольку вторая сфера касается ребер трехгранного угла с вершиной А, то расстояние от ее центра (точки Е) до каждого из ребер этого угла также равно R. В силу симметрии точка Е лежит на диагонали АС1 куба и ее координаты равны между собой. Поэтому достаточно ограничиться поиском одной из координат точки Е. Пусть М – ортогональная проекция точки Е на ось Oy. Тогда длина АМ и есть ордината точки Е, ЕМ=R. Прямая СВ – проекция прямой С1В на плоскость АВС и . Значит, по теореме о трех перпендикулярах, С1ВАВ. Но тогда треугольники  АЕМ и АСВ подобны по двум углам. Поэтому  или . Таким образом, ордината точки Е равна . Тогда координаты точки Е.

Сферы касаются друг друга, поэтому расстояние между их центрами равно 2R. Но . Следовательно, . Откуда  (второй корень уравнения отрицателен).

     Упражнения.

1. Дан куб  с ребром 1. На ребре АА1 взята точка Е так, что длина отрезка АЕ равна . На ребре ВС взята точка F так, что длина BF равна . Через центр куба и точки Е и F проведена плоскость . Найдите расстояние от вершины В1 до плоскости .

Ответ:.

2. Основанием пирамиды SABC является равнобедренный прямоугольный треугольник АВС, длина гипотенузы АВ которого . Боковое ребро пирамиды SC перпендикулярно плоскости основания и его длина равна 2. Найдите величину угла и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину ребра АС, а другая проходит через точку С и середину ребра АВ.

Ответ:; .

3. Дан куб  с ребром 1. На ребре АD как на диаметре построена сфера. Вторая сфера, лежащая внутри куба, касается первой сферы  и граней трехгранного угла с вершиной А1. Определить радиус второй сферы.

Ответ:.

4. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна , а высота – 3. Вершина А куба  находится в центре основания пирамиды, а вершина С1 – на высоте пирамиды, а ребро СD лежит в плоскости одной из боковых граней. Найти длину ребра куба.

Ответ:.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.

1. В.М. Клопский, З.А.Скопец, М.И. Ягодовский. Геометрия. 9 – 10 классы.  – М.:, «Просвещение», 1982.

2. М.В. Лурье. Геометрия. Техника решения задач. Учебное пособие. – М.: Издательский отдел УНЦ ДО, ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 240 с. – (Серия «В помощь абитуриенту»).

3. В.В. Ткачук. Математика – абитуриенту. – М.: МЦНМО, 2003. – 910 с.

4. В.В.Прасолов, И.Ф. Шарыгин. Задачи по стереометрии. – М.: «Наука», 1989.

5. И.Ф. Шарыгин. Задачи по геометрии. Стереометрия. Библиотечка «Квант». – М.: «Наука», 1984.

6. Н.К. Егерев, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский, Т.Н. Маслова, И.Ф. Орловская, Р.И. Позойский, Г.С. Ряховская, Н.М. Федорова – под общей редакцией М.И. Сканави. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы.  Минск, изд-во «Вышейшая школа», 1990.