Решение текстовых задач
статья (алгебра, 9 класс) по теме

РЕШЕНИЕ  ТЕКСТОВЫХ  ЗАДАЧ  

КГУ «Школа-лицей № 31»        

 Учитель математики классов вечернего (заочного обучения)

Г.К. Бегешева (г. Усть – Каменогорск, ВКО)

В системе уроков естественно-математических дисциплин большое место занимает решение задач. Большинство учащихся вечерней школы затрудняются именно в этом.

Возникает  вопрос о том, как научить учащихся переводить условие задач на математический язык,  как сделать, чтобы они не совершали ошибок?

При изучении ряда тем требуется сформировать навыки, которые для большинства учащихся являются сложными и требуют от них, в свою очередь,  овладения некоторыми вспомогательными навыками. Так, например  предлагаемые в большинстве случаев текстовые задачи решаются с использованием уравнений и их систем. Задача учителя состоит в том, чтобы  должным образом организовать обсуждение условия задачи. В первую очередь  выявляются процессы и ситуации, описываемые в задаче. Говоря иначе, учитель ведет диалог в ходе решения задачи. «О каких и скольких объектах идет речь? Какие величины связывают их,  и  делится ли условие задачи на «сначала» и «после»?»  Обратить внимание учащихся на то, что значение некоторых слов, на  математическом языке надо принимать как «больше», «меньше», «равно».

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ.

Из города  А в город В выезжает велосипедист, а через 3 ч после его выезда из города В навстречу ему выезжает мотоциклист, скорость которого в 3 раза больше, чем скорость велосипедиста. Велосипедист и мотоциклист встречаются на полпути между  А и В. Если бы мотоциклист выехал  не через 3 ч, а через 2 ч посла велосипедиста, то встреча произошла бы на 15 км ближе к городу  А. Найти расстояние между городами.

 Ход рассуждений представим в виде таблицы, в которой показана взаимосвязь между тремя величинами: скорость, время и расстояние.

 Возникает система из двух уравнений:    Важно не забыть, что за x обозначался не весь путь, а половина. Итак, решив систему, получим y=20, x= 90, а расстояние между городами – 180 км.

 Есть задачи, для решения которых не достаточно одних уравнений. К таковым относятся задачи с неопределенным условием. Для их решения используются не только уравнения, но и неравенства, системы неравенств, а иногда и некоторые дополнительные условия, явно не указанные в задаче. Несколько примеров задач на использование неравенств и их систем.

ЗАДАЧА 1.

Из двух целых положительных чисел второе больше квадрата первого. Сумма квадрата разности первого числа и 3 и квадрата разности второго и 4 меньше 4. Найти эти числа.

РЕШЕНИЕ. Обозначим первое число через x , второе через y. Тогда имеем систему неравенств:

Рассмотрим графический способ решения задачи. Построим график функции y= x2 и окружность = 4: центр окружности в точке (3; 4), радиус – 2.

y

x

                                                                                                                                                                Единственная точка имеет целочисленные координаты Значит ответ: x=2, y=5.

ЗАДАЧА 2.

Сумма в 95 тенге составлена из монет достоинством  в 10 и 5 тенге. Всего монет не более 14. Если все десяточки заменить пяточками, а все пяточки – десяточками, то общая сумма уменьшится в более чем в 1,5 раза. Сколько пяточков и сколько десяточек было первоначально?

ОТВЕТ: Один пяточок и девять десяточек.

ЗАДАЧА 3.

Прибывших на парад солдат планировали построить так, чтобы в каждом ряду стояло по 24 человека. Но в действительности не все прибывшие смогли участвовать в параде, и их перестроили так, что число рядов стало на 2 меньше, а число человек в ряду на 26 больше нового числа рядов. Если бы все солдаты участвовали в параде, то их можно было бы построить так, чтобы число рядов было равно числу человек в ряду. Сколько солдат прибыло на парад?

РЕШЕНИЕ.

Обозначим первоначально предполагаемое  число рядов за n, тогда число прибывших солдат равно 24 n. После перестроения число рядов стало равным n-2, а число человек в ряду – соответственно n+24. Возникают вопросы: «Как составить уравнение, если неизвестно число прибывших солдат? А может задача не имеет решения?»  Совершенно очевидно, что число солдат после перестроения явно меньше числа прибывших первоначально. Итак, число прибывших  - 24 n; число солдат после перестроения - . Составим неравенство:   24 n > ⬄ - 2n - 48< 0.

Решая его, получаем, что число рядов лежит в интервале  Число рядов может быть целым и положительным.  Следовательно круг решений ограничен от 1 до 7. Учитывая, что число человек в ряду, после перестроения, рано числу рядов, нетрудно догадаться, что из числа солдат (24 n)должен извлекаться квадратный корень. Единственное число, удовлетворяющее этому условию – 6, а соответствующее число солдат равно 144.

ЗАДАЧА 4.

Для перевозки животных было выделено некоторое количество вагонов из расчета, разместить,  в каждом по 12 животных. На станции часть животных сдали, а оставшихся разместили так, что 2 вагона оказались лишними, при этом число животных в каждом вагоне стало простым и на 14 больше нового числа вагонов. Сколько животных было первоначально?

РЕШЕНИЕ. Те же рассуждения, что и в предыдущей задаче. Ответ:  Вагонов 5, а число животных – 60.

ЗАДАЧА 5.

Бригады  рабочих получали спецодежду со склада по 2 комплекта на каждого человека. Каждая бригада получала на 20 комплектов больше, чем было бригад. Если бы бригад было на 4 больше и каждой выдавали по 12 комплектов, то одежды на всех не хватило бы. Сколько комплектов спецодежды было на складе?

РЕШЕНИЕ. Пусть было x бригад и  n рабочих в каждой бригаде. Тогда число комплектов на каждую бригаду будет 2n, что на 20 больше, чем число бригад, т.е.  2n=x+20. Если бы бригад было  x+4, и каждая получила на 12 комплектов,  то общее количество спецодежды было бы 12(x+4) и превысило бы их количество на складе: 12 > 2nx . Это равносильно неравенству: . Условию задачи удовлетворяют лишь три числа: 1,2,3.

Далее из 2n=x+20 получаем, что x= 2n - 20, т.е. x – четное число, т.е. бригады - 2.   Итак, 2n – 20 =2, n=11, а число комплектов спецодежды будет равно 2nx= 2*11*2 = 44.

ЗАДАЧА 6.

Имеется дробь, у которой числитель и знаменатель – целые  положительные числа. Знаменатель на 1 меньше квадрата числителя. Если числитель и знаменатель увеличить на 2, то получится дробь  больше    , а если из числителя и знаменателя вычесть 3, то полученная дробь будет меньше  , но неотрицательной. Чему равна   данная дробь?

РЕШЕНИЕ. Запишем условие через систему неравенств:                                                                                   ОДЗ: m≠ ± 2

Учитывая условие задачи,  получаем единственное решение m=4, а дробь равна .  

ЗАДАЧА 7.

Токарю необходимо сделать 90 деталей, а ученику – 35. Первые 30 деталей токарь делал с производительностью,  вдвое большей, производительности  ученика. Остальные 60 деталей он делал, повысив производительность ещё  на 2 детали. Токарь свою работу закончил более чем на 1 час позже ученика. Однако, если бы токарь и первые 30 деталей делал  с такой же производительностью, как оставшиеся 60, то он закончил бы работу не раньше чем через 30 минут после ученика. Какова производительность ученика?

РЕШЕНИЕ. За x примем производительность ученика. Получим систему неравенств:  ⬄

Условию удовлетворяет единственное значение  x = 5.

           Отрицательное отношение к задачам обычно возникает в связи с трудностями, неумением решать их. Поэтому посильность задач, соответствие их содержания уровню развития умений составляют одно из важнейших условий появления у учащихся положительных эмоций. Постепенное возрастание трудности  в соответствии с продвижением учащихся от одного уровня развития умений  к другому  лежит в основе системы работы учителя вечерней школы.