Методическая разработка урока "Логарифмические уравнения"
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

Логарифмические

уравнения

                                        урок-консультация

                        составлен

                                            учителем математики

                             ГОУ средней школы №47

им. Д.С.Лихачева

                                  Портновой Е.А.

1. Цель урока: - уточнить и обобщить приобретенные учащимися знания, выявить уровень усвоения ведущих понятий и идей темы, оказать помощь учащимся в овладении и совершенствовании практических навыков.

2. План урока;

Определение задач урока

На предыдущих уроках вы познакомились с операцией «логарифмирование», изучили свойства этой операции. Сегодня на уроке вам предстоит познакомиться с новой математической моделью – логарифмические уравнения и научиться применять изученные свойства для их решения.

Повторение основных вопросов темы

Для проведения первой части этого этапа урока используются презентации  «Свойства логарифмов» и «Свойства логарифмической функции», подготовленные учениками класса в рамках учебного проекта « Исследование логарифмической функции».

После демонстрации презентаций проводится устный опрос.

Задания спроецированы на доску с помощью мультимедийной установки:

Слайд 1

     Найдите значение числового выражения:

а). log 3 27        б). log 8 8

     log 0,1 0,0001                                         4log    23

     log 1/3 81                                                23+log  9               

     log  7 49                                                  82log    8

       log 18 1                                                    log 6 2 + log 6 3

     log 2 2                                                     log 1/8 4 + log 1/8 2

                                                                    log 0,2 40 + log 0,2 8

Работа учащихся сопровождается вопросом учителя:  Какое утверждение помогло вам ответить на вопрос?

Слайд 2

Найдите значение х в данном равенстве:

log 9 х = 1/2

log x 1/27 = -3

log x 8 – log x 2 = 2

log 2 x = log 2 72 – log 2 9

log 2 3x = log 2 4 + log 2 6

log 0,3 x = log 0,3 a + log 0,3 b

Работа учащихся сопровождается вопросами учителя: Сформулируйте вопрос, на который искали ответ в поисках значения х? Какое свойство логарифмической функции помогло вам ответить на вопрос?

Актуализация темы урока

Вопрос ученикам: Как иначе можно назвать представленные в задании 2 равенства?

(Уравнения.)

Используется (заранее разложен на партах для каждого ученика) справочный материал с текстом слайда 3:

Слайд 3:

Уравнением с одним неизвестным

 называется запись вида А(х) = В(х), в которой А(х) и В(х) – выражения от неизвестного х. В эти выражения помимо чисел, знаков арифметических операций и обозначений функций могут входить и другие буквы, которые обозначают переменные, называемые параметрами.

Областью определения уравнения (иногда говорят – область допустимых значений неизвестного) называется множество всех значений х, при которых определены обе части уравнения.

Корнем, или решением,

 уравнения называется значение неизвестного, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

Решить уравнение -

   найти все его корни или доказать, что их нет.

Ученикам предлагается самостоятельно повторить ключевые определения темы «Уравнения».

Уравнения, с которыми нам предстоит познакомиться, смоделированы при участии логарифмической функции и имеют особое название:

Слайд 4:

Логарифмические уравнения

Используется справочный материал с текстом слайда 5:

Слайд 5:

Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида

log a f(x) = log a g(x),

где а – положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.

Постановка проблемы

Ученики работают в парах.  На партах наборы карточек (разложены заранее по одному набору на парту).

 Составьте из предложенных карточек логарифмические уравнения.

Результаты работы оформляются на доске.

Обсуждение проблемного вопроса

Докажите, что  составленные уравнения можно назвать  логарифмическими.

 log 2 x = 3

 log 6 (14 – 4x) = log 6 (2x + 2)

 lg (x2 – 6) = lg (8 + 5x)

 log 2 (x2 – 3x – 10) = 3

 log 22 x -4 log 2 x + 3 = 0

 log 3 (x – 2) + log 3 (x + 2) = log 3 (2x – 1)

Ученики доказывают, используя определение логарифмического уравнения.

Особое внимание учащихся следует обратить на пятое уравнение.

Затем учитель предлагает ученикам высказать гипотезу для решения логарифмических уравнений (раз значения логарифмов равны, то должны быть равны и значения, стоящие под знаком логарифмов).

Это достаточно очевидное следствие монотонности логарифмической функции (каждое свое значение принимает только один раз).

Формулирование вывода по результатам обсуждения

Опираясь на свойство монотонности логарифмической функции, можно сформулировать следующее утверждение:

Используется справочный материал с текстом слайда 6:

Слайд 6:

Если f(x) > 0 и g(x) > 0, то логарифмическое уравнение log а f(x) = log а g(x),

 где а > 0, а = 1 (1),  равносильно уравнению  f(x) = g(x) (2)

Применение полученных выводов на практике

Используется справочный материал с текстом слайда 7:

Слайд 7:

На практике эту теорему применяют так:

1. переходят от уравнения (1) к уравнению (2). Такой переход называют потенцированием.
2. решают уравнение f(x) = g(x).
3. проверяют его корни по условиям f(x) > 0 и g(x) > 0, определяющим область допустимых значений переменной (ОДЗ). Те корни уравнения f(x) = g(x), которые удовлетворяют этим условиям, являются корнями данного уравнения. Те корни уравнения f(x) = g(x), которые не удовлетворяют хотя бы одному из этих условий, объявляются посторонними корнями для данного уравнения.

Ученикам предлагается выбрать уравнения, решение которых хотелось бы разобрать вместе. Решение записывается в тетрадь.

Например:

 а) решение уравнения log 6 (14 – 4x) = log 6 (2x + 2)

Потенцируя (т.е. освободившись от знаков логарифмов), получаем:

14 – 4х = 2х + 2

6х = 12

х = 2

Проверим найденные корни по условиям

     14 – 4х > 0        x < 3,5

      2х + 2 > 0         x > -1        (-1;3,5)

Значение х = 2 удовлетворяет найденному промежутку, а потому х = 2 – корень заданного уравнения.

Ответ: х = 2.

б) решение уравнения log 3 (x – 2) + log 3 (x + 2) = log 3 (2x – 1)

Сначала надо преобразовать уравнение к виду уравнения (1). Для этого воспользуемся правилом «Сумма логарифмов равна логарифму произведения».

log 3 (x – 2) (x + 2) = log 3 (2x – 1)

Потенцируя, получаем:

х2 – 4 = 2х – 1

х2  - 2х – 3 = 0

х = 3   или  х = -1

Проверим корни по условиям:

   х – 2 > 0        x > 2

   х + 2 > 0        x > -2

   2х - 1 > 0        x > 1/2        (2; ∞)

Значение х = 3 удовлетворяет этой системе неравенств, а значение х = -1 не удовлетворяет (это посторонний корень).

Ответ: х = 3.

В процессе решения следует обратить внимание учащихся на то, что условия для проверки всегда определяют по заданному уравнению.

Используется справочный материал с текстом слайда 8:

Слайд 8:

Замечание. Иногда удобнее использовать другой порядок ходов:

1. решить систему неравенств (ОДЗ),
2. найти корни уравнения,
3. сделать проверку найденных значений х по определенной заранее ОДЗ.

Подведение итогов урока

Сегодня на уроке вы познакомились с логарифмическими уравнениями и научились применять метод потенцирования для их решения.

Как вы думаете: к какому из составленных вами уравнений не удастся сразу применить метод потенцирования? Предлагаю дома вспомнить общие методы решения уравнений и предложить один из них для решения уравнения log 22 x -4 log 2 x + 3 = 0.

Слайд 9:

Домашнее задание:

1. выучить «Справочный материал» урока,
2. решить оставшиеся составленные на уроке уравнения,
3. № 336 из учебника.

Справочный материал

1.  Что значит «Решить уравнение»

Уравнением с одним неизвестным называется запись вида А(х) = В(х), в которой А(х) и В(х) – выражения от неизвестного х. В эти выражения помимо чисел, знаков арифметических операций и обозначений функций могут входить и другие буквы, которые обозначают переменные, называемые параметрами.

Областью определения уравнения ( иногда говорят – область допустимых значений неизвестного) называется множество всех значений х, при которых определены обе части уравнения.

Корнем, или решением, уравнения называется значение неизвестного, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.

2.  Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида

log a f(x) = log a g(x),

где а – положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.

3.  Если f(x) > 0 и g(x) > 0, то логарифмическое уравнение log а f(x) = log а g(x),

 где а > 0, а = 1 (1),  равносильно уравнению  f(x) = g(x) (2)

4.  На практике эту теорему применяют так:

4. переходят от уравнения (1) к уравнению (2). Такой переход называют потенцированием.
5. решают уравнение f(x) = g(x).
6. проверяют его корни по условиям f(x) > 0 и g(x) > 0, определяющим область допустимых значений переменной (ОДЗ). Те корни уравнения f(x) = g(x), которые удовлетворяют этим условиям, являются корнями данного уравнения. Те корни уравнения f(x) = g(x), которые не удовлетворяют хотя бы одному из этих условий, объявляются посторонними корнями для данного уравнения.

5. Замечание. Иногда удобнее использовать другой порядок ходов:

4. решить систему неравенств (ОДЗ),
5. найти корни уравнения,
6. сделать проверку найденных значений х по определенной заранее ОДЗ.