Урок на тему: "Критические точки функции, ее максимумы и минимумы".
план-конспект урока (алгебра, 10 класс) по теме

Тема урока: Критические точки  функции, ее максимумы и минимумы (1 курс, 2 ч)

   Цели:  ввести понятие критических точек функции,  точек максимума и минимума функции;  рассмотреть необходимое и достаточное условие существования экстремума, признаки максимума и минимума функции;  алгоритм исследования функции на экстремум; способствовать выработке навыка отыскания экстремумов функции; развитию логического мышления учащихся.

Оборудование:

Ход  урока

1. Повторение «Мозговой штурм»:

1) Как обозначается приращение аргумента?        (∆х)

2) Что называется производной функции в точке х? (Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента → 0)

3) Чему равна производная скорости?        (а (t))

4) Как вычислить производную сложной функции?   (Производную основной функции умножить на производную  вспомогательной).

5)Каково поведение функции, если f′(x) > 0?  (Возрастает).

6) (sin 2x)′ = ?              (2 cos2x)

7) (4х²)′ = ?                   (8х)

8) Кто ввел термин «производная»?            (Луи Арбогаст)

9) Чему равна производная пути?         (υ (t))

10) Как вычислить производную произведения?   (Производная первого множителя умножить на второй плюс первый множитель умножить на производную второго множителя).

11) Какое условие выполняется, если   f(-x) = f(x)?        (Функция является четной)

12) Кто из ученых XVII ввел обозначение производной «штрих»?            (Лагранж)

2. Задание: найти производную.

1. Объяснение нового материала

1. Определение критических точек функции.

2. Теорема Ферма (необходимое условие экстремума).

3. Признак максимума функции, признак минимума функции (достатчное условие существования экстремума в точке).

4. Записать правило исследования функции y=f(x) на экстремум:

          а)найти область определения функции;

          б)найти производную f '(x);

          в)найти точки, в которых выполняется равенство f '(x) =0;

          г)найти точки, в которых f '(x) не существует;

          д)отметить на координатной прямой все критические точки и область  

            определения функции y=f(x); получатся  промежутки области определения  

            функции, на каждом из которых производная функции у= f(x) сохраняет

            постоянный знак;

          е)определить знак у' на каждом из промежутков, полученных в п. (д);

          ж)сделать выводы о наличии или отсутствии экстремума в каждой из

             критических точек в соответствии с достаточным условием экстремума.

5. Исследовать на экстремум функцию у= 2х3 -15х2+36х+1

Решение:

а) D(y) =R;

б) y'= 6х2-30х+36;

в)из уравнения  6х2-30х+36=0 находим х1=2, х2=3;

г) y' существует при всех х;

д)отметим точки  х1=2, х2=3 на координатной прямой:

               +                                 -                                                    +

                     2                                                       3                         х

е)у' = 6(х-2)(х-3). Знаки производной на полученных промежутках отмечены на рисунке;

ж)при переходе через точку х=2 слева направо производная у' меняет знак с «+» на «-», значит х=2- точка максимума; при переходе через точку х=3 производная  у' меняет знак с «-» на «+», значит, х=3- точка минимума.    В точке х=2 имеем уmax =29; в точке х=3 имеем уmin=28.

4. Выполнение упражнений

1. Схематично изобразите график какой -либо функции f, для которой х1=-3- точка максимума; х2=4 — точка минимума.
2. Схематично изобразите график какой -либо функции g, которая имеет две точки максимума и одну точку минимума.
3. Функция f непрерывна в точке х0=2, причем g'(х)>0 на промежутке (-3,5;-3) и  g '(x)<0 на промежутке (2;3). Является ли точка х0=2 точкой максимума или минимума?
4. Функция g непрерывна в точке х0=-3, причем f '(х)<0 на промежутке (0;2) и  f '(x)>0 на промежутке (-3;0). Является ли точка х0= -3 точкой максимума или минимума?
5. Функция h непрерывна в точке х0=8, причем h'>0 на промежутке (7;8) и  f '(x)>0 на промежутке (8;9). Будет точка  х0= 8 точкой максимума или минимума?
6. Дифференцуемая функция у=f(x)  на промежутке [-4;9] имеет единственную точку экстермума х0=3. Определите знак производной на каждом из промежутков [-4;3) и (3;9].
7. Функция у=g(x)  на промежутке [-5;7] имеет единственную точку экстремума — точку минимума х0 =-2. Определите знак производной на каждом из промежутков [-5;-2) и   (-2;7], если функция  g  дифференцируема.
8. Известно, что функция f непрерывна на всем рассматриваемом промежутке. Установите, есть ли у функции точки экстремума, запишите точки максимума м минимума, если:

а)  f '(x)>0 на промежутке [-4;2); б)f '(х)<0 на промежутке (2;5);  в) f '(х)<0 на промежутке (5;∞).

9. Известно, что функция f непрерывна на всем рассматриваемом промежутке. Установите, есть ли у функции точки экстремума, запишите точки максимума м минимума, если:

а)  f '(x)<0 на промежутке (-∞;-1); б)f '(х)>0 на промежутке (-1;7);  в) f '(х)>0 на промежутке (7;∞).

5. Самостоятельная работа (СО)

Вариант 1. Определите точки экстремума функции g(x)= 1/3 х3-х.

План решения:

1. Найдите производную функции g.
2. Определите критические точки функции (т.е. решите уравнение  g'(x) =0 и найдите точки, если такие есть, в которых производная не существует).
3. Установите знак производной в каждом из промежутков, на которые критические точки делят область определения функции.

Помните:  а) х0- точка максимума, если  g непрерывна в точке х0;   g'(x) >0  на интервале (а; х0) и  g'(x) <0 на интервале (х0; b), где а

б) х0 — точка минимума, если g непрерывна в точке х0, g´(x)<0 на интервале (а;х0) и   g´(x)> 0 на интервале  (x0;b),  где а

4. Запишите ответ.

Вариант 2. Найдите точки экстремума функции у=(х-2)2.

План решения:

1. Найдите производную функции.
2. Определите критические точки функции (т.е. решите уравнение у´=0 и найдите точки, если такие есть, в которых производная не существует).
3. Установите знак производной в окрестности критической точки.
4. Для каждой из критических точек проверьте выполнение достаточных условий точек максимума и минимума.
5. Запишите ответ.

Вариант 3. Найдите точки экстремума функции у= х3-3х2+2.

План решения:

1. Найдите производную функции.
2. Определите критические точки функции.
3. Установите знак производной в окрестностях критических точек.
4. Проверьте выполнение достаточных условий точек экстремума, используя результат п.3 плана.
5. Запишите ответ.

Вариант 4. Найдите точки экстремума функции у= х/(х-4).

План решения:

1. Найдите производную функции.
2. Найдите критические точки функции.
3. Определите знак производной в окрестностях критических точек.
4. Примените достаточное условие точек экстремума.
5. Запишите ответ.

6. Повторение изученного материала:

1. Какая точка называется точкой максимума?  (Точка, в которой производная меняет знак с + на -).
2. Какая точка называется точкой минимума?  (Точка, в которой производная меняет знак с - на +).

      3) Каково поведение функции, если f′(x) > 0?             (Возрастает).

      4) Каков характер монотонности функции на некотором промежутке слева (справа) от точки максимума (минимума)?

7. Итог урока.