Разработка урока на тему "Использование производной для нахождения оптимального решения в прикладных задачах (Задачи на максимум и минимум)" по алгере 10-11 кл. с презентацией.
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

Задачи на максимум и минимум

1. Представьте число52 в виде суммы трех положительных чисел так,  чтобы сумма квадратов всех слагаемых была наименьшей, а отношение первого числа ко второму было равно 1:3.
2. Число 42 представьте в виде суммы трех положительных слагаемых так. Чтобы отношение первого числа ко второму было равно 3:4, а произведение всех трех чисел было наибольшим.
3. Произведение трех последовательных членов геометрической прогрессии с отрицательным  знаменателем равно 343. Найдите наибольшую сумму этих трех членов среди всех прогрессий, обладающих указанными свойствами.
4. Участок в форме прямоугольника площадью 800 огорожен с трех сторон забором. Найдите наименьшую длину забора.
5. Периметр параллелограмма с острым углом 30˚ равен 4. Найти максимально возможное значение площади параллелограмма.
6. В пирамиде SABC  ребра SA и BC образуют угол 60˚, SA=4,  BC=6√3. Найдите наименьшую площадь сечения пирамиды плоскостью, параллельной SA и BC.
7. Определите наименьшую суммарную длину всех ребер прямоугольного параллелепипеда, полная поверхность которого равна 600 см2, если основание его является квадратом.
8. Дана прямоугольная система координат  xOy.  Какую наименьшую площадь может иметь прямоугольный треугольник, на гипотенузе которого лежит точка M (0;1), а катеты лежат на прямых  x=-2 и y=0?
9. Автомобиль находится в степи в точке М, отстоящей от ближайшей точки А автотрассы на 60 км. Водитель должен попасть в точку В автотрассы, отстоящую от точки М на 110 км. Водитель подсчитал, что если он сначала доедет до точки С, которая находится на автотрассе между точками А и В, а затем по автотрассе до точки В, то на весь путь он потратит наименьшее время. Найдите расстояние от А до С, считая, что автомобиль движется по степи прямолинейно со скоростью 30км/ч, по автотрассе со скоростью 50км/ч, а автотрасса – прямая линия.
10. Имеются три сплава. Первый сплав содержит 10% золота, 40% серебра и 50% меди, второй – 20% серебра и 80% меди, третий – 20% золота, 30% серебра и 50%меди. Из них получили новый сплав, содержащий 5% золота. Какое наибольшее и какое наименьшее процентное содержание серебра может быть в новом сплаве?
11. Имеются три раствора. Первый содержит 80% спирта и 20% воды, второй – поровну глицерина и воды, третий – по 10% спирта и глицерина и  80% воды. Из них необходимо приготовить новый  раствор, содержащий 40% воды. Какое наибольшее и какое наименьшее процентное содержание глицерина может быть в этом новом растворе?
12. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

x3-3x2-24x+a=0  имеет единственный корень.

13. При каком наименьшем значении a уравнение   имеет ровно 2 корня?
14. При каком наименьшем значении а уравнение - х3 - 3х2 + 8 - а = 0 имеет ровно два корня?
15. Найдите все значения параметра р, при которых уравнение
    р·ctg2 х + 2sin x + р = 3 имеет хотя бы один корень.
16. Найдите  все  значения  параметра р, при  которых  уравнение
    4sin3 х + 3cos 2х +р = 0 не имеет корней.
17. Найдите все значения параметра p, при которых уравнение

не имеет корней.

18. Сравните числа  π√10  и  (√10)π .

Ответы:

1. 8+24+20
2. 12+16+14
3. -7
4. 80
5. 0.5
7. 4
8. 45км
13. pЄ(-∞;-3)(7;+∞)
14. π√10  <  (√10)π

Имеются три раствора. Первый содержит 80% кислоты и 20% воды, второй-60% соли и 40%воды, третий - по 20%соли и кислоты и 60%воды. Из них необходимо приготовить новый раствор, содержащий 30%воды. Какое наименьшее и какое наибольшее процентное содержание соли может быть в этом новом растворе?

I способ решения

Обозначим за единицу массу нового раствора, х-масса I раствора, у-масса II раствора, z-масса  III раствора, х0, у0, z0, тогда  по условию х+у+z=1 (1)

В новый раствор входит из I раствора 0,2х воды и 0,8х кислоты,

из II раствора 0,4у воды и 0,6у соли,

                           из III раствора 0,2z кислоты; 0,6z воды; 0,2z соли.

Масса воды в новом растворе 1*0,3=0,3

Тогда имеем:
       
Пусть t-содержание соли в новом растворе, тогда t=0,6y+0,2z

Исключим из системы  переменную х

2у+4z=1

у= (3) Т.к. , то 1-4z0; z

t= + 0,2z=0,3(1-4z)+0,2z=0,3-z, где  0z

t=0,3-z – убывающая функция, значит, наименьшее значение t принимает при z=, а наибольшее значение - при t=0.

t(z=0)=0,3 , p=30%

t(z=)=0,3-0,25=0,05; р=5%

Следовательно, 5%р30%

II способ решения

Т.к. в новом растворе 30%воды, а во II-м и в III-м соответственно 40% и 60%, то требуемый раствор невозможно получить только из II и III растворов, значит, масса I–го раствора – ненулевая.

Обозначим массу  I раствора через 1, массу II раствора- х, массу III раствора-у, х0 ,у0.

Тогда масса воды в новом растворе составляет 0,3(1+х+у)=0,2*1+0,4х+0,6у

3(1+х+у)=2+4х+6у         x+3у=1          x=1-3у

Т.к. х0,то 1-3у0, у

Пусть Р - процентное содержание соли в новом растворе, тогда Р=*100%

Р=*100==;

Р=, где 0.

Р’(у)=’==

Т.к. Р’(у)0 на интервале (0;), то функция Р(у) убывает на отрезке [0;]. Следовательно, наименьшее значение Р(у) достигает в точке Р= ,а наибольшее – в точке Р=0.

Р() = = =5,   Р(0)=

Итак,  5%р30%

Ответ: 5%, 30%.

Задача.

Представить число 76 в виде суммы трех положительных чисел так, чтобы сумма квадратов всех слагаемых была наименьшей, а отношение первого числа ко второму было равно 2:3.

Решение.

x>0 – коэффициент пропорциональности

2x  - первое слагаемое.

3x – второе слагаемое.

76-2x-3x=76-5x – третье слагаемое, 76-5x> 0, x<15,2.

Сумма квадратов этих трех чисел равна  

  (2x)2+(3x)2+(76-5x)2 = 38x2-760x+76

Сумма квадратов  трех чисел будет наименьшей при том значении x, при котором функция  f(x)= 38x2-760x+76  на интервале(0;15,2) достигает своего наименьшего значения. f ' (x)=76x-760=76(x-10), f ' (x)=0 при x=10.

Эта функция принимает наименьшее значение на промежутке (0;15,2) при x=10, т.к. эта точка является точкой минимума и единственной точкой экстремума функции f(x).

[ Или:  Сумма квадратов этих трех чисел равна  

 (2x)2+(3x)2+(76-5x)2 = 38x2-760x+76 = 38(x2-20x+152)=38((x-10)2+52).

Сумма квадратов  трех чисел будет наименьшей при том значении x, при котором функция  f(x)=38((x-10)2 +52)  на интервале(0;15,2) достигает своего наименьшего значения. Для любого xЄR  эта функция принимает наименьшее значение только при x=10.

Т.к. 10Є(0;15,2), то на промежутке (0;15,2) существует единственная точка x=10, в которой функция достигает своего наименьшего значения.]

Следовательно, число 76 можно единственным образом представить в виде суммы согласно условиям задачи так: 76=20+30+26.

Ответ:  76=20+30+26.

Задача. В пирамиде SABC ребра SA и BC перпендикулярны,SA =5,BC=6. Определить наибольшую площадь сечения пирамиды плоскостью, параллельной  прямым  SA и BC.

Решение.

Т.к. через ребро AS, параллельное плоскости сечения, проходят плоскости SAB и SAC, пересекающие плоскость сечения по прямым KN и LM, то KN и LM параллельны AS. Тогда KN || LM .

Аналогично доказывается, что KL||MN.

Следовательно, четырехугольник MNKL является параллелограммом, а так как  SA и BC перпендикулярны по условию задачи, то этот параллелограмм является прямоугольником и его площадь равна MN∙NK.

Обозначим x=MN, y=NK. Тогда 0=;    ;   .

Аналогично из подобия треугольников NBK и ABS следует, что .
Теперь из равенства  выразим y  через x:

Выразим площадь сечения через x: S = xy = , где 02 достигает своего наибольшего значения на интервале (0;6).             [6x-x2 =9–(x-3)2]

Функция f(x)= 9 – (x-3)2  достигает наибольшего значения в точке x0=3, лежащей на интервале (0;6).

Следовательно, наибольшая площадь сечения равна =7,5.

Ответ: 7,5.

Этапы решения задачи на максимум и минимум

1. Ввести переменную x, от значения которой зависит исследуемая величина, которая согласно условию задачи принимает наибольшее (наименьшее) значение.
2. Определить границы изменения переменной x–промежуток x.
3. Выразить через x величину, которая согласно условию задачи принимает наибольшее (наименьшее) значение (получить функцию f(x)).
4. Исследовать функцию f(x), заданную на x, найти ее критические точки, точки локального максимума (минимума).
5. Объяснить, почему в точке локального максимума (минимума) функция принимает наибольшее (наименьшее) значение.
6. Интерпретировать результаты исследования функции f(x) с точки зрения решаемой задачи.

Этапы решения задачи на максимум и минимум

1. Ввести переменную x, от значения которой зависит исследуемая величина - та, которая согласно условию задачи принимает наибольшее (наименьшее) значение.
2. Определить границы изменения переменной x–промежуток x.
3. Выразить через x величину, которая согласно условию задачи принимает наибольшее (наименьшее) значение (получить функцию f(x)).
4. Исследовать функцию f(x), заданную на x, найти ее критические точки, точки локального максимума (минимума).
5. Объяснить, почему в точке локального максимума (минимума) функция принимает наибольшее (наименьшее) значение.
6. Интерпретировать результаты исследования функции f(x) с точки зрения решаемой задачи.