Урок в 11 классе "Максимум и минимум функции."
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

Тема урока: Максимум и минимум функции.

Цели:  изучить понятие максимума и минимума функции;

            Составить алгоритм нахождения максимального и минимального     значения функции.

Мотивация:  на успешность подготовки к ЕГЭ по математике.

                                             Ход  урока.

1. Организационный момент.  

Русский математик XIX века Чебышев говорил , что  « особенную важность имеют методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды.»

2.  Подготовка к изучению новой темы.

1. При исследовании поведения функции вблизи точки удобно пользоваться понятием окрестности.

Окрестностью точки а называется  любой интервал , содержащий эту точку.

Определение.  Точка х0 называется точкой  максимума функции f(х), если существует  такая окрестность точки х, что для всех х≠х0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)0).

Определение. Точка х0 называется точкой  минимума функции f(х), если существует  такая окрестность точки х, что для всех х≠х0 из этой окрестности выполняется неравенство   f(x)> f(x0).

                                                                -7-

Изучая график можно прийти к выводу, что наиболее «заметными» точками области определения являются какие точки Х, в которых возрастание функции сменяется убыванием (х=-6; х=2; х=7), или, наоборот убывание сменяется возрастанием (х=-7,5; х=-1,5; х=4). Эти точки называются соответственно точками  максимума хmax=-6  хmax=2  хmax=7 и минимума хmin=-7,5; хmin=2; хmin=7.

  Точку отрезка [а;в], в которой функция достигает наибольшего значения на отрезке называют точкой максимума на отрезке.

Значение функции в этой точке и есть максимум функции на отрезке.

Точку отрезка [а;в], в которой функция достигает наименьшего значения на отрезке называют точкой минимума на отрезке.

Значение функции в этой точке и есть минимум функции на отрезке.

 Названия и обозначения максимума и минимума происходит от латинских слов maximum ( наибольшее)   minimum ( наименьшее).

2. На рисунке изображён график непрерывной функции на отрезке [а;в]
3. 

2,5 – точка максимума на отрезке [-3;5] .

0– точка минимума на отрезке [-3;5] .

Для точек максимума и минимума принято общее название . Их называют точками экстремума: хmax и хmin.

Значения функции в этих точках называют соответственно максимума и минимума  функции уmax,  ymin.

4. Пусть надо найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [а;в]  и имеющей производную на интервале (а,в).  Важную роль при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции , при построении графика играют критические точки.

Определение. Внутренние точки области определения , в которых производная равна нулю или не существуют называются критическими точками.

5. Найти критические точки функции

№5.6 а), в), №5.7 а),в).

№5.6 а) у= 2х3-3х2 [-3;3] .

                 у ʹ=6х2-6х   у ʹ=0  х= 0, х=1- критические точки

            в) у=3х4+х3+7  [-3;2]

           у ʹ=12х3+3х2    у ʹ=0  х=0, х=-1 –критические точки

         №5.7 а) у=   [-1;1]

                    у ʹ=    у ʹ=0  х=0 производная не существует, следовательно

                                 х=0 критическая точка

        6) В ЕГЭ В11 нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции

• Найти критические точки функции на  интервале (а,в);
• Вычислить значения функции в найденных точках, принадлежащих интервалу (а,в);
• Вычислить значения функции на концах отрезка, т.е. в точках х=а, х=в;
• Среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Замечания.

• Если функция у=f(x) на [а;в], имеет точку максимума         (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее или наименьшее значение.
• Если функция у=f(x) на [а;в] не имеет критических точек, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее на другом.

6. Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=3х2+4х3+1 на отрезке    [-2;1] .   (Решает учитель)

fʹʹ(x)=(3х2+4х3+1) ʹ=6х+12х2.    Для любого хЄR  найдем производную  f(x)

                                         fʹʹ(x)=0

                                                                           6х+12х2=0

                                                                    Х( 6+12х)=0

                                                                    Х=0 или 6+12х=0

                                                                                                          Х= -  

Х=0 и х= -  критические точки,   принадлежат заданному отрезку.

                                                                                       0Є[-2;1],   -  Є[-2;1],  

Найдем значения функции в заданных точках.  

      f(0)=1

      f(-  =1,25

      f(-2)=-11

      f(1)=8          сравнив значения функций,  выбираем наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

max f(x)= f(1) =8          

min f(x)= f(-2)=-11

Ответ : 8,11.

7. Работа с классом.( Ученики под руководством учителя решают примеры.)

А)  Найдите наибольшее значение функции у=2,7е3х-х-4 на отрезке [1;3]

Решение : Найдем производную функции   для любого хЄR

У'=8,1х е3х-х-4(2-х).

 Тогда у'=0 в точках х=0,  х=2, из которых только точка х=2 принадлежит отрезку [1;3]. Следовательно , на этом отрезке функция имеет единственную критическую точку х=2.

Сравнив три числа у(1) =≈0,37    у(2)= 2,7     у(3) ≈0,05    найдем максимум  у=2,7

Б) найдите наименьшее значение функции у=3cosх-5х++9 на отрезке [0].

Решение. Найдем производную функции   для любого хЄR  

             У'=-3sinх -5            тогда      У'=0     -3sinх -5=0  уравнение не имеет решений, следовательно критических точек нет и наименьшее значение

 функция принимает на одном из своих концов . Найдем значение функции на концах отрезка.

У[0]=

У(0)=12.  Следовательно,  наименьшее значение равно 12.

В)   Найдите наименьшее значение функции у= 4х-ln|х+8|4  на отрезке [0].

             У'=4-    производная не существует х=-8  , но х=-8 не принадлежит данному промежутку.

Х=-9, х=-7 критические точки х=-9 не  принадлежит данному промежутку.

У(-7)= -28   У(-7,5)=30- ln0,54    у(0)= - ln84

Наименьшее значение равно-28

Г)    № 5.10 а) в)  ( для тех кто работает быстро, за каждый верно выполненный пример ученик получает +, три + «5» в журнал)

       №5.11 а)в)

Домашнее задание 5.6 б), г), №5.7 б),г). № 5.10 б) г) №5.11 б)г)

Найти наибольшее значение функции у= 12 cosх+6х-2+6 на отрезке [0;].

                        Тема урока: Максимум и минимум функции.

Цели: закрепить навык нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке путем решения разнообразных задач.                                

                                       Ход урока.

1. Проверка домашнего задания.

1. №5.6  б) f(х) =5х3-15х на отрезке [-2;2]

                 f' (х) =15х2 -15    f(х) =0  х=1 х=-1 критические точки

            г) у=х4-4х2     на отрезке [-4;4]

                у'=4х3 -8х        у'=0  х1=0 х2= х=- критические точки

№ 5.7 б)  у=   на отрезке

                   У'=               у'=0   х=0 производная не существует, следовательно,  х=0 критическая точка

             г) у= 2 -х          на промежутке (0; 2]

                   У'=    у'=0 х=0 производная не существует, следовательно

                                                Х=0 критическая точка.

№ 5.8 б) у=ех-хе на отрезке [-2;2]

                 У'= ех-х     у'=0  ех-е=0

                                              Х=1

             г) у= cos2х +х  на отрезке  [- π; π]

               у'= -2sin 2х+1   у'=0  -2sin 2х+1=0  

                                                       х= (-1)к +к, кЄZ

                                                                     х=   ;   π   ;     Є [- π; π]

№ 5.10 б) у= х3+ 3х  на отрезке [-1;2]

                    У'= 3х2+3  у=0             3х2+3=0

                                                             Критических точек нет , значит функция достигает свое наибольшее и наименьшее значение на концах отрезка.

У(-1)=-4

У(2)=14      Г) у= х3- 3х  на отрезке [-1;2]

                                 У'=3х2-3               у=0             3х2-3=0

                                             Х=-1   х=1    -1;1    Є  [-1;2]

                      У(-1)=0  у(3)=18  у(1)=-2  у(-2)=-2

Наибольшее значение 18, наименьшее значение -2.

№ 5.11  б)  наибольшее значение 3, наименьшее значение -3.

2. (Два ученика на обратной стороне доски)

Взять производные функций

Cos3х,   ех,    (х-14)ех-13, ln(2х+3), tg2х

  Класс делает в тетрадях и потом проверяем.

3. Повторение.

• Верно ли , что если функция у= f(x) непрерывна на отрезке[а;в] , то существуют  точки этого отрезка, в которых функция принимает свое наибольшее и наименьшее значение. (да)
• Какую точку отрезка [а;в] называют точкой максимума и минимума функции у= f(x); точкой минимума функции у= f(x).
• Как называются значения функции в этих точках?
• Какие точки отрезка [а;в]  называются критическими точками функции? Как найти эти точки?
•  Как найти максимум и минимум функции на отрезке?

Работа по графику .  

 Указать точки максимума и минимума функции.

Назвать максимум и минимум функции на отрезке.

Работа с классом.

1. Найдите наибольшее значение функции у=-х2 +10х на отрезке [0;7].

( У(0)=0, у(7)=21, у(15)=25)

2. Найдите наименьшее значение функции у=(х-21)ех-20 на отрезке

   [19;21].

       У(19)=     у(20)=-1    у(21)=0

3. Найдите наибольшее значение функции  у= 7 cosх+7х-на отрезке  [0;].

4. У() =16   у(0)= 7-  +9   у(= 

5. Аналогично определяется максимум и минимум функции на интервале и полуинтервале.

                                                    -14-

                                                                  Хmax=-5,5   ymin=4

                                                                 Хmin- нет, т.к. х=3 не входит в (-5,5;3)

Работа с классом.  ( у доски работает ученик)

Найти наибольшее значение функции у= -2х2  на промежутке (-2;2).

Решение.

У`= х3-4х   у=0   х=0  х=2   х=-2 критические точки , но х=2 и х=-2 не входят в данный промежуток.

Найдем значение функции  у(0)=0,  а  у= (х2-8) 0 при каждом х, таком , что 0х|, то на интервале (-2;2) функция имеет максимум в точке х=0.  На интервале (-2;2) функция не имеет минимума, так как  у=   -2х2   -4при каждом х, таком, что |х|2 и -2 не принадлежат              (-2;2),  следовательно у=0 максимум функции.

Обучающая самостоятельная работа.

1. найдите наибольшее значение функции у=(х-8)ех-7 на отрезке [6;8].
2. найдите наибольшее значение функции у=7х-6sinх+8 на отрезке [].

        3)  найти наименьшее значение функции            у=х2-3х+lnх+3        на отрезке   [;]

   На задания даётся 15 минут.  С помощью проектора ученики проверяют решение.

Решение.

1.  у=(х-8)ех-7  на отрезке[6;8].

                      у'=ех-7(х-7)   у'=0   х=7 критическая точка

                     у(6)=                у(7)=-1          у(8)=0

                      наибольшее значение функции равно 0

2. у=7х-6sinх+8 на отрезке [].

у'=7- 6cosх      у'=0   6cosх=7   х= критических точек нет

у(-=14   у(0)=8

наибольшее значение функции равно 8

              3)  у=х2-3х+lnх+3        на отрезке   [;]      ОДЗ: х

у'=2х-3+      у'=0     2х2-3х+1=0

                                       х=1   х=                не принадлежит [;]      

у(1)=1   у()= ln+3      у()= ln +3

 наименьшее значение функции равно1.  

Домашнее задание: рассмотреть из открытого банка заданий -  5 функций.