Несколько способов решения одной задачи
статья (алгебра, 8 класс) по теме

Несколько способов решения одной олимпиадной задачи.

                Сайфутдинова Ф. Ф. – учитель математики

МБОУ  "Лицей №2 г.Мамадыш"  .

1. Два пешехода вышли на рассвете. Каждый шел с постоянной скоростью. Один шел из А в В, другой из В в А. Они встретились в полдень и не прекращая движения, пришли один в В в 4 часа, а другой в А в 9 часов вечера. В котором часу в тот день был рассвет?

 На математическом кружке мы рассмотрели несколько способов решения этой задачи, с которыми хочу поделиться.

1-й способ.  Он основан на том, что на одном и том же участке пути скорость и время обратно пропорциональны.

   Пусть скорость первого пешехода в х раз больше скорости второго пешехода. Тогда на одном и том же участке пути первый пешеход тратит в х раз меньше времени чем второй, а второй – в х раз больше чем первый. До встречи они шли одинаковое время t, поэтому

· t = 4х · t. Отсюда х² = .

( не подходит по условию),      .

Итак, до встречи они шли   9 :  = 6 ч, т.е. они вышли в 6 часов.

2-й способ. Решим с помощью составления дробно – рационального уравнения.

   Пусть два пешехода шли до встречи х часов. Тогда на весь путь первый пешеход затратил (х + 4)ч, а второй (х + 9)ч. Весь путь от А до В примем за единицу. Тогда первый пешеход проходил в час    , второй  , а вместе    всего пути.

Составим уравнение

 +   =

 =

2х² + 13х = х² + 13х + 36

х² = 36

 (не подходит),  = 6;   Итак, до встречи они шли 6 часов.

3-й способ. Решим с помощью составления системы уравнений.

   Пусть   и  – скорость и путь первого пешехода,  и  - скорость и путь второго пешехода до встречи.                    

 Тогда получим систему  уравнений :

Разделив первое уравнение на второе, получим

    :    =   ,         ·     =  

Учитывая первое уравнение системы и заменив     через х, получим х² = , отсюда х = .

Найдем время до встречи, которое равно:   · 4 = 1,5 · 4 = 6 часов.

4-й способ. Решим графическим способом.

  Введем прямоугольную систему координат. По горизонтальной оси отметим время (t), по вертикальной оси – расстояние (s).  A и В – пункты, из которых отправились пешеходы;  АD и BC – графики движения пешеходов с постоянными скоростями.

Координаты точки  К – это время и место встречи пешеходов в полдень.

∆DKH ~ ∆AKE. Отсюда имеем:  = .

∆BHK ~ ∆CEK. Отсюда имеем: = ,

т.е.    = ;      =  .

х² = 36, откуда  х = 6, т.е. 6 часов прошло

до встречи.