Исследовательская работа по математике учащегося 6 класса: "23 способа решения одной задачи".
методическая разработка по математике на тему

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БАШКОРТОСТАН

ОТДЕЛ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ МР ЕРМЕКЕЕВСКИЙ РАЙОН

МОКУ ООШ с.Кулбаево

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ  РАБОТА

23 способа решения одной задачи

Номинация «Математика»

                                                                               Хабибрахманов Динар Рафизович

учащийся 6 класса

МОКУ ООШ с.Кулбаево

 Руководитель

Хабибрахманова Римма Расимовна

учитель математики

МОКУ ООШ с.Кулбаево

с. Кулбаево

2015 г.

Содержание

1. Введение …………………………………………………………..3
2. Основная часть ……………………………………………………5
3. Заключение ………………………………………………………..10
4. Список использованной литературы ……………………………
5. Приложение ………………………………………………………

I. Введение. В школьном курсе математики обычно используются два основных способа решения задач: арифметический и алгебраический, а так же комбинированный. Однако, кроме этих способов, рассматриваются еще и спо-соб подбора, графический способ решения, практический способ. В принципе, все эти способы решения имеют равные права на применение их при решении задач, однако, арифметический и алгебраический являются наиболее универ-сальными, так как не все задачи можно корректно решить остальными спосо-бами.

Решить задачу арифметическим методом –  значит найти ответ на тре-бование задачи посредством выполнения арифметических действий над данны-ми в задаче числами. Одну и ту же задачу можно решить различными арифме-тическими способами. Они отличаются друг от друга логикой рассуждений  в процессе решения задачи. Этот способ решения задач имеет важное методиче-ское значение. Прочное усвоение методов решения задач арифметически поз-воляет подготовить учащихся к осознанному решению задач составлением уравнений.

Решить задачу алгебраическим методом – значит найти ответ на требование задачи  путем составления  и решения уравнения или системы уравнений.

Решениям задач уделяется достаточно много внимания в V — IX классах. Умению решать задачи, современный человек независимо от рода деятельности и уровня образования нуждается непрерывно. Без умения решать задачи  нельзя обойтись ни в финансовом анализе, ни в статистике. Чтобы начислить зарплату работнику нужно знать процент налоговых отчислений; чтобы открыть депо-зитный счет в сбербанке мы интересуемся размером процентных начислений на сумму вклада; чтобы знать приблизительный рост цен в будущем году, мы ин-тересуемся процентом инфляции. В торговле понятие процент используется наиболее часто: скидки, наценки, уценки, прибыль, кредит, налог на прибыль и т.д. Россию захватил «кредитный бум»: в наше время люди все чаще берут кредит на приобретение жилья, автомобиля, потребительские кредиты и кредит на образование.

Кроме того, очень часто встречаются  задачи, в которых  нужно уметь решать задачи не только на проценты, но и другие.

Учитывая актуальность данной темы, нами проведена данная исследовательская работа.

На уроках я не раз сталкивался  с ситуацией, когда одну и ту же задачу я и мои одноклассники решали совсем по-разному.  У меня  возникал вопрос, а сколькими способами можно решить одну и ту же задачу? А зачем мне нужно знать разные способы решения? На это можно ответить следующее:

• Изучить теоретический материал по данной теме.
• Проанализировать тексты задач из учебника.
• Найти наиболее рациональное решение.
• Поиск рационального (краткого, «красивого») решения – это увлекательное занятие и неплохая «зарядка для ума».

II. Основная часть

 2.1. Способы решения текстовых задач.

Общепризнанно, что для выработки у учащихся умения решать задачи, важна всесторонняя работа над одной задачей, в частности, и решение её различными способами.

Следует отметить, что решение задач различными способами позволяет убедиться в правильности решения задачи даёт возможность глубже раскрыть зависимости между величинами, рассмотренными в задаче.Возможность ре-шения некоторых задач разными способами основана на различных свойствах действий или вытекающих из них правил.

При решении задач различными способами ученик привлекает дополни-тельную информацию, поскольку он непроизвольно выполняет в большем чис-ле выборы суждений, хода мысли из нескольких возможных; рассматривается один и тот же вопрос с разных точек зрения. При этом полнее используется ак-тивность учащихся, прочнее и сознательнее запоминается материал. Как прави-ло, различными способами решается  те из задач, где этого требует вопрос, по-этому такая работа носит эпизодический характер.

В качестве основных в математике различают арифметический и алгебра-ический способы решения задач. При арифметическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате выполнения арифметических действий над чис-лами.

При алгебраическом способе ответ на вопрос задачи находится в резуль-тате составления и решения уравнения.

Но надо отметить, что в начальных классах алгебраический способ не применяется для решения задач.

Опираясь только на чертёж, легко можно дать ответ на вопрос задачи. Такой способ решения называется графическим.

До настоящего времени вопрос о графическом способе решения арифме-тических задач не нашёл должного применения в школьной практике. Графический способ даёт возможность более тесно установить связь между арифметическим и геометрическим материалами, развить функциональное мышление детей.

Графический способ даёт иногда возможность ответить на вопрос такой задачи, которую дети ещё не могут решить арифметическим способом и кото-рую можно предлагать во внеклассной работе.

Решение задач различными способами – дело непростое, требуетглубо-ких математических знаний, умения отыскивать наиболее рациональные ре-шения.

2.2. Этапы решения задач.

Решение текстовых задач – это сложная деятельность, содержание которой зависит как от конкретной задачи, так и от умений решающего. Тем не менее, в ней можно выделить несколько этапов:

1.   ознакомление с содержанием задачи;

2.   поиск решения задачи;

3.   выполнение решения задачи;

4.   проверка решения задачи.

Выделенные этапы органически связанны между собой, и работа на каж-дом этапе ведётся на этой ступени преимущественно под руководством учи-теля.

Ознакомиться с содержанием задачи – значит, прочитав её, представить жизненную ситуацию, отраженную в задаче. Читаем задачу, как правило, мы, дети.Очень важно правильно научиться  читать задачу: делать ударение на числовых данных и на словах, которые определяют выбор действия, таких, как «было», «уехали», «осталось», «стало поровну» и т.п., выделять интонацией вопрос задачи.

Задачу читаем один – два раза, а иногда и большее число раз, но посте-пенно надо научиться к запоминанию задачи с одного чтения, так как в этом случае мы будем сразу читать задачу более сосредоточенно.

После ознакомления с содержанием задачи можно приступить к поиску её решения: мы должны выделить величины, входящие в задачу; данные и иско-мые числа, установить связи между данными и искомым и на этой основе вы-брать соответствующие арифметические действия.

Выделяются несколько приёмов поиска решения задачи.

Иллюстрация задачи – это использование средств наглядности для выяв-ления величин, входящих в задачу, данных и искомых чисел, а также для уста-новления связей между ними.Иллюстрация может быть предметной исхема-тической. В первом случае используются для иллюстрации либо предметы, ли-бо рисунки предметов, о которых идёт речь в задаче: с их помощью иллюстри-руется конкретное содержание задачи.

Начиная с 1 класса, используется и схематическая – это краткая запись задачи. В краткой записи фиксируются в удобной форме величины, числа данные и искомые, а также некоторые слова, показывающие, о чём говорится в задаче:«было», «положим», «стало» и т.п., и слова, обозначающие отношения: «больше», «меньше», «одинаковая» и т.п.

Дети могут установить связи между данными и искомым и выбрать соот-ветствующее арифметическое действие только с помощью учителя. В этом

случае, учитель проводит специальную беседу, которая называется разбором задачи. При разборе задачи нового вида учитель должен в каждом отдельном случае поставить детям вопросы так, чтобы навести их на правильный или осознанный выбор арифметических действий.

 Очень важно чтобы вопросы не были подсказывающими, а вели бы к са-мостоятельномунахождению пути решения задачи.

Разбор задачи заканчивается составлением плана решения.  План решения – это объяснение того, что узнаём, выполнив то или иное действие, и указания по порядку арифметических действий.

Решение задачи может выполняться устно и письменно. При устном ре-шении соответствующие арифметические действия и пояснения выполняются устно.            

И так, показываем несколько способов решения одной задачи.

Задача: В трех ящиках 127 кг яблок. Когда из первого ящика взяли 21 кг, из второго – 9 кг, а из третьего – 7 кг, во всех ящиках яблок стало поровну. Сколько килограммов яблок было в первом ящике первоначально?

1. Арифметический способ решения задачи.

                         Решение:

1 случай:  краткая запись задачи.

             Было                  взяли            осталось

 поровну

2 случай: схематический чертеж задачи.

Что же служит теоретической основой разных способов решения этой задачи?

Чтобы узнать, сколько килограммов яблок осталось во всех трех ящиках, нужно от числа, выражающего исходное количество яблок, отнять число, выражающее количество яблок, которое взяли из трех ящиков. Чтобы узнать, сколько всего яблок взяли, надо сложить три числа, т.е. найти сумму 21+ 9 + 7. А это можно сделать по-разному, преобразовывая данное выражение в тождественно равное на основе арифметических действий:(21 + 9) +7 = (21 + 7) + 9 = (7 + 9) + 21.

 Эти преобразования и определили три способа решения задачи, которые легко найти, используя для нахождения остатка яблок в трех ящиках буквы. Обозначим буквой  m – количество яблок во всех трех корзинах, буквами a, b, c – количество яблок, взятого из первого, второго и третьего ящиков соответственно, а буквой p – остаток яблок в трех ящиках, тогда получим:  

p  =m – (a+  b + c).

 Найти значение последнего выражения можно шестнадцатью способами, используя свойства сложения и вычитания.Во всех случаях сначала мы опре-деляем, сколько всего яблок осталось после того, когда из каждого ящика взяли определенное число килограммов.

(см. приложение   стр. 12-16)

3 случай: графическая модель задачи.

 В этих вариантах решения сначала надо определить, сколько яблок было бы во всех трех ящиках первоначально, если бы в каждом из них яблок было столько, сколько в первом ящике. (см. приложение стр. 16-18)

2. Алгебраический способ решения задачи.

(см. приложение   стр. 18)

Таким образом, я  получил 23 способа решения данной задачи.

III. Заключение: с математической точки зрения раздел способов решения задач  в школьной математике является простейшим. Однако в текстовых задачах встречаются такие задачи, которые требуют умение применять различные способы их решения.

Научить быстро  решать задачи, способствует применению различных способов  их решения.В результате работы над проектом, используя литературы и свои  знания по математике из курса 5-6 классов, я смог получить 23 способа решения одной и той же задачи.  Считаю, что материалы моей работы будут интересными для других учащихся. Они могут быть использованы как на уроке, так и для проведения внеклассных мероприятий по математике.

В процессе познания действительности математика играет всю возрастающую роль. Сегодня нет такой области знаний, где в той или иной степени не использовались бы математические понятия и методы. Проблемы, решение которых раньше считалось невозможным, успешно решаются благодаря применению математики, тем самым расширяются возможности научного познания.

IV. Список использованной  литературы 

1. Россия. Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона. — Лениздат, 1991.

2. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 4—8 кл. сред. шк. — 5-е изд. — М.: Просвещение, 1988.

3. А.Г. Мордкович  «Математика» 5, 6 класс. М.: Просвещение, 2012 г.

Приложение

Найти значение последнего выражения можно шестнадцатью способами, используя свойства сложения и вычитания.

1. m – ((a+  b) + c)

2. m – (a+ ( b + c))

3. m – (b + (a + c))

4. m – (a+  b + c)

5. m – a –  b – c

6. m – a –  c – b

7. m – b – a– c

8. m – b – c – a

9. m – c – a – b

10. m – c – b –  a  

11.  m –a –  (b + c)

12.  m – b –  (a + c)

13.  m – c –  (a + b)

14. m – ( a + b) –  c

15 m – (a + c) –  b

16. m – (b + c) –  a

1 способ

1) 21 + 9 = 30 (кг) – взяли яблок  из I и II ящиков

2) 30 + 7 = 37 (кг) – взяли яблок из трех ящиков

3) 127 – 37 = 90 (кг) – осталось яблок в трех ящиках

4) 90 : 3 = 30 (кг) – осталось яблок в каждом ящике

5) 30 + 21 = 51 (кг) – было яблок в первом ящике первоначально

2 способ

1) 21 +7 = 28 (кг) – взяли яблок из I и III ящиков

2) 28 + 9 = 37 (кг) – взяли яблок из трех ящиков

3) 127 – 37 = 90 (кг) – осталось яблок в трех ящиках

4) 90 : 3 = 30 (кг) – осталось яблок в каждом ящике

5) 30 + 21 = 51 (кг) – было яблок в первом ящике первоначально

  3 способ

1) 9 + 7 = 16 (кг) – взяли яблок из II и III ящиков

2) 16 + 21 = 37 (кг) – взяли яблок из трех ящиков

3) 127 – 37 = 90 (кг) – осталось яблок в трех ящиках

4) 90 : 3 = 30 (кг) – осталось яблок в каждом ящике

5) 30 + 21 = 51 (кг) – было яблок в первом ящике первоначально

4 способ

1) 21 + 9 + 7 = 37 (кг) – взяли яблок из трех ящиков

2) 127 – 37 = 90 (кг) – осталось яблок в трех ящиках

3) 90 : 3 = 30 (кг) – осталось яблок в каждом ящике

4) 30 + 21 = 51 (кг) – было яблок в первом ящике первоначально

   5 способ

1) 127 – 21 = 106 (кг) – осталось яблок в трех ящиках после взятия из первого ящика

2) 106 – 9 = 97 (кг) – осталось яблок в трех ящиках после взятия из первого и второго ящиков

3) 97 – 7 = 90 (кг) –  осталось яблок в трех ящиках

4) 90 : 3 = 30 (кг) – осталось яблок в каждом ящике

5) 30 + 21 = 51 (кг) – было яблок в первом ящике первоначально

6 способ

1) 127 – 21 = 106 (кг) –

2) 106 – 7 = 99 (кг) –

3) 99 – 9 = 90 (кг) – осталось яблок в трех ящиках

4) 90 : 3 = 30 (кг) – осталось яблок в каждом ящике

5) 30 + 21 = 51 (кг) – было яблок в первом ящике первоначально

7 способ

1) 127 – 9 = 118 (кг) – осталось яблок в трех ящиках после взятия из второго ящика

2) 118 – 21 = 97 (кг) – осталось яблок в трех ящиках после взятия из второго и первого ящиков

3) 97 – 7 = 90 (кг) – осталось яблок в трех ящиках

4) 90 : 3 = 30 (кг) – осталось яблок в каждом ящике

5) 30 + 21 = 51 (кг) – было яблок в первом ящике первоначально

8 способ

1) 127 – 9 = 118 (кг) – осталось яблок в трех ящиках после взятия из второго ящика

2) 118 – 7 = 111 (кг) – осталось яблок в трех ящиках после взятия из второго и третьего ящиков

3) 111 – 21 = 90 (кг) –  осталось яблок в трех ящиках

4) 90 : 3 = 30 (кг) – осталось яблок в каждом ящике

5) 30 + 21 = 51 (кг) – было яблок в первом ящике первоначально

9 способ

1) 127 – 7 = 120 (кг) – осталось яблок в трех ящиках после взятия из третьего ящика

2) 120 – 21 = 99 (кг) – осталось яблок в трех ящиках после взятия из третьего и первого ящиков

3) 99 – 9 = 90 (кг) –  осталось яблок в трех ящиках

4) 90 : 3 = 30 (кг) – осталось яблок в каждом ящике

5) 30 + 21 = 51 (кг) – было яблок в первом ящике первоначально

10 способ

1) 127 – 7 = 120 (кг) – осталось яблок в трех ящиках после взятия из третьего ящика

2) 120 – 9 = 111 (кг) – осталось яблок в трех ящиках после взятия из третьего и второго ящика

3) 111 – 21 = 90 (кг) –  осталось яблок в трех ящиках

4) 90 : 3 = 30 (кг) – осталось яблок в каждом ящике

5) 30 + 21 = 51 (кг) – было яблок в первом ящике первоначально

11 способ

1) 9 + 7 = 16 (кг) – взяли яблок из второго и третьего ящиков

2) 127 – 21 = 106 (кг) – осталось яблок в трех ящиках после взятия из первого ящика

3) 106 – 16 = 90 (кг) –  осталось яблок в трех ящиках

4) 90 : 3 = 30 (кг) – осталось яблок в трех ящике  

5) 30 + 21 = 51 (кг) – было яблок в первом ящике первоначально

12 способ

1) 21 + 7 = 28 (кг) – взяли яблок из первого и третьего ящиков

2) 127 – 9 = 118 (кг) – осталось яблок в трех ящиках после взятия из второго ящика

3) 118 – 28 = 90 (кг) –  осталось яблок в трех ящиках

4) 90 : 3 = 30 (кг) – осталось яблок в каждом ящике

5) 30 + 21 = 51 (кг) – было яблок в первом ящике первоначально

13 способ

1) 21 + 9 = 30 (кг) – взяли яблок из первого и второго ящиков

2) 127 –  7 = 120 (кг) – осталось яблок в трех ящиках после взятия из третьего ящика

3) 120 – 30 = 90 (кг) –  осталось яблок в трех ящике

4) 90 : 3 = 30 (кг) – осталось яблок в каждом ящике

5) 30 + 21 = 51 (кг) – было яблок в первом ящике первоначально

14 способ

1) 21 + 9 = 30 (кг) – взяли яблок из первого и второго ящиков

2) 127 –  30 = 97 (кг) – осталось яблок в трех ящиках после взятия из первого и второго ящиков 3) 97 – 7 = 90 (кг) – осталось яблок в трех ящике  

4) 90 : 3 = 30 (кг) – осталось яблок в каждом ящике

5) 30 + 21 = 51 (кг) – было яблок в первом ящике первоначально

15 способ

1) 21 + 7 = 28 (кг) – взяли яблок из первого и третьего ящиков

2) 127 – 28 = 99 (кг) – осталось яблок в трех ящиках после взятия из первого и третьего ящиков

3) 99 – 9 = 90 (кг) –  осталось яблок в трех ящике

4) 90 : 3 = 30 (кг) – осталось яблок в каждом ящике

5) 30 + 21 = 51 (кг) – было яблок в первом ящике первоначально

16 способ

1) 9 + 7 = 16 (кг) – взяли яблок из второго и третьего ящиков

2) 127 – 16 = 111 (кг) –  осталось яблок в трех ящиках после взятия из второго и третьего ящиков                                            

3) 111 – 21 = 90 (кг) – осталось яблок в трех ящиках

4) 90 : 3 = 30 (кг) – осталось яблок в каждом ящике

5) 30 + 21 = 51 (кг) – было яблок в первом ящике первоначально

 Существуют и другие способы решения данной задачи.

17 способ

1) 21 – 9 = 12 (кг ) – добавить во второй ящик, чтобы было яблок одинаково, как в первом ящике

2) 21 – 7 = 14 (кг) – добавить в третий ящик, чтобы было яблок одинаково, как в первом ящике

3) 12 + 14 = 26 (кг) – добавили в два последние ящики

4) 127 + 26 = 153 (кг) – стало в трех ящиках

5) 153 : 3 = 51 (кг) – было яблок в первом ящике первоначально

18 способ

1) 21 – 9 = 12 (кг ) – добавить во второй ящик, чтобы было яблок одинаково, как в первом ящике

2) 21 – 7 = 14 (кг) – добавить в третий ящик, чтобы было яблок одинаково, как в первом ящике

3) 127 + 12= 139 (кг) – стало в трех ящиках после добавления во второй ящик

4) 139 + 14 = 153 (кг) – стало в трех ящиках после добавления во третий ящик

5) 153 : 3 = 51 (кг) – было яблок в первом ящике первоначально

19 способ

1) 21 – 7 = 14 (кг ) – добавить в третий ящик, чтобы было яблок одинаково, как в первом ящике

2) 21 – 9 = 12 (кг) – добавить во второй ящик, чтобы было яблок одинаково, как в первом ящике

3) 12 + 14 = 26 (кг) – добавили в два последние ящики

4) 127 + 26 = 153 (кг) – стало в трех ящиках

5) 153 : 3 = 51 (кг) – было яблок в первом ящике первоначально

20  способ

1) 21 – 7 = 14 (кг ) – добавить в третий ящик, чтобы было яблок одинаково, как в первом ящике

2) 21 – 9 = 12 (кг) – добавить во второй ящик, чтобы было яблок одинаково, как в первом ящике

3) 127 + 12= 139 (кг) – стало в трех ящиках после добавления во второй ящик

4) 139 + 14 = 153 (кг) – стало в трех ящиках

5) 153 : 3 = 51 (кг) – было яблок в первом ящике первоначально

21 способ

1) 21 – 7 = 14 (кг ) – добавить в третий ящик, чтобы было яблок одинаково, как в первом ящике

2) 21 – 9 = 12 (кг) – добавить во второй ящик, чтобы было яблок одинаково, как в первом ящике

3) 127 + 14= 141 (кг) – стало в трех ящиках после добавления в третий ящик

4) 141 + 12 = 153 (кг) – стало в трех ящиках

5) 153 : 3 = 51 (кг) – было яблок в первом ящике первоначально.

Существует еще и алгебраический способ решения этой задачи.

22 способ

Так как в остатке во всех 3 ящиках стало поровну, мы его обозначим через хкг, а до этого в 1 ящике было (х+21) кг, во 2  (х+9) кг и в 3  (х+7) кг яблок. Всего в трех ящиках 127 кг яблок. Имеем уравнение:

(х+21) + (х+9) + (х+7) = 127

3х + 37 = 127

3х = 127 - 37

3х = 90

х = 90 : 3

х = 30

30 (кг) –яблок  осталось в каждом ящике.

30 + 21 = 51 (кг) – яблок было в первом ящике.

Ответ: в первом ящике было 51 кг яблок.

23 способ

Пусть в I ящике было х кг яблок. Из II ящика взяли 9 кг, а это значит на 12 кг меньше, чем в Iящике, т. е. х-(21-9)кг. Из III ящика взяли 7 кг, это значит на 14 кг меньше, чем в I, т. е. х-(21-7)кг. Всего в трех ящиках 127 кг яблок. Имеем уравнение:   х + х-(21-9) + х-(21-7) = 127

                      3х – 26 = 127

                      3х = 153

                      х = 51

Ответ: в 1 ящике было 51 кг яблок.

 Таким образом, мы  получили 23 способа решения данной задачи.

23 способа решения одной задачи

Хабибрахманов Динар, обучающийся 6 классаМОКУ  ООШ с.Кулбаево

Руководитель: Хабибрахманова Р.Р.

Актуальность:поиск  разных способов решения одной и той же задачи – это увлекательное занятие и неплохая «зарядка для ума».Без умения решать задачи  нельзя обойтись ни в финансовом анализе, ни в статистике. Например, чтобы начислить зарплату; чтобы открыть   счет в сбербанке; чтобы знать приблизи-тельный рост цен в будущем году или же самое простое, пойти в магазин и как правильно отовариться и т. д.Жизнь полна задачами разных ситуации. Их всех надо решать. Для этого существуют разные способы их решения.

Цель исследования: сформировать способы решения задачи; развивать любознательность; вызвать интерес к изучению математики. Для достижения этой цели были сформулированы 

задачи:1) развивать умение работать с дополнительной литературой;2) рассмотреть применение разных способов решения в повседневной жизни;3) привитие интереса к изучению математики через рассмотрение рациональных способов решения;4) научиться обобщать полученную информацию.

Гипотеза: повседневная жизнь человека не обходится без решения задач с различными ситуациями. Актуальность и значимость моей работы вижу в том, что будет интереснойдля учащихся и полезной для учителей математики в качестве дополнительного материала при проведении уроков и мероприятий.

Заключение: С математической точки зрения раздел способов решения задач  в школьной математике является простейшим. Однако в текстовых задачах встречаются такие задачи, которые требуют умение применять различные способы их решения.

Научить быстро  решать задачи, способствует применению различных способов  их решения.В результате работы над проектом, используя литературы и свои  знания по математике из курса 5-6 классов, я смог получить 23 способа решения одной и той же задачи.  Считаю, что материалы моей работы будут интересными для других учащихся. Они могут быть использованы как на уроке, так и для проведения внеклассных мероприятий по математике.