Обобщающий урок по теме "Производная"
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

1. Мотивационно-ориентировочная часть

1.1. Активизация знаний и способов действий

  Организационный этап.

        Показатели выполнения психологической задачи этапа:

1. доброжелательный настрой учителя и учащихся;
2. быстрое включение класса в деловой ритм;  
3. полная готовность класса и оборудования к работе.

Учитель акцентирует внимание на том, что производная применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии, экономики и других дисциплин.  Мы с вами займемся на  уроке решением исследовательских задач с применением производной. При актуализации знаний предлагаются задания из ЕГЭ. Провести инструктаж по организации работы на компьютерах

Обучающиеся работают с инструкцией.

1.2. Мотивация, постановка целей урока

 Мы будем искать условия, при которых графики уравнений помогут ответить на вопросы задач. Сообщить тему урока, цель, форму проведения.

Записывают тему урока в тетрадях.

2.Операционно-познавательная часть

2.1. Открытие и формирование новых знаний и способов действий.

Предыдущие уроки были посвящены исследованию свойств функции с помощью производной. Мы с вами строили графики с помощью производной. Постройте график следующей функции:

Учащиеся выполняют построения:

1 ученик на доске в соответствии со схемой построения графиков.

Остальные в тетради.

Перейдем к следующим задачам

Задачи 1-4 индивидуальные задания, которые были выполнены при подготовке к уроку.

Данные задачи составляют содержание задания В-8  ЕГЭ.

Индивидуальные задания:

С помощью программы Advanсed Grapher  строят графики:

1 уч. На интервале (-4,4) определить количество целых точек, в которых производная данной функции положительна

2 уч. Построить график производной данной функции. Найти промежутки убывания данной функции на интервале     (-4,4). Укажите длину наибольшего из них. В какой точке данного промежутка функция принимает наименьшее значение.

3 уч. Построить график функции и касательную к нему в точке х0=3  . Найти значение производной в точке х0.

4уч. Построить график производной данной функции. Найти точки экстремума функции на интервале(-4,4)

Выполняют 4 ученика

 Ученики демонстрируют получившиеся графики на экране и объясняют решения предложенных задач

2.2. Решение исследовательских задач.

Задача 1. Две точки движутся по одной прямой по законам S=t2 и S=t3/2 (t0). Каковы их скорости в момент встречи? В какой момент времени их скорости одинаковы? Постройте графики движения и поясните на графике полученные результаты.

Обсуждение способов решения задачи.   Графиками являются квадратная и кубическая параболы.  Место встречи – точка пересечения графиков. Таких точек две. Условию t0 удовлетворяет t=2.

Мгновенная скорость в момент времени t есть производная S' (t). Найдем S' (t) и S' (t0)  для каждой функции.

Скорости равны в момент времени t, когда равны производные данных функций.

1 ученик строит графики на доске, 2 ученик с использованием компьютера.

Задача 2.

    Высота камня, брошенного вертикально вверх со скоростью v0 и начальной высоты от земли h0 меняется по закону х= h0+ v0 t - gt2/2, где g=10м/с2 – ускорение силы тяжести.

Найдите зависимость скорости камня от времени.

При h0=20м, v0=8м/с. Найдите скорость камня через 2с. Зачем указано значение h0? Через какое время камень упадёт на землю?

На какой высоте скорость обратится в 0?

Обсуждение способов решения задачи.

Составляем уравнение движения:

 х=20+8t-5 t².

Зависимость v(t) =x'(t) =8-10t. Найдем

v (2)=8-20=-12м/с. Знак «-» показывает направление скорости – камень падает вниз (направление противоположное заданной скорости).

Камень упадет на землю х=0. Время найдем решая уравнение 20+8t-5 t²=0.

Скорость будет равна 0, когда камень достигнет максимальной высоты.

Элементы задачи данного типа есть в задании В12 ЕГЭ.

Задача 3.

Дана кубическая функция вида: y=x³+ax²+bx+c
I. Монотонность.
При каком условии (т.е. при каких соотношенях между  a, b, c) функция возрастает на всей числовой прямой?

Чтобы найти промежутки монотонности функции, найдем производную данной функции у'=3х²+2ах+b. Необходимое условие возрастания функции у'>0, значит D/4<0  т.е  а²-3 b<0. Подберите значения коэффициентов a, b, c и проверьте выполнение условий самостоятельно.

Выводы: производная позволяет решать много интересных задач просто, красиво, интересно. Хотя эти же задачи можно решать без применения производной.

Учащиеся высказывают своё мнение.

3.Рефлексивно-оценочный этап

3.1. Осознание и первичное осмысление

Вы успешно справились с поставленными перед вами задачами.  Однако скоро вам предстоит самое важное испытание.  Поэтому в  конце урока мы проведем небольшую самостоятельную работу на решение задач из открытого банка заданий ЕГЭ.   Решение задач    В8.

Обучающие выполняют тест (Приложение)

3.2. Домашнее задание

Известный математик Ян Снядецкий сказал: «Математика - царица всех наук. Её возлюбленный - истина, её наряд - простота и ясность. Дворец этой владычицы окружен тернистыми зарослями, и, чтобы достичь его, каждому приходится пробираться сквозь чащу. Случайный попутчик не обнаружит во дворце ничего привлекательного. Красота его открывается лишь разуму, любящему истину, закалённому в борьбе с трудностями, свидетельствующему о незаурядности и непреодолимой склонности человека к необычно запутанным, но неиссякаемым и возвышенным наслаждениям ума, свойственным самой природе людей».

Оценки обучающихся за урок.

Домашнее задание. Сегодня при решении задач мы увидели применение производной при решении физических задач. Однако производная находит широкое применение в химии, биологии, экономике и других науках. Узнайте об этом. Подготовьте сообщения, презентации о применении производной. Затем инициативная группа оформит собранные материалы в форме проекта.

3.3. Подведение итогов урока

Рефлексия. В начале урока бала поставлена цель:   . Достигнута ли она?

Продолжите фразу:

1. Сегодня на уроке я научился…
2. Сегодня на уроке я повторил…
3. Уроком я  (не) доволен…”

№

На рисунке график производной  функции

Задание

ответ

1

0

a

x

x

y

y = f (x)

Найти угловой коэффициент касательной в точке Х0=2

2

Указать число промежутков возрастания

3

Указать число точек экстремума

4

Указать точку минимума на данном промежутке

5

Сколько существует касательных параллельных прямой

у = -2х+3

6

Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику у=f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

7

Найти длину наибольшего промежутка возрастания функции.