Методическое пособие "Основа математики - теория, 5-6 класс"
методическая разработка по алгебре по теме

Л. В. Фирса, директор МКУ ДПО «Центр развития образования»

Е. С. Ивасенко. Начальник УМО МКУ ДПО «Центр развития образования»

Автор – составитель:

М. В. Ильенко, учитель математики МБОУ СОШ№1

Рецензент:

Т. В. Филобок, учитель математики МБОУ СОШ№1

Методическое пособие разработано для учителей математики 5 – 6 классов.

Теория за 5  класс

Обозначение натуральных чисел

Натуральные числа применяются для счета предметов. Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Такую запись чисел называют десятичной.

Последовательность всех натуральных чисел называют натуральным рядом.

Цифра 0 означает отсутствие единиц данного разряда в десятичной записи числа. Она служит и для обозначения числа «нуль». Это число означает «ни одного».

Нуль не относят к натуральным числам.

Если запись натурального числа состоит  из одного знака – одной цифры, то его называют однозначным. Если запись числа состоит из двух знаков – двух цифр, то его называют двузначным.

Двузначные, трехзначные. Четырехзначные и т.д. числа называют многозначными. Для чтения многозначных чисел их разбивают, начиная справа, на группы по три цифры в каждой (самая левая группа может состоять из одной или двух цифр). Эти группы называют классами.

Отрезок. Длина отрезка. Треугольник

Если к точкам А и В приложить линейку и по ней провести от А к В линию, то получится отрезок АВ. Точки А и В называют концами отрезка АВ.

 Любые две точки можно соединить только одним отрезком.

 Рассмотрим отрезок КМ: точка Е лежит на этом отрезке между точками К и М, а точки О и Р на нем не лежат.

Длину отрезка АВ называют также расстоянием между точками А и В.

Отрезки АВ, ВС и АС вместе составляют треугольник АВС. Их называют сторонами, а точки А, В и С – вершинами треугольника АВС.

Такие фигуры, как треугольник, четырехугольник и т.д. называют многоугольниками.

Плоскость. Прямая. Луч

Поверхности стола, доски, оконного стекла дают представление о плоскости. У плоскости края нет. Она безгранично простирается во всех направлениях.

Начертим отрезок АВ и продолжим его по линейке в обе стороны, получим прямую, которую обозначают «прямая АВ» или «прямая ВА».

Через любые две точки проходит единственная прямая. Прямая не имеет концов, она неограниченно продолжается  в обе стороны.

Если две прямые имеют одну общую точку. То говорят, что они пересекаютсяв этой точке.

Точка О на рисунке делит прямую на две части. Каждую из этих частей называют лучом. Точку О называют началом этих лучей. Конца у луча нет. Обозначаю «луч ОА» и «луч ОВ». Чтобы обозначить луч, называют его начало, а потом какую-нибудь из других точек этого луча.

Лучи, на которые точка разбивает прямую, называют дополнительными друг к другу.

Шкалы и координаты

Длины отрезков измеряют линейкой. На линейке нанесены штрихи. Они разбивают линейку на равные части. Эти части называют делениями. Все деления линейки образуют шкалу.

На весах тоже бывают шкалы. При взвешивании больших предметов применяют единицы массы: тóнну (т), цéнтнер (ц).

Рассмотрим луч ОХ. Идущий слева направо

Отметим на этом луче какую-нибудь точку Е. Над началом луча О напишем число 0, а над точкой Е – число 1. Отрезок ОЕ называют единичным отрезком. Отложим далее на том же луче отрезок ЕА, равный единичному отрезку, и над точкой А напишем число 2. Затем на этом же луче отложим отрезок АВ, равный единичному отрезку, и над точкой В напишем число 3. Так шаг за шагом получаем бесконечную шкалу, которая называется координатным лучом. Числа 0, 1, 2, 3,…, соответствующие точкам О, Е, А, В,…, называют координатами этих точек. Пишут О(0), Е(1), А(2),В(3) и т.д.

Меньше или больше

Из двух натуральных чисел меньше то, которое при счете называют раньше, и больше то, которое при счете называют позже. Единица – самое маленькое натуральное число.

Точка с меньшей координатой лежит на координатном луче левее точки с большей координатой. Нуль меньше любого натурального числа.

Результат сравнения двух чисел записывают в виде неравенства, применяя знаки <(меньше) и >(больше). Например, 4<7, 8>7. Число 3 меньше, чем 6, и больше, чем 2. Это записывают в виде двойного неравенства 2<3<6.

Сложение натуральных чисел и его свойства

Сложить числа 5 и 3 – значит прибавить к числу 5 три раза единицу.

Числа, которые складывают, называют слагаемыми; число, которое получается в результате, называют их суммой.

Сложение чисел можно изобразить на координатном луче:

Свойства сложения:

1. Сумма чисел не изменится при перестановке слагаемых.

Например, 5+4=9 и 4+5=9. Это свойство сложения называют переместительным.

2. Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а потом к полученной сумме – второе слагаемое.

Например, 3+(8+6)=3+14=17 и (3+8)+6=11+6=17. Это свойство сложения называют сочетательным.

3. От прибавления нуля число не изменяется.

Например, 9+0=9. Если прибавить к нулю какое-нибудь число, то получится прибавленное число.

Если точка С лежит на отрезке АВ, то длина всего отрезка АВ равна сумме длин его частей АС и СВ. Пишут: АВ= АС+СВ.

Сумму длин сторон многоугольника называют периметром этого многоугольника.

Вычитание

Действие, с помощью которого по сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое, называют вычитанием.

Число, из которого вычитают, называют уменьшаемым, а число, которое вычитают, - вычитаемым. Результат вычитания называют разностью.

При действиях с натуральными числами, уменьшаемое не может быть меньше вычитаемого.

Разность двух чисел показывает, на сколькопервое число больше второго, иными словами, на сколько второе число меньше первого.

Свойства вычитания:

1. Для того чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала вычесть из этого числа первое слагаемое, а потом из полученной разности – второе слагаемое. Это  свойство называют свойством вычитания суммы из числа.

2. Чтобы из суммы вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого, а к полученной разности прибавить другое слагаемое. Конечно, вычитаемое должно быть меньше слагаемого, из которого его вычитают, или равно ему. Это свойство называют свойством вычитания числа из суммы.

3. Если из числа вычесть нуль, оно не изменится.

4. Если из числа вычесть это число, получится нуль.

Числовые и буквенные выражения

При решении задач иногда записывают действия. А выполняют их потом. Полученные записи называют числовыми выражениями.

Число, получаемое в результате выполнения всех указанных действий в числовом выражении, называют значением этого выражения.

Выражение, содержащее буквы,  называют буквенным выражением. В этом выражении буквы могут обозначать различные числа. Числа, которыми заменяют букву, называют значениями этой буквы.

Буквенная запись свойств сложения и вычитания

Известные способы сложения и вычитания можно записать с помощью букв:

1. Переместительное свойство сложения записывается так:

.

В этом равенстве буквы и  могут принимать любые натуральные значения и значение 0.

2. Сочетательное свойство сложения записывается так:

.

Здесь , и   - любые натуральные числа и нуль.

3. Свойство нуля при сложении можно записать так:

.

Здесь буква может иметь любое значение.

4. Свойство  вычитания суммы из числа записывают с помощью букв следующим образом:

Здесь или .

5. Свойство вычитания числа из суммы записывают с помощью букв так:

если или ;

если или .

6. Свойство нуля при вычитании можно записать:

Здесь  может принимать любые натуральные значения и значение 0.

Уравнение

Если в равенство входит буква, то равенство может быть верным при одних значениях этой буквы и неверным при других ее значениях.

Уравнением называют равенство. Содержащее букву, значение которой надо найти.

Значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения.

Решить уравнение – значит найти все его корни (или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня).

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

Умножение натуральных чисел и его свойства

Умножить число на натуральное число  – значит найти сумму слагаемых, каждое из которых равно .

Выражение и значение этого выражения называют произведением чисел и . Числа и  называют множителями.

1. Произведение двух чисел не изменится при перестановке множителей.

Это свойство умножения называют переместительным. С помощью букв оно записывается так:

.

2. Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

Это свойство умножения называют сочетательным. С помощью букв его записывают так:

.

Сумма  слагаемых, каждое из которых равно 1, равна . Поэтому верно равенство .

Сумма  слагаемых, каждое из которых равно нулю, равна нулю. Поэтому верно равенство .

Когда в записи произведения нет скобок, умножение выполняют по порядку слева направо.

Деление

Действие, с помощью которого по произведению и одному из множителей находят другой множитель, называют делением.

Число, которое делят, называют делимым; число, на которое делят, называют делителем, результат деления называют частным.

Частное показывает во сколько раз делимое больше, чем  делитель.

Ни одно число нельзя делить на нуль.

1. При делении любого числа на 1 получается это же число.

2. При делении числа на это же число получается единица.

3. При делении нуля на число получается нуль.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на другой множитель.

Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

Деление с остатком

Деление одного натурального числа на другое нацело не всегда возможно. Получается деление с остатком. Остаток всегда меньше делителя. Если остаток равен нулю, то говорят, что делимое делится на делитель без остатка, или, иначе, нацело.

Чтобы найти делимое при делении с остатком, надо умножить неполное частное на делитель и к полученному произведению прибавить остаток.

Упрощение выражений

Для того чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения. Это правило выражает распределительное свойство умножения относительно сложения.

С помощью букв его записывают так:

Для того чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе. Это правило называют распределительным свойством умножения относительно вычитания.

С помощью букв его записывают так:

Порядок выполнения действий

Сложение и вычитание чисел называют действиями первой ступени, а умножение и деление чисел – действиями второй ступени.

Порядок выполнений действий при нахождении значений выражений определяется следующими правилами:

1. Если в выражении нет скобок и оно содержит действия только одной ступени, то их выполняют по порядку слева направо.

2. Если выражение содержит действия первой и второй ступени и в нем нет скобок, тот сначала выполняют действия второй ступени, а потом – действия первой ступени.

3. Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках (учитывая при этом правила 1 и 2).

В выражениях, содержащих скобки, можно эти скобки не писать, если при этом порядок действий не изменяется. Изменять порядок действий можно на основе свойств сложения, вычитания и умножения.

Каждое выражение задает программу своего вычисления. Она состоит из команд.

Степень числа. Квадрат и куб числа

Произведение, в котором все множители равны друг другу, записывают короче: вместо пишут (два в шестой степени). В этой записи число 2 называют основанием степени, а число 6, которое показывает сколько множителей было в произведении, - показателем степени, а выражение  называют степенью.

Произведение  и  называют квадратом числа  и обозначают  (читают: «эн в квадрате»). Итак, .

Таблица квадратов первых 10 натуральных чисел имеет следующий вид:

Произведение  называют кубом числа  и обозначают  (читают: «эн в кубе»). Итак,.  

Таблица кубов первых 10 натуральных чисел имеет вид:

Если в числовое выражение входят степени чисел, то их значение вычисляют до выполнения остальных действий.

Формулы

Запишем правило нахождения пути по скорости и времени движения в буквенном виде. Обозначим путь буквой, скорость – буквой и время – буквой . Получим равенство . Это равенство называют формулой пути.

Запись какого-нибудь правила с помощью букв называют формулой.

Площадь. Формула площади прямоугольника

Фигура на рисунке состоит из 8 квадратов, со стороной 1см каждый. Площадь одного такого квадрата называют квадратным сантиметром.

Если какую-нибудь фигуру можно разбить на  квадратов со стороной 1см, то ее площадь равна см2.

Чтобы найти площадь прямоугольника, надо умножить  его длину на ширину. Площадь прямоугольника обозначим буквой , его длину – буквой , а ширину – буквой . Получаем формулу площади прямоугольника .

Две фигуры называют равными, если одну из них можно так наложить на вторую, что этим фигуры  совпадут. Площади равных фигур равны, их периметры тоже равны.

Площадь всей фигуры равна  сумме площадей ее частей.

Квадрат – это прямоугольник с равными сторонами. Если сторона квадрата равна , то площадь квадрата  равна . То есть формула площади квадрата имеет вид: .

Единицы измерения площадей

Для измерения площадей пользуются следующими единицами: квадратным миллиметром (мм2), квадратным сантиметром (см2), квадратным дециметром (дм2), квадратным метром (м2) и квадратным километром (км2).

Площади полей измеряют в гектарах (га). Гектар – это площадь квадрата со стороной 100 м. То есть 1га=10 000 м2.

Площади небольших участков земли измеряют в арах (а). Ар (сотка) – площадь квадрата со стороной 10 м. Значит, 1а=100 м2.

Если длина и ширина прямоугольника выражены в метрах, то его площадь выражается в квадратных метрах. Если длина и ширина прямоугольника измерены в разных единицах, то надо их выразить в одних единицах.

Прямоугольный параллелепипед

Спичечный коробок, деревянный брусок, кирпич дают представление о прямоугольном параллелепипеде. Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из 6 прямоугольников, каждый из которых называют гранью прямоугольного параллелепипеда.

Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда равны.

Стороны граней называют ребрами параллелепипеда, а вершины граней – вершинами параллелепипеда. У прямоугольного параллелепипеда 12 ребер и 8 вершин.

Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения – длину, ширину и высоту.

Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения одинаковы. Поэтому поверхность куба состоит з 6 равных квадратов.

Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда

Для измерения объемов применяют следующие единицы: кубический миллиметр (мм3), кубический сантиметр (см3), кубический дециметр (дм3), кубический метр (м3), кубический километр (км3).

Например, кубический сантиметр – это объем куба с ребром 1 см.

Кубический дециметр называют также литром: 1л = 1 дм3.

Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, надо его длину умножить на ширину и на высоту.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда имеет вид:

где - объем; ,, - измерения.

Если ребро куба равно , то объем  куба равен . Значит, формула объема куба имеет вид.

Запись числа  называют кубом числа .

Окружность и круг

Установим ножку циркуля с иглой в точку О, а ножку циркуля с грифелем будем вращать вокруг этой точки. Тогда грифель опишет замкнутую линию. Ее называют окружностью. Окружность делит плоскость на две части. Ту часть плоскости, которая лежит внутри окружности (вместе с самой окружностью), называют кругом. Точку О называют центром и круга, и окружности. Все точки окружности одинаково удалены от ее центра. Отрезок ОА на рисунке соединяет центр окружности с точкой А этой окружности. Его называют радиусом окружности (и круга). Все радиусы окружности равны друг другу. Отрезок АВ соединяет две точки окружности А и В и проходит через центр. Его называют диаметром окружности (и круга). Диаметр АВ состоит из двух радиусов: ОА и ОВ. Поэтому диаметр окружности вдвое длиннее ее радиуса.

Диаметр делит круг на два полукруга, а окружность – на две полуокружности.

Точки М и N на рисунке делят окружность на две части. Каждую из этих частей называют дугой окружности, а точки М и N – концами этих дуг.

Доли. Обыкновенные дроби

Равные части называют долями. Долю  называют половиной, - третью, а  - четвертью.

Записи вида  называют обыкновенными дробями. В дроби  число 5 называют числителем дроби, а число 8 – знаменателем дроби. Знаменатель показывает, на сколько долей делят, а числитель – сколько таких долей взято.

Дроби можно изображать на координатном луче. Например:

Отрезок ОА равен  единичного отрезка ОЕ.

Сравнение дробей

На координатном луче равные дроби соответствуют одной и той же точке (смотреть рисунок):

Две равные дроби обозначают одно и то же дробное число. Дробные числа можно сравнивать, складывать, вычитать, умножать и делить.

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой меньше числитель, и больше та, у которой больше числитель.

Точка на координатном луче, имеющая координату, лежит слева от точки, имеющей большую координату.

Правильные и неправильные дроби

В дроби  числитель меньше знаменателя. Такие дроби называют правильными. В  дроби  числитель равен знаменателю, а дроби  числитель больше знаменателя. Такие дроби называют неправильными.

Правильная дробь меньше единицы, а неправильная дробь больше или равна единице.

Сложение и вычитание дробей  с одинаковыми знаменателями

При сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складывают, а знаменатель оставляют тот же. С помощью букв правило сложения можно записать так:

.

При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, а знаменатель оставляют тот же.

С помощью букв правило вычитания можно записать:

Деление дробей

С помощью дробей можно записать результат деления двух любых натуральных чисел. Если деление выполняется нацело, то частное является натуральным числом. Если же нацело разделить нельзя, то частное является дробным числом. Например,

Запишем число 3 в виде дроби со знаменателем 5. Для  этого надо найти такое число, при делении которого на 5 получалось бы 3. Таким числом является , то есть 15. Значит, .

Любое натуральное число можно записать в виде дроби с любым натуральным знаменателем. Числитель этой дроби равен произведению числа и этого знаменателя.

Чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и сложить полученные частные. С помощью букв это равенство можно записать:

Смешанные числа

Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, надо:

1) разделить с остатком числитель на знаменатель;

2) неполное частное будет целой частью;

3) остаток (если он есть) дает числитель, а делитель – знаменатель дробной части.

Запись числа, содержащую целую и дробную части, называют смешанной. Смешанное число можно представить и в виде неправильной дроби.

Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, надо:

1) умножить его целую часть на знаменатель дробной части;

2) к полученному произведению прибавить числитель дробной части;

3) записать полученную сумму числителем дроби, а знаменатель дробной части оставить без изменения.

Сложение и вычитание смешанных чисел

Сложение и вычитание смешанных чисел выполняется на основе свойств этих действий.

При сложении (и вычитании) чисел в смешанной записи целые части складывают (вычитают) отдельно, а дробные – отдельно.

Иногда при сложении смешанных чисел в их дробной части получается неправильная дробь. В этом случае из нее выделяют целую часть и добавляют ее к уже имеющейся целой части. Например:

Если при вычитании смешанных чисел дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то поступают так:

Таким же образом поступают и при вычитании дроби из натурального числа, и при вычитании смешанного числа из натурального числа.

Десятичная запись дробных чисел

Числа со знаменателями 10, 100, 1000 и т.д. условились записывать без знаменателя. Сначала пишут целую часть, а потом числитель дробной части. Целую часть отделяют от дробной части запятой.

6 дм 3 см = дм = 6,3 дм.

Любое число, знаменатель дробной части которого выражается единицей с одним или несколькими нулями, можно представить в виде десятичной записи, или, как говорят иначе, в виде десятичной дроби.

Если дробь правильная, то перед запятой пишут цифру 0. После запятой числитель дробной части должен иметь столько же цифр, сколько нулей в знаменателе.

Сравнение десятичных дробей

Чтобы сравнить две десятичные дроби, надо сначала уравнять у них число десятичных знаков, приписав к одной из них справа нули, а потом, отбросив запятую, сравнить получившиеся натуральные числа.

Десятичные дроби можно изображать на координатном луче так же, как и обыкновенные дроби.

Равные десятичные дроби изображаются на координатном луче одной и той же точкой.

Меньшая десятичная дробь лежит на координатном луче левее большей, и большая – правее меньшей.

Например, 0,4<0,6<0,8, поэтому точка А(0,4) лежит левее точки В(0,6), а точка С(0,8) лежит правее точки В(0,6)

Сложение и вычитание десятичных дробей

Чтобы сложить (вычесть) десятичные дроби, надо:

1) уравнять в этих дробях количество знаков после запятой;

2) записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой;

3) выполнить сложение (вычитание), не обращая внимания на запятую;

4) поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях.

Запись 0,444=0,4+0,04+0,004 называют разложением числа 0,444 по разрядам. Разложение по разрядам позволяет немного по-другому отмечать десятичные дроби на координатном луче. Отметим, например, на координатном луче число 1,37. Разложим это число по разрядам:

1,37=1+0,3+0,07.

От начала луча отложим 1 единичный отрезок, затем следующий единичный отрезок разделим на 10 долей и, отсчитав 3 такие доли (десятые), отметим число 1,3. Потом следующую за числом 1,3 десятую долю единичного отрезка разделим еще на 10 долей. Получаем сотые доли единичного отрезка. Отсчитав от числа 1,3 семь сотых долей, получаем число 1,37.

Десятичные дроби можно сравнивать и по разрядам.

Например, 2,87<4,7 потому, что целая часть числа 2,87 меньше целой части числа 4,7 (2<4).

Приближенные значения чисел. Округление чисел

Если , то называют приближенным значением числа снедостатком, а  - приближенным значением с избытком.

Замену числа большим к нему натуральным числом или нулем называют округлением этого числа до целых.

Числа округляются и до других разрядов – десятых, сотых, десятков, сотен и т.д.

Если число округляют до какого-нибудь разряда, то все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают.

Если первая отброшенная или замененная нулем цифра равна 5, 6, 7, 8 или 9, то стоящую перед ней цифру увеличивают на 1.

Если первая отброшенная или замененная нулем цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то стоящую перед ней цифру оставляют без изменения.

Умножение десятичных дробей на натуральные числа

Произведением десятичной дроби и натурального числа называют сумму слагаемых, каждое из которых равно этой дроби, а количество слагаемых равно этому натуральному числу.

Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, надо:

1) умножить ее на это число, не обращая внимания на запятую;

2) в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их отделено запятой в десятичной дроби.

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо, сколько нулей стоит в множителе после единицы.

Деление десятичных дробей на натуральные числа

Разделить десятичную дробь на натуральное число – значит найти такую дробь, которая при умножении на это натуральное число дает делимое.

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо:

1) разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую;

2) поставить в частном запятую, когда кончится деление целой части.

Если целая часть меньше делителя, то частное начинается с нуля целых. При делении на 100 запятую переносят на две цифры влево.

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., надо перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево, сколько нулей стоит после единицы в делителе.

С помощью деления находят десятичную дробь, равную данной обыкновенной дроби. Другими словами, с помощью деления обращают обыкновенную дробь в десятичную.

Умножение десятичных дробей

Умножить число на 0,1; 0,01; 0,001 – то же самое, что разделить его на 10, 100, 1000. Для этого надо перенести запятую влево на столько цифр, сколько нулей стоит перед единицей в множителе.

Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо:

1) выполнить умножение, не обращая внимания на запятые;

2) отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

Если в произведении получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут нуль или несколько нулей.

При умножении числа на неправильную десятичную дробь оно увеличивается или не изменяется: ; ;

При умножении числа на правильную десятичную дробь оно уменьшается: ;

Деление на десятичную дробь

Чтобы разделить число на десятичную дробь, надо:

1) в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе;

2) после этого выполнить деление на натуральное число.

При делении числа на неправильную дробь это число уменьшается или не изменяется, а при делении на правильную десятичную дробь оно увеличивается.

Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1, 0,01, 0,001, надо перенести в ней запятую вправо на столько цифр, сколько в делителе стоит нулей перед единицей (то есть умножить ее на 10, 100, 1000).

Если цифр не хватает, надо сначала приписать в конце дроби несколько нулей.

Среднее арифметическое

Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

Среднее арифметическое=(сумма чисел) : (количество слагаемых)

Средняя скорость движения равна:

Средняя скорость = (весь пройденный путь) : (все время движения)

Подобным образом находят среднюю урожайность, среднюю производительность и т.д.

Проценты

Процéнтом называют одну сотую часть.

Для краткости слово «процент» после числа заменяют знаком %.

Чтобы обратить десятичную дробь в проценты, надо ее умножить на 100. Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо разделить число на 100.

Например, 0,971 = 0,971·100% = 97,1%; 39% = 39:100 = 0,39.

Угол. Прямой и развернутый угол. Чертежный треугольник

Углом называют фигуру, образованную двумя лучами, выходящими из одной точки.

Лучи, образующие угол, называют сторонами угла, а точку, из которой они выходят, - вершиной угла.

При записи угла в середине пишут букву, обозначающую его вершину. Угол можно обозначить и одной буквой – названием его вершины. Например, вместо «угол АОВ» пишут короче «угол О». Вместо слова «угол» пишут знак .

Если один угол можно наложить на другой так, что они совпадут, то эти углы равны.

Два дополнительных друг другу луча образуют развернутый угол. Стороны этого угла вместе составляют прямую линию, на которой лежит вершина развернутого угла. Часовая и минутная стрелки часов образуют в 6 часов развернутый угол.

Прямым углом называют половину развернутого угла.

Для построения прямого угла пользуются чертежным треугольником. Чтобы построить прямой угол, одной из сторон которого является луч ОА, надо:

а) расположить чертежный треугольник так, чтобы вершина его прямого угла совпала с точкой О, а одна из сторон пошла по лучу ОА;

б) провести вдоль второй стороны треугольника луч ОВ.

 В результате получим прямой угол АОВ.

Измерение углов. Транспортир

Для измерения углов применяют транспортир. Шкала транспортира располагается на полуокружности. Центр этой полуокружности отмечен на транспортире черточкой. Штрихи шкалы транспортира делят полуокружность на 180 долей. Лучи, проведенные из центра полуокружности через эти штрихи, образуют 180 углов, каждый из которых равен  доле развернутого угла. Такие углы называют градусами.

Градусы обозначают знаком º. Каждое деление шкалы транспортира равно 1º. Кроме делений по 1º, на транспортире есть еще деления по 5º и по 10º.

Так как прямой угол составляет половину развернутого угла, то он содержит 180:2, то есть 90º. Прямой угол равен 90º.

Равные углы имеют равные градусные меры, больший угол имеет большую градусную меру, меньший угол имеет меньшую градусную меру.

Если угол меньше 90º, то его называют острым углом. Если угол больше 90º, но меньше 180º, то его называют тупым углом.

Луч, который делит угол пополам, называется биссектрисой угла.

Сумма градусных мер углов треугольника равна 180º. Это свойство углов треугольника.

Теория за 6 класс

Делители и кратные.

Делителем натурального числаа называют натуральное число, на которое а делится без остатка.

Кратным натурального числа а называют натуральное число .которое делится без остатка на а.

Признаки делимости на 10, 5 и на 2

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10. Остаток в этом случае равен последней цифре числа.

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится.

Признаки делимости на 9 и на 3

Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9; если сумма цифр не делится на 9, то и число не делится на 9.

Если сумма цифр числа делится на 3. То и число делится на 3; если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.

Простые и составные числа

Натуральное число называют простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Натуральное число называют составным, если оно имеет больше двух делителей.

Число  1 имеет только один делитель: само это число. Поэтому его не относят ни к составным, ни к простым числам.

Разложение на простые множители

Всякое составное число можно разложить на простые множители. При любом способе получается одно и то же разложение, если не учитывать  порядка записи множителей.

При разложении чисел на простые множители используют признаки делимости.

Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа

Наибольшее натуральное число. На которое делятся без остатка числа a и b, называют наибольшим делителем этих чисел.

Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо: 1) разложить их на простые множители; 2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел; 3) найти произведение оставшихся множителей.

Наименьшее общее кратное

Наименьшим общим кратным натуральных чисел a и b называют наименьшее натуральное число, которое и кратно и a, и b.

Чтобы найти наименьшее кратное нескольких натуральных чисел, надо: 1) разложить их на простые множители; 2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел; 3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел; 4) найти произведение получившихся множителей.

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Это свойство называют основным свойством дроби.

Сокращение дробей

Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби.

Дробь  сократить нельзя, так как числа 3 и 4 взаимно простые. Такую дробь называют несократимой.

Наибольшее число, на которое можно сократить дробь, - это наибольший делитель ее числителя и знаменателя.

Приведение дробей к общему знаменателю

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо: 1) найти наименьшее  общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем;

2) разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т.е. найти для каждой дроби дополнительный множитель; 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

В более сложных случаях наименьший общий знаменатель и дополнительные множители находят с помощью разложения на простые множители.

Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Чтобы сравнить (сложить, вычесть) дроби с разными знаменателями, надо: 1) привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю; 2) сравнить (сложить, вычесть) полученные дроби.

Сложение и вычитание смешанных чисел

Чтобы сложить смешанные числа, надо: 1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; 2) отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно – дробных частей. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть дроби и прибавить ее к полученной целой части.

При вычитании смешанных чисел пользуются свойствами вычитания суммы из числа и вычитания числа из суммы.

Если дробная часть уменьшаемого окажется меньше дробной части вычитаемого, то надо превратить в дробь с тем же знаменателем одну единицу целой части уменьшаемого.

Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо: 1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить ее в неправильную дробь, уменьшив на единицу целую часть; 2) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей.

Умножение дробей

Чтобы умножить дробь  на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число. А знаменатель оставить без изменения.

Чтобы умножить дробь на дробь, надо: 1) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей; 2) первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем.

Для того, чтобы выполнить умножение смешанных чисел, надо их записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей.

Нахождение дроби от числа

Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.

Применение распределительного свойства умножения

Распределительное свойство умножения относительно сложения и относительно вычитания позволяет упрощать вычисление.

Чтобы умножить смешанное число на натуральное число, надо: 1) умножить целую часть на натуральное число; 2) умножить дробную часть на это натуральное число; 3) сложить полученные результаты.

Взаимно обратные числа

Два числа, произведение которых равно 1, называются взаимно обратными.

Значит, взаимно обратными будут числа  и, 7 и . Числу , где  и , обратно число . В самом деле, .

Деление

Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю.

Нахождение числа по его дроби

Чтобы найти число по данному значению его дроби, надо это значение разделить на дробь.

Дробные выражения

Частное двух чисел или выражений, в котором знак деления обозначен чертой, называют дробным выражением.

Выражение, стоящее над чертой, называют числителем, а выражение, стоящее под чертой. – знаменателем дробного выражения. Числителем и знаменателем дробного выражения могут быть любые числа, а также числовые или буквенные выражения.

С дробными выражениями можно выполнять действия по тем же правилам, что и с обыкновенными дробями.

При сложении дробных выражений удобнее сначала представить их в виде обыкновенных дробей, а потом уже выполнять сложение:

.

Отношения.

Частное двух чисел называют отношением этих чисел. Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго, или какую часть первое число составляет от второго.

Если значения двух величин выражены одной и той же единицей измерения, то их отношение называют также отношением этих величин (отношением длин, отношением масс, отношением площадей и т.д.).

Если значение двух величин выражены различными единицами измерения, то для нахождения отношения этих величин надо предварительно перейти к одной единице измерения.

Пропорция

Равенство двух отношений называют пропорцией.

С помощью букв пропорцию записывают так:  или . Эти записи читаются следующим образом: «Отношение к равно отношению к» или « так относится к , как  относится к ».

В пропорции , числа  и   называют крайними членами, а числа и  - средними членами пропорции. В дальнейшем будем считать, что все члены пропорции отличны от нуля.

В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних.

Также верно: если произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции, то пропорция верна. Это свойство называют основным свойством пропорции.

Если в верной пропорции поменять местами средние члены или крайние члены, то получившиеся новые пропорции тоже верны. Используя основное свойство пропорции, можно найти ее неизвестный член, если все остальные члены известны.

Прямая и обратная пропорциональная зависимость

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз, другая увеличивается (уменьшается) во столько де раз.

Если  две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

Две величины называют обратно пропорциональными. Если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая  уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Масштаб

Отношение длины отрезка на карте к  длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты.

Длина окружности и площадь круга

Длина окружности прямо пропорциональна длине ее диаметра. Поэтому для всех окружностей отношение длины окружности к длине ее диаметра является одним и тем же числом. Так как диаметр окружности вдвое больше ее радиуса, то длина окружности .

Площадь круга равна: .

Шар

        Все точки поверхности шара одинаково удалены от центра шара. Отрезок, соединяющий точку поверхности шара с центром, называют радиусом шара.

Отрезок, соединяющий две точки поверхности шара и проходящий через центр шара, называют диаметром шара. Диаметр шара равен двум радиусам. Поверхность шара называют сферой.

Координаты на прямой

Числа со знаком «+» называют положительными. Числа со знаком «-» - называют отрицательными.

Начало отсчета (или начало координат) – точка О изображает 0 (нуль).

 Само число 0 не является ни положительным, ни отрицательным. Оно отделяет положительные числа от отрицательных.

Прямую с выбранными на ней началом отсчета, единичным отрезком и направлением называют координатной прямой.

Число, показывающее положение точки на прямой, называют координатой этой точки.

Противоположные числа

Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными числами.

Для каждого числа существует только одно противоположное ему число. Число 0 противоположно самому себе.

Натуральные числа, противоположные им числа и нуль называют целыми числами.

Модуль числа

Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках1) от начала координат точки А (а).

Модуль числа 5 равен 5, т.к. точка удалена от начала отсчета на 5 единичных отрезков. Модуль числа 0 равен 0, т.к. точка с координатой 0 совпадает с началом отсчета О, т.е. удалена от нее на 0 единичных отрезков. Модуль числа не может быть отрицательным. Для положительного числа и для нуля он равен самому числу. А для отрицательного – противоположному числу. Противоположные числа имеют равные модули: .

Сравнение чисел

Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Из двух отрицательных чисел меньше то,  модуль которого больше. Нуль больше любого отрицательного числа, но меньше любого положительного числа.

Нагоризонтальной координатной прямой точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой.

Изменение величин

Увеличение любой величины можно выразить положительными числами, а уменьшение – отрицательными.

Сложение чисел с помощью координатной прямой

Прибавить к числуа число b – значит изменить число а на b единиц.

Любое число от прибавления положительного числа увеличивается, а от прибавления отрицательно числа уменьшается.

Сумма двух противоположных чисел равна нулю: .

От прибавления нуля число не изменяется: .

Сложение отрицательных чисел

Чтобы сложить два отрицательных, надо: 1) сложить их модули; 2) поставить перед полученным числом знак – .

Сложение чисел с разными знаками

Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо: 1) из большего модуля слагаемых вычесть меньший;  2) поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше.

Обычно сначала определяют и записывают знак суммы, а потом находят разность модулей.

Вычитание

Вычитание отрицательных чисел имеет тот же смысл, что и вычитание положительных чисел: по заданной сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое.

Чтобы из данного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: .

Разность двух чисел положительна, если уменьшаемое больше вычитаемого, и отрицательна, если уменьшаемое меньше вычитаемого. Если уменьшаемое равно вычитаемому, то их разность равна нулю.

Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца.

Умножениеположительных и отрицательных чисел

Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак –.

При изменении знака любого множителя знак произведения меняется, а  его модуль остается тем же.

Чтобы перемножить два отрицательны числа, надо перемножить их модули.

Делениеположительных и отрицательных чисел

Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо разделить модуль делимого на модуль делителя.

При делении чисел с разными знаками, надо:

1) Разделить модуль делимого на модуль делителя;

2) поставить перед полученным числом знак –.

Вначале обычно записывают знак частного, а потом уже находят модуль частного.

При делении нуля на любое число, не равное нулю, получается нуль. Делить на нуль нельзя!

Рациональные числа

Число, которое можно записать в виде отношения , где - целое число, а - натуральное число, называют рациональным числом.

Любое целое числоа является рациональным, т.к.  его можно записать в виде .

Сумма, разность и произведение рациональных чисел тоже рациональные числа.

Если делитель отличен от нуля, то частное двух рациональных чисел тоже рациональное число.

Не все обыкновенные дроби можно представить в виде десятичной дроби. Например, если будем делить 1 на 3, то получим сначала нуль целых, потом три десятых, а далее при делении все время будут повторяться остаток 1 и в частном цифра 3. Такие записи называют периодическими дробями.

Любое рациональное число можно записать либо в виде десятичной дроби (в частности, целого числа), либо в виде периодической дроби.

Свойства действий с рациональными числами

Сложений рациональных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами. Иными словами, если и  - любые рациональные числа, то

.

Прибавление нуля не изменяет числа, а сумма противоположных чисел равна нулю. Значит, для любого рационального числа имеем:

Умножение рациональных чисел тоже обладает переместительным и сочетательным свойствами. Другими словами, если  и - любые рациональные числа, то

Умножение на 1 не изменяет рационального числа ,а произведение числа на обратное ему число равно  1. Значит, для любого рационального числаа имеем:

, если .

Умножение числа на нуль дает в произведении нуль, т.е. для любого рационального числа имеем:

.

Произведение может быть равно нулю лишь в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Умножение рациональных чисел обладает и распределительным свойством относительно сложения. Другими словами, для любых рациональных чисел  и  имеем:

.

Раскрытие скобок

Выражение . Эту операцию называют раскрытием скобок.

Если перед скобками стоит знак +,то можно опустить скобки и этот знак +, сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках. Если первое слагаемое в скобках записано без знака, то его надо записать со знаком +.

Чтобы записать сумму, противоположную сумме нескольких слагаемых, надо изменить знаки данных слагаемых. Значит, .

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак –, надо опустить знак – и затем скобки, поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные, а потом раскрыть скобки.

Коэффициент

Если выражение является произведением числа и одной или нескольких букв, то это число называют числовым коэффициентом  (или просто коэффициентом).

Коэффициент обычно пишут перед буквенными множителями. Коэффициентом такого выражения, как  или , считают 1, так как  Числовым коэффициентом выражения  считают число -1.

Подобные слагаемые

Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными слагаемыми.

Подобные слагаемые могут отличаться только коэффициентами.

Чтобы сложить (или говорят: привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

Решение уравнений

Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить  или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую.изменив при этом его знак.

Уравнение, которое можно привести к виду , где с помощью приведения подобных слагаемых и переноса слагаемых, называют линейным уравнением с одним неизвестным.

Перпендикулярные прямые

Две прямые, образующие при пересечении прямые углы, называют перпендикулярными.

Отрезки, лежащие на перпендикулярных прямых, называют перпендикулярными отрезками.

Параллельные прямые

Две непересекающиеся прямые на плоскости называют параллельными.

Отрезки (лучи), лежащие на параллельных прямых называют параллельными отрезками (лучами).

Если две прямые в плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.

Через каждую точку плоскости, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.

Координатная плоскость

Если на плоскости провести две перпендикулярные координатные прямые –  и , которые пересекаются в начале отсчета – точке 0, то эти прямые называют системой координат на плоскости, а точку 0 – началом координат. Плоскость, на которой выбрана система координат, называют координатной плоскостью.

Каждой точке на координатной плоскости соответствует пара чисел: ее абсцисса и ордината. Наоборот, каждой паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами.

Столбчатые диаграммы

Столбчатые диаграммы позволяют графически отобразить различия между данными.

Графики

График – чертеж, применяемый для наглядного изображения зависимости какой-либо величины (напр., пути) от другой (напр., времени), т. е. линия, дающая наглядное представление о характере изменения функции.

Маргарита Викторовна Ильенко

Основа математики – термины,  5 - 6 класс

Методическое пособие

                        Редактор        :         Е. С. Ивасенко

Корректор:        С. А. Колупаева        
Верстка:                М. В. Ильенко

                        Дизайн обложки:        М. В. Ильенко

Муниципальное казённое учреждение

Дополнительного педагогического образования

«Центр развития образования»

Муниципального образования Ленинградский район

353740  Ленинградский район, Краснодарский край,

ст. Ленинградская, ул. Ленина 49