Методическая разработка по алгебре в 9 классе «Решение практико-ориентированных задач с помощью теории вероятностей»
методическая разработка по алгебре (9 класс)

Методическая разработка для учителей математики

по алгебре в 9 классе

Методист ГБУ ДППО ЦПКС «Информационно-методический Центр» Адмиралтейского района Санкт-Петербурга

Лашкова Валентина Михайловна

            Именно математика дает надежнейшие правила: кто им следует – тому не опасен обман чувств. (Л. Эйлер)

Используемая технология:

Технология критического мышления 

Тема методической разработки:

 «Решение практико-ориентированных задач с помощью теории вероятностей»

Краткое описание.

Уроки по решению задач с практическим содержанием методами теории вероятностей способствуют  развитию универсальных учебных действий и мотивируют ребенка к постановке и решению задач в социальной деятельности. Это является насущной необходимостью. И не только потому, что как показывают международные исследования образовательных достижений учащихся PISA, наши учащиеся не умеют: распознавать практические проблемы в реальной жизни; формулировать выявленные проблемы; переводить эти проблемы в формат задачи, соотносить эти проблемы с ранее полученными знаниями; выбирать способы решения поставленных задач; анализировать и оценивать результаты решения проблем. Но и в связи с переориентацией школьного образования «на становление и развитие образованной, компетентной и просвещенной личности, способной к осознанному и ответственному решению разноплановых задач в условиях неопределенности».

 Источником задач, рассматриваемых на уроке, являются вне математические ситуации. Например, учащиеся отвечают на вопросы:

• является ли данное событие результатом таланта, знаний, способностей или случая,
• можно ли считать предлагаемый тест достоверным,
• как правильно составить тест, результатам которого можно доверять,
• надо ли соглашаться с предложением приятеля при розыгрыше находки
• какой замок купить для портфеля или велосипеда,
• какую модель выбрать для решения задачи на ЕГЭ?

Решение задач, возникающих на фоне этих проблем, начинается с их перевода на язык математики. Формулировка математической задачи является первым и очень важным этапом решения.

Не менее важным является этап построения модели. Это связано с тем, что рациональная деятельность современного человека в реальном мире возможна лишь благодаря постоянному упрощению ситуации путем удаления несущественных элементов и выделения существенных элементов, т.е. благодаря схематизации действительности.

 Используя различные способы имитации случайных испытаний с помощью таких приборов как монеты, кубики, урны с шарами, колоды карт, учащиеся строили математические модели реальных задач.

Решая задачи по теории вероятности, учащиеся учатся:

• открывать аналогии и обосновывать их, используя разные способы аргументации;
• выдвигать гипотезы и обосновывать  их правильность,
• понимать разницу между реальным миром и миром математической абстракции,
• убеждаются, как важно принимать решение не интуитивно, а на основе рассуждений,

Умение математизировать является важным аспектом математической культуры современного человека.

Ценность этих задач состоит в возможности продемонстрировать процесс применения математики для решения вне математических проблем.

Цели и задачи

Образовательные: научиться решать внематематические задачи методами теории вероятностей с применением различных моделей (натурных, табличных, графов и др.)

Развивающие:

развитие мыслительных навыков, необходимых не только в учебе, но и в обычной жизни:

умение работать с информацией,

анализировать различные стороны явлений

осмысливать ситуацию,

принимать взвешенные решения,

намечать план действий,

решать поставленную задачу,

уметь аргументировать принятое решение.

на основе универсальных учебных действий развивать общие способности ребёнка, а также специальные способности.

Воспитательные:

Воспитание настойчивости, целеустремленности, умения доводить начатое дело до завершения, умения работать в коллективе, умения анализировать свои действия, умения взять ответственность в критической ситуации на себя

Планируемые результаты, которые будут достигнуты учащимися

1. Достижение и поддержание высокого уровня мотивации  к получению образования,

2. На основе выполнения предлагаемых заданий учащиеся должны научиться переводить внематематические задачи на язык математики и решать их с помощью теории вероятностей и в результате достичь уровня знаний, необходимого для следующей ступени образования, обеспечивающего самостоятельное решение задач учебной и социальной направленности.

3. Достижение самостоятельности в рефлексивной оценке и самооценке результатов.
4. Дальнейшее развитие ребенка в плане личностной и социальной зрелости, проявляемой в совместной деятельности ребенка со сверстниками, с учителем, с родителями, в социальном поведении.

Задачи: цели урока реализуются путем использования технологии критического мышления, так как именно эта технология способствует развитию мыслительных навыков, необходимых не только в учебе, но и в жизни, и доступна для всех обучающихся.

Форма - комбинированный урок

урок изучения нового материала и урок закрепление изученного.

Форма организации работы учащихся – индивидуальная работа и работа в группах

Оборудование:  компьютер, мультимедиапроектор,

Ход

I. Фаза вызова.

2. Фаза осмысления

3. Рефлексия

4. Домашнее задание

Первая стадия - фаза вызова

Учитель:

В жизни мы часто встречаемся  с ситуациями, в которых надо принимать решение. Например, справедлива ли данная игра, купить ли замок, закрывающийся при помощи шифра, а не ключом, как справедливо распределить места между выступающими и многие другие. Мы уже знаем, что  эти внематематические проблемы можно перевести на язык математики, а затем решить как математические. При этом используется раздел математики, который называется теорией вероятностей. Вспомните, на уроках информатики вы изучали раздел «Моделирование». Узнали, какие бывают модели, зачем они нужны. А какие модели используются при решении задач средствами теории вероятностей?

Вторая стадия - фаза осмысления  На этой стадии идет работа с информацией. Учащиеся были поделены на группы. Каждой группе было выдано свое задание.

Первая группа учащихся отвечала на такой вопрос: В типичных задачах по теории вероятности в большинстве случаев мы подсчитывали вероятности разных событий, связанных с бросанием монеты, кубика или со случайным выбором шаров из мешка. Почему мы решали именно такие задачи?

Выступление учащегося, представителя первой группы

Рассмотрим две задачи.

 1. Я подбрасываю монету, какова вероятность того, что выпадет «орел»?

2. На столе стоят два одинаковых стакана с чаем. Один с сахаром, а другой без сахара. Какова вероятность того, что мне достанется сладкий чай?

Можно ли утверждать, что при решении  второй задачи мы можем использовать бросание монеты в качестве натурной модели? – спросили мы себя.  И ответили: Да.

Устно решаем задачи.  В классе появляется вопрос:

 А если на стол поставить четыре стакана чая. И только один будет с сахаром? Тогда ведь нельзя будет использовать монету в качестве модели?

Нет. Ведь у монеты две стороны, а у нас четыре варианта. Тогда мы склеим пирамидку с четырьмя равными гранями. И она станет той моделью, с помощью которой можно решить задачу. Или можно положить в непрозрачный мешок четыре шарика. Три – одного цвета, например, белые, а один другого – черный. Догадываются учащиеся.

Учащиеся вспоминают пройденное по теме «Моделирование» на уроке информатики,  и приходят к выводу, что монеты, кубики и шарики – это натурные модели. Они являются упрощенными подобиями реальных объектов и используются в качестве заменителей реальных систем. Они дают возможность перейти к математическому описанию свойств систем.

Вторая группа представила материал, в котором рассмотрела  использование табличных моделей при решении задач по теории вероятностей на примере задач про бросание двух кубиков.

В клетках таблицы помещены числа, равные сумме очков, выпавших при одновременном бросании двух кубиков

 Учащиеся объяснили, как устроена таблица, и предложили классу составить три  задачи, которые можно решить, используя эту модель.

Примеры задач, составленных учащимися:

1. На какую сумму очков на гранях надо ставить, чтобы иметь большую вероятность выигрыша?
2. Какова вероятность того, что сумма очков на гранях равна трем?
3. Какова вероятность того, что при двукратном бросании двух кубиков оба раза в сумме выпадет пять очков?

Ответы

 1. 7              

2. 2/36 = 1/18

3. при однократном бросании 2-х кубиков вероятность того, что выпадет 5 очков, равна 4/36=1/9. При двукратном (события независимые) –  1/9+1/9=2/9

Какие еще модели используются при решении задач?

Третья группа рассмотрела следующую жизненную ситуацию:

Алеша, Боря, Витя, Гена и Дима нашли в зоопарке монету в 10 рублей и решили ее разыграть. Алеша предложил бросать  ее по очереди в алфавитном порядке и отдать ее тому, у кого первого выпадет решка. Если решка не выпадет, то отдать монету Ане.  

Учащиеся этой группы отвечали на вопросы:

Справедлив ли способ, предложенный Алешей? Одинаковы ли шансы получить монету у каждого мальчика? Соглашаться с Алешей или нет?

Учащиеся  рассказали, как можно ответить на поставленные вопросы, используя дерево испытаний.

В задаче идет речь о случайном  испытании. Это многократное бросание монеты до тех пор, пока не выпадет решка.

Изобразим поэтапно это испытание с помощью рисунка.

Модель, которую мы будем использовать при решении этой задачи, называется графом или деревом испытаний

=       r, or, oor, ooor, oooor, ooooo

Вычислим вероятности выигрыша. Для этого над каждым ребром напишем вероятность события. Полученный граф называется взвешенным.

Учащиеся делают вывод: Дети не должны соглашаться с предложением Алеши. Так показали вычисления.

Третья группа предложила классу решить еще одну жизненную задачу.

Учитель составил тест по математике. Оцените этот тест. Можно ли получить верный ответ угадыванием? (Можно ли рискнуть и не готовиться к тесту?)

• Имеется четыре графика с номерами 1,2,3,4. И четыре формулы а,b,c,d, каждая из которых соответствует одному из графиков. Тест считается выполненным верно, если графики верно соединены с формулами.

Они оценивали этот тест, вычисляя вероятность получения верного ответа угадыванием. Для этого они построили вероятностную модель

Подбор формул к графикам наугад в этой ситуации является случайным испытанием. Решение задачи является как бы случайным размещением графиков № 1, 2, 3, 4 на места a, b, c, d.

Таким образом мы можем использовать модель с размещением шариков по ящикам.

Считаем распределение шаров по ящикам, представленное на рисунке, верным.

 Сколько вариантов размещения шаров по ящикам существует?                                      

Подсчитать количество вариантов можно по формуле перестановок 4!=24  или построив дерево вариантов.

Вероятность получить зачет по тесту, угадав результат  равна 1/24

1/24<0,05.

Если ученик правильно соединил графики с формулами, то можно практически быть уверенным, что он сделал это благодаря знаниям по математике.

• Математическая модель позволила оценить достоверность теста, а нерадивых учеников вдохновила, мы надеемся, на подготовку к тесту

Третья стадия - фаза рефлексии (размышление). На этой стадии информация анализируется, интерпретируется, творчески перерабатывается.

Работа в группах. Как полученную информацию можно применить при решении следующих задач?

Задача 1

В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Задача 2

Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Задача 3

На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу .

Учащимся предлагается сделать выводы из урока

Группы защищают решения. Записывают

выводы, объединив свои усилия:

1.Оказывается, что монеты, кубики и шарики – это натурные модели. Они являются упрощенными подобиями реальных объектов и используются в качестве заменителей реальных систем. Они дают возможность перейти к математическому описанию свойств систем.

2. Решая вероятностные задачи и используя табличные модели и графы или деревья, модель с размещением шариков по ящикам, мы увидели, как и какими математическими понятиями и простейшими моделями описывается окружающий нас изменчивый мир.

3. Решение вероятностных задач позволяет нам принять верные решения в конкретных жизненных ситуациях. Например, справедливы ли правила предлагаемой игры, достоверен ли тест.

Учитель подводит итоги: предлагает каждой группе оценить работу ее участников, с учетом этих оценок, выставляет оценки за подготовку к уроку, за ответы на уроке, выдает домашнее задание.

Домашнее задание.

 Реши, как ты поступишь в предлагаемых ситуациях:

1. Тебе предложили купить ананас за 1 рубль. Для этого ты платишь 1 рубль и случайно выбираешь шар из мешка с 1 черным шаром и 99 белыми. Если шар черный – ананас твой.

Примешь ли ты предложение? Какова вероятность твоего выигрыша?

2.Мне подарили велосипед! Теперь надо купить замок на блокировку

Не хочу покупать замок с ключом – он легко открывается! Все советуют купить замок с шифром. В магазине мне предложили две велосипедных блокировки с  замками.

Первый замок состоит из трех дисков, каждый из которых разделен на 10 секторов, обозначенных цифрами от 0 до 9. Вокруг каждого вращается ручка.  Блокировка отключается, если каждая ручка устанавливается на нужном сегменте. Номера этих сегментов составляют шифр. Шифр ты узнаешь, покупая замок.

Второй замок состоит из четырех колесиков-дисков, каждый разделен на шесть сегментов, обозначенных числами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Дальше аналогично первому замку.

Какой замок выбрать?

3.

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только четыре пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

• Межпредметные связи

Использовались, конкретизировались и обобщались знания и умения, полученные учащимися  в курсе «Информатика  ИКТ» по теме «Модели»

• Используемые ресурсы

А.Плоцки Вероятность в задачах для школьников. – М.; Просвещение, 1966

 http://kpip.kbsu.ru/pd/did_lec_11

www.mathege.ru

http://trium-04.narod2.ru/document/flash/fgos.swf

http://prosvpress.ru/2013/01/izmenenie-smyislovyih-orientirov-ot-uspeshnoy-shkolyi-k-uspeham-rebyonka/#more-3384