Ладющенкова О.Е, учитель математики
МОУ ГСОШ г. Калязина Тверской обл.

Теория чисел и Пьер Ферма.

Математика стоит в авангарде всех научных достижений, а решение на первый взгляд малозначительной проблемы порождает целые направления в развитии математики.

Математикой  занимаются не только профессионалы. Эта наука всегда притягивала внимание многих любителей. Одним из самых выдающихся любителей математики был французский  юрист Пьер Ферма(1601-1665).Его прижизненная известность основана на обильной переписке , в которой он донимал друзей и недругов необычными задачами. Его посмертная слава разрослась благодаря  скромным пометкам на полях «Арифметики» Диофанта. На окончательное осмысление  загадок Ферма понадобилось без малого четыре века.

Цель: Войти в прекрасный мир математики, посвященный теории чисел, прикоснуться к тайнам,  разгаданным благодаря упорному и благородному труду великих гениев математики.

Теория чисел или высшая арифметика — раздел математики, изучающий целые числа и сходные объекты. В зависимости от используемых методов теорию чисел подразделяют на несколько под теорий.

• 1 Элементарная теория чисел
• 2 Аналитическая теория чисел
• 3 Алгебраическая теория чисел

В элементарной теории чисел целые числа изучаются без использования методов других разделов математики. Такие вопросы, как делимость целых чисел, алгоритм Евклида для вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного, разложение числа на простые множители, построение магических квадратов, совершенные числа, числа Фибоначчи, малая теорема Ферма, теорема Эйлера, задача о четырёх кубах относятся к этому разделу.

Теория чисел

Математики Древней Греции со времён Пифагора коллекционировали диковинные факты о конкретных натуральных числах, иногда очень больших, но теорем о числах не доказывали (за несколькими исключениями). Лишь Диофант (III век н. э.) написал книгу «Арифметика», в которой были и отрицательные числа, и элементы символики, но, прежде всего, многочисленные факты о решении в целых числах алгебраических уравнений с несколькими неизвестными (их стали называть диофантовыми). Эта книга (не полностью) стала известна в Европе в XVI веке, а в 1621 году она была издана во Франции и стала настольной книгой Ферма.

Ферма постоянно интересовался арифметическими задачами, обменивался сложными задачами с современниками. Например, в своём письме, получившем название «Второго вызова математикам» (февраль 1657), он предложил найти общее правило решения уравнения Пелля ax2 + 1 = y2 в целых числах. В письме он предлагал найти решения при a=149, 109, 433. Полное решение задачи Ферма было найдено лишь в 1759 году Эйлером.

  «Арифметики» Диофанта (1621).
Главное содержание книги – неопределенные уравнения, которые теперь называются диофантовыми уравнениями..

Начал Ферма с задач про магические квадраты и кубы, но постепенно переключился на закономерности натуральных чисел — арифметические теоремы. Несомненно влияние Диофанта на Ферма, и символично, что он записывает свои удивительные открытия на полях «Арифметики».

Способ отыскания делителей натуральных чисел, не требующий перебора всех возможных его простых делителей, предложено Пьером Ферма.

Заметим, что:

1=12

1+3=22        1+3+5+7+…+(2n-1)=n2, 2n-1 – последнее число.

1+3+5=32

1+3+5+7=42

Представим 292, n=29; последнее число в сумме нечетных – 29*2-1=57

Имеем: 1+3+5+…+57=292

Пример:

найти сумму: 1+3+5+…+999; последнее – 999, отсюда 2n-1=999, n=500, тогда

1+3+5+…+999=5002.

Метод Ферма:

Пусть n – произвольное натуральное число, будем прибавлять к нему последовательно нечетные числа, до тех пор, пока сумма этого числа с нечетными не будет равна квадрату некоторого t.

n+1+3+5+…+(2k-1)=t2, т.к 1+3+5+…+(2k-1)=k2, то n+k2=t2,

n=t2-k2=(t-k)(t+k), отсюда следует, что (t-k) и (t+k) – искомые делители n.

Пример:

n=713, 713+1=714
            713+1+3=717

             713+1+3+5=722

             713+1+3+5+7=729=272, 1+3+5+7=16=42, тогда из метода Ферма следует, что 713=272-42=(27-4)(27+4)=23*31.

 Истина Ферма:

Каждое простое число вида 4n+1 есть сумма двух квадратов, причем представляется такой суммой единственным образом.

Примеры:

1) 37=36+1=62+12 2) 101=100+1=102+12

3) 41=16+25=42+52

Числа вида 4n-1 таким свойством не обладают: 19=4*5-1 – не разложить на сумму двух квадратов.

Малая теорема Ферма.

Если a не делится на простое число p, то число (ap-a) P.

Доказательство 1:

Доказательство этой теоремы не было ни в письме Френиклю, ни в бумагах, оставшихся после Ферма. Лишь через сорок с лишним лет эту теорему доказал крупнейший немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716). При этом он использовал бином Ньютона.

Проведем доказательство теоремы методом математической индукции по a. Для a=1 имеем , . Предположим, что , и выведем отсюда делимость на p разности . Применяя разложение по формуле бинома Ньютона, получим:  

Так как число p простое, то во всех коэффициентах , где , в числителе есть простой множитель p, а в знаменателе его нет. Поэтому все эти коэффициенты, а с ними и вся вторая скобка делятся на p; первая скобка делится по p по предположению. Тем самым малая теория Ферма доказана.

Доказательство 2:

С помощью теории сравнений.

Теория сравнений.

        Определение. Если два числа a и b (a, b ∈ Z) при делении на число m (m ∈ N) дают один и тот же остаток r, где , то числа a и b называются сравнимыми по модулю m.

Сравнимость чисел a и b по модулю m принято записывать так:

a b(mod m), и читать: a сравнимо с b по модулю m.

Если a b(mod m), то: 1) a = b + mt, где t ∈ Z.

      2) Разность a - b делится на m.

Свойства сравнения:

1. Если a b(mod m) и a c(mod m), то b c(mod m); a, b, c Z, m ∈ N.

2. Если a1 b1(mod m), a2 b2(mod m),..., an bn(mod m),
то a1 + a2 + ... + an b1 + b2 + ... + bn(mod m); ai, bi ∈ Z, m, n ∈ N.

3. Если a1 b1(mod m), a2 b2(mod m),..., an bn(mod m),
то a1 · a2 · ... · an b1 · b2 · ... · bn(mod m); ai, bi ∈ Z, m, n ∈ N.

4. Если a b(mod m), то an bn(mod m); a, b ∈ Z, m, n ∈ N.

5. Если a b(mod m), то ak bk(mod m); a, b, k ∈ Z, m, n ∈ N.

6. Если a b(mod m), и a, и m делятся на k, то и b делится на k; a, b, k ∈ Z, m, n ∈ N.

Рассмотрим Пример1.

Найти остаток от деления 520 на 24.

______________________________

Используем свойства сравнений и получаем:

25 1 (mod 24);

52 1 (mod 24);

(52)10 110 (mod 24);

520 1 (mod 24).

Ответ: Остаток равен 1.

Пример 2.

 Доказать, что при любом n N число 37n+2 + 16n+1 + 23n делится на 7.

___________________________________________________________

1) Так как 37 2 (mod 7), то 37n+2 2n · 4 (mod 7);

2) Так как 16 2 (mod 7), то 16n+1 2n · 2 (mod 7);

3) Так как 23 2 (mod 7), то 23n 2n (mod 7);

Согласно свойствам сравнения суммируем следствия трех предыдущих выражений и получаем:

37n+2 + 16n+1 + 23n 2n · 4 + 2n · 2 + 2n (mod 7);

Выносим в правой части сравнения 2n за скобки:

37n+2 + 16n+1 + 23n 7 · 2n (mod 7);

А так как правая часть сравнения и модуль делятся на 7, то и левая часть сравнения делится на 7. Что и требовалось доказать.

 Малая теорема Ферма.

Доказать что, ap ≡ a (mod p), если p - простое.

Доказательство:

Рассмотрим два случая: a делится на p; a не делится на p.

1) a делится на p;

Тогда используя сравнения запишем:

a ≡ 0 (mod p);

ap ≡ 0 (mod p);

Или ap ≡ a (mod p).

В этом случае теорема доказана.

2) a не делится на p;

Рассмотрим числа a, 2a, 3a,...,(p - 1)a (*).

Покажем, что эти числа дают разные остатки при делении на p. Очевидно, остаток также не может быть 0.

Докажем от обратного.

Пусть какие-то два числа ka, na имеют одинаковые остатки при делении на p (пусть k > n). Тогда разность ka - na делится на p. Значит (k - n)a делится на p. Но a не делится на p, а разница k - n меньше p и отлична от нуля, потому также не делится на p. Мы пришли к противоречию - наше предположение, что числа (*) могут давать одинаковые остатки при делении на p ошибочно. Запишем это:

a ≡ r1 (mod p);

2a ≡ r2 (mod p);

...

(p - 1)a ≡ rp - 1 (mod p);

Используя свойства сравнения перемножаем предыдущие сравнения. Так как всего множителей p - 1, а все остатки при делении на p разные, то справа будет (p - 1)!

ap - 1(p - 1)! ≡ (p - 1)! (mod p);

(ap - 1 - 1)(p - 1)! ≡ 0 (mod p);

Но (p - 1)! не делится на p, так как p - простое, а все множители факториала меньше p. Значит (ap - 1 - 1) делится на p.

(ap - 1 - 1) ≡ 0 (mod p);

ap - 1 ≡ 1 (mod p);

ap ≡ a (mod p);

что и требовалось доказать.

Рассмотрим применение малой  теоремы Ферма. Теорема Гаусса.

Теорема: Если p есть простое число, отличное от 2 и 5, то длина периода  является делителем числа p-1.

 превратим в десятичную дробь:

1. =0,333…=0(3)
2. =0,(142857)
3. =0,(09)

Связанна ли длина периода с числом P?

Длина периода является делителем числа Р-1.    Для:

1. Длина 1  делитель 3-1=2
2. Длина 6 делитель 7-1=6
3. Длина 2 делитель 11-1=10

По малой теореме Ферма:

        Для любого простого числа P разность (10p-1-1)P, значит, имеет вид mP, т.е. 10p-1=mP+1.Разделим на P:

10p-1=m+,т.е. переместив в дроби, равной , запятую на P-1 шагов вправо, получим число с той же самой дробной частью. Это возможно при условии, что P-1 кратно длине периода.

        Из доказательства видно, что в десятичной системе счисления длина периода дроби  (P2,P) равна наименьшему из чисел K, для которых (10k-1) P. Аналогично и в других системах счисления.

Например:

=0,(09)

(10k-1) 11, K – делитель 10:1,2,5,10.

Проверим:   (10k-1) 11

(102-1) 11

(100-1) 11

9911 – что и требовалось доказать, К=2.

Ферма занимали «невозможные» задачи — задачи, не имеющие решений. Самое знаменитое утверждение о «невозможности» — Великая теорема Ферма (ВТФ).

Многие арифметические открытия Ферма опередили время и были забыты на 70 лет, пока ими не заинтересовался Эйлер, опубликовавший систематическую теорию чисел. Одна из причин этого - интересы большинства математиков переключились на математический анализ.

 Великая теорема Ферма

Пьер Ферма — юрист и математик — высказал следующее предположение:

Сам П. Ферма нашел доказательство этой теоремы лишь для п=4. Что касается доказательства теоремы в общем случае (для любого n>2), то сам Ферма на полях книги Диофанта об этом написал: «Я открыл поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком малы».

Несколько позже сам Ферма опубликовал доказательство частного случая для n = 4, что добавляет сомнений в том, что у него было доказательство общего случая.

Эйлер в 1770 году доказал теорему для случая n = 3, а затем и для n= 4.

 Леонард Эйлер (1707–1783).
Выдающийся математик, внесший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии
и ряда прикладных наук.

Дирихле и Лежандр в 1825 — для n = 5, Ламе — для n = 7. Куммер показал, что теорема верна для всех простых n, меньших 100, за возможным исключением т. н. иррегулярных простых 37, 59, 67.

Над полным доказательством Великой теоремы работало немало выдающихся математиков и множество дилетантов-любителей; считается, что теорема стоит на первом месте по количеству некорректных «доказательств». Тем не менее эти усилия привели к получению многих важных результатов современной теории чисел. Давид Гильберт в своём докладе «Математические проблемы» на II Международном конгрессе математиков (1900) так отозвался об этой проблеме:

«Проблема доказательства этой неразрешимости являет разительный пример того, какое побуждающее влияние на науку может оказать специальная и на первый взгляд малозначительная проблема. Ибо, побуждённый задачей Ферма, Куммер пришёл к введению идеальных чисел и к открытию теоремы об однозначном разложении чисел в круговых полях на идеальные простые множители — теоремы, которая теперь, благодаря обобщениям на любую алгебраическую числовую область, полученным Дедекиндом и Кронекером, является центральной в современной теории чисел и значение которой выходит далеко за пределы теории чисел в область алгебры и теории функций.»

В 1908 году немецкий любитель математики Вольфскель завещал 100 000 немецких марок тому, кто докажет теорему Ферма. Однако после Первой мировой войны премия обесценилась.

В 1980-х годах появился новый подход к решению проблемы. Из гипотезы Морделла, доказанной Фальтингсом в 1983 году, следует, что уравнение an + bn = cn при n > 3 может иметь лишь конечное число взаимно простых решений.

Первый вариант своего доказательства Уайлс опубликовал в 1993 году (после 7 лет напряжённой работы), но в нём вскоре обнаружился серьёзный пробел, который с помощью Ричарда Лоуренса Тейлора удалось достаточно быстро устранить. В 1994 году был опубликован завершающий вариант доказательства.

 130-страничное доказательство Уайлса было опубликовано в журнале «Annals of Mathematics». Доказательство основано на предположении немецкого математика Герхарда Фрая о том, что Великая теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы — Симуры (это предположение было доказано Кеном Рибетом при участии Ж.-П.Серра).

В прошлом двадцатом веке случилось событие, равного по масштабу которого в математике не было за всю ее историю. 19-го сентября 1994 года была доказана  теорема, сформулированная Пьером де Ферма (1601-1665) более 350-ти лет назад в 1637 году. Она  известна также как «последняя теорема Ферма» или как «большая теорема Ферма», поскольку есть еще так называемая "малая теорема Ферма". Ее доказал 41-летний, до этого момента в математическом сообществе ничем особо непримечательный, и по математическим меркам  уже немолодой, профессор Принстонского университета Эндрю Уайлс.

Уайлс оказался тем счастливчиком, которому удалось нанести последний нокаутирующий удар по проблеме. Но не следует забывать, что за ним стоят все великие математики предыдущих столетий. Если кому-то покажется незначительность этого события, достаточно вспомнить, что математика стоит в авангарде всех научных достижений, а решение казалось бы «легкомысленной задачи» порождает целые направления в развитии математики. Леонардо да Винчи однажды заметил, что «наукой можно назвать только математически подтвержденное учение».

 Эндрю Уайлс (р. 1953).
Впервые узнал о теореме Ферма в
возрасте 10 лет и сразу попытался
ее доказать. Затем, став математиком,
вернулся к теореме Ферма снова.
В тайне от своих коллег долго искал
ее доказательство и со временем его нашел.

«Завещание Ферма»

Приведем в заключение сводку результатов Ферма по теории чисел, приведенную им в упомянутом письме к Каркави, который после смерти Мерсенна занял его место в кружке парижских математиков:

1. Не существует прямоугольного треугольника в числах, площадь которого была бы квадратом.

2. Нет куба, который разбивался бы на два куба,

3. Уравнение х2 + 2 = у3 имеет единственное решение в целых числах х=5, у=3.

4. Уравнение х2 + 4 = у3 имеет только два реше-ния в целых числах х = 2, у = 2 и х = 11, у = 5.

5. Система уравнений

имеет только два решения в целых числах: х = у = z = 1 и х = 7, у = 2, z = 5.

В том же письме утверждается, что каждое целое число может быть представлено суммою не более четырех квадратов. Это доказал Лагранж.

Приведем заключительные строки этого письма, которое получило название «завещание Ферма»:

«Быть может, потомство будет признательно мне за то, что я показал ему, что Древние не все знали, и это может проникнуть в сознание тех, которые придут после меня для передачи факела сыновьям, как говорит великий канцлер Англии, следуя чувствам которого, я добавлю: «Многие будут приходить и уходить, а наука обогащается»». 

По материалам книги
"Замечательные ученые"
под ред. С.П. Капицы

Математический анализ и геометрия

Ферма практически по современным правилам находил касательные к алгебраическим кривым. Именно эти работы подтолкнули Ньютона к созданию анализа.

В учебниках по математическому анализу можно найти важную лемму Ферма, или необходимый признак экстремума: в точках экстремума производная функции равна нулю.

Ферма сформулировал общий закон дифференцирования дробных степеней и распространил формулу интегрирования степени на случаи дробных и отрицательных показателей.

Развив идею Декарта, Ферма применил аналитическую геометрию к пространству. В работе «Введение к теории плоских и пространственных мест», ставшей известной в 1636 году, Ферма показал, что прямым соответствуют уравнения 1-й степени, а коническим сечениям — уравнения 2-й степени. Ферма исследовал общие виды уравнений 1-й и 2-й степеней.

Другие достижения

Независимо от Паскаля Ферма разработал основы теории вероятностей. Именно с переписки Ферма и Паскаля (1654), в которой они, в частности, пришли к понятию математического ожидания и теоремам сложения и умножения вероятностей, отсчитывает свою историю эта замечательная наука. Результаты Ферма и Паскаля были приведены к книге Гюйгенса «О расчётах в азартной игре» (1657), первом руководстве по теории вероятностей.

Имя Ферма носит основной принцип геометрической оптики, в силу которого свет в неоднородной среде выбирает путь, занимающий наименьшее время (впрочем, Ферма считал, что скорость света бесконечна, и формулировал принцип более туманно). С этого тезиса начинается история главного закона физики — принципа наименьшего действия