Открытый урок "Логарифмы.Логарифмические уравнения"
план-конспект урока алгебры (11 класс) по теме

  Буянова А. М.  (персональный идентификатор 213-573-506).

Преподавание математики.                                                                                                               Открытый урок  по алгебре и началам анализа в 11 классе по теме

«Логарифмы. Логарифмические уравнения».

Учитель математики МОУ СОШ №21 г. Подольска - Буянова Анна Матвеевна.

Цель урока:

 Образовательная цель: обеспечить в ходе урока сознательное повторение определения логарифма и его свойств. Умение применять эти свойства при решении различных типов логарифмических уравнений. Показать необходимость глубоких знаний по данной теме на более сложных уравнениях.

Воспитательная цель: воспитывать сознательное отношение к учебе, повышение интереса к математике, к исследовательской работе.

Развивающая цель: развивать логическое мышление, математическую речь, умение сравнивать и делать выводы; совершенствовать навыки работы со свойствами логарифмов и применять их при решении уравнений.

Методы и приёмы: словесный и наглядный.

Форма работы: индивидуальная, групповая, коллективная, устная, письменная.

По типу: урок-семинар обобщения и систематизации знаний.

Наглядность к уроку и раздаточный материал:

• карточки-тесты с заданиями для самостоятельной работы (приложение 1);
• групповые задания для практической работы (приложение 2);
• учебник «Алгебра и начала анализа 10-11» под редакцией А. Н. Колмогорова.                                                                                                                                                                 Ход урока.

Класс делится на три группы. Два урока разделены на три части:

1. Повторить определение логарифма, все свойства логарифма и применить эти свойства при      тестировании.

2.Повторить все типы уравнений и решить уравнения.

3.Заслушать доклады «Логарифмические уравнения, требующие глубоких знаний свойств логарифма».

I. Организационная часть:

- приветствие

- подготовка учащихся к уроку

- получение сведений об отсутствующих.

II.Повторение материала

1. Сформулируйте определение логарифма.

=b , a > 0 , a ≠ 1 , b > 0. Как называется это равенство?                                            2.Вычислить устно (где это возможно).

1)                   6)

2)                     7)

  Буянова А. М.  (персональный идентификатор 213-573-506).

3)                    8)

4)                    9) ℓg ℓg10

          5)                      10)

3. Сформулируйте основные свойства логарифмов (написать их на доске).

4. Вычислить устно.

1)                                4)                             7)

2)                       5)                            8)

3)                                   6)

Примените определение логарифма, свойства логарифма при решении теста. Тесты для двух вариантов включают по 5 заданий. Вычислите значения выражений и найдите правильный ответ. (Приложение 1).

Вариант I.

Вариант II.

  Буянова А. М.  (персональный идентификатор 213-573-506).

 Учащиеся меняются карточками для проверки (ответы на доске). Учитель объявляет оценки.

Ответы:

III. Решение уравнений. Устно. а) При каких действительных значениях a и x имеет смысл выражение

   а)         б)             в)              г)

     При каком значении х верно равенство: а)           б)

    Решите уравнения по определению логарифма.

Здесь приведены уравнения, где x содержится либо в основании логарифма, либо в выражении под знаком логарифма. А давайте рассмотрим уравнения, в которых x содержится и там, и там.

I тип уравнений: Уравнения решаемые по определению логарифма.                      

Какими способами можно решить такое уравнение?

I способ: решить уравнение по определению логарифма и сделать проверку корней.

II способ: решить с помощью равносильной системы:

Задание №1. Каждой группе решить уравнение I типа.

I                                                    II                                              III

Ответ: при аϵ(˗∞;-1)(-1;2) х=(1+а)/3,       Ответ: 5.                                     Ответ: 

при аϵ{˗1}[2;+∞) нет корней.

II тип уравнений. Уравнения, решаемые потенцированием. Можно также решить двумя способами.

Устно: а) Какой системе равносильно это уравнение  Назовите корень уравнения.                                                  

            б) Не решая уравнения, докажите, что у них нет корней.

Задание №2. Каждой группе решить уравнение.

  Буянова А. М.  (персональный идентификатор 213-573-506).

         I.                                                     II.                                                                            III.

Ответ: 2.                                  Ответ: 6.                               Ответ: при а>4 х=(а-1)/3,   

                                                                                                            при акорней нет.

    Устно. Как решить такие уравнения?      а);

   б) ;      в)   .

III тип уравнений. Уравнения, решаемые с применением свойств логарифмов.

 I .            Ответ: 11.                                        

II.      Ответ: при   ,  при   -  нет корней.

III      Ответ: 3,5.

IV тип уравнений.  Логарифмические уравнения второй степени относительно логарифма  и уравнения, которые сводятся к уравнениям второй степени. Решаются методом введения новой переменной.

       I                                                 II                                                   III

Ответ: 25; 125.                       Ответ: 10∙; 0,1.               Ответ:   2n, nϵZ.

  V тип уравнений.  Показательно – степенные уравнения решаются логарифмированием обеих частей уравнения по одному основанию. Показательно – степенными уравнениями называют уравнения, содержащие переменную в основании и в показатели степени.

   I                                                    II                                                       III                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      

Ответ:  8.                                        Ответ:  125.                                    Ответ: 0,01; 10.

 IV. Доклады.                                     

Доклад №1. Откройте учебник на  странице 229 № 498.

При выполнении № 498(б, г) мы доказали равенство:                        ,.

Это равенство промелькнуло в этом упражнении и больше мы его нигде не использовали. Вот уравнение, в котором при решении используют это равенство.

Заметим, что  верно при ,

,

, , , .          Ответ: 8

Применим эту формулу при решении ещё одного уравнения.

                    Буянова А. М.  (персональный идентификатор 213-573-506).

.

Решение: ,    

,  ,  .

Пусть                ,

, ,, (не удовлетворяет условию t>0),

, , ,                                            Ответ: 10.

Доклад №2.

Формальное использование формул логарифма суммы, частного, степени, может привести как к расширению, так и к сужению области допустимых значений переменных. Вследствие этого возможны соответственно как появление, так и потеря корней. Применение формул  «справа - налево» приводит к уравнению-следствию (его ОДЗ шире). В этом случае необходимо проверить принадлежность каждого из найденных корней ОДЗ исходного уравнения. Применение формул   «слева - направо» приводит к потере корней. Поэтому, чтобы избежать потери корней при использовании формул свойств логарифма  «слева - направо», следует применять более общие формулы, лишь расширяющие область определения.

,

,

, если р - четное число.

Пример.  

, ,,  

1)                                             2)

Ответ:

II способ:

 => =>   =>

  Буянова А. М.  (персональный идентификатор 213-573-506).

      =>  

Ответ:

V.Итог урока. Какие свойства логарифмов вы сегодня повторили?

Какие типы уравнений умеете решать?

Что нового узнали из докладов?

Объявить оценки за работу на уроке. Подвести итоги работы каждой группы учащихся.

Домашнее задание: № 175 страница 287.