Решение логарифмических уравнений и неравенств
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

"Решение логарифмических уравнений и неравенств",

учебный материал для урока алгебры в 11-м классе.

I.  Логарифмические уравнения. Теоретический материал.

1. Уравнения вида  logax = b, где x > 0, а > 0 и а ≠ 1 называются  логарифмическими.

После нахождения корней логарифмического уравнения необходимо проверить условие: подлогарифмическое выражение должно быть больше 0.

2. Основные виды логарифмических уравнений.

1) Простейшие логарифмические уравнения:  logax = b. Решение данного вида уравнений следует из определения логарифма, т.е. х = аb и х > 0

2) Уравнения вида logax = logaу. Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения:

3)  Уравнения квадратного вида log2ax + logax + c = 0. Уравнения решаются способом введения новой переменной и переходом к обычному квадратному уравнению.

4) Уравнения вида ax=b. Решаются логарифмированием обеих частей по основанию а.

5) Уравнения, которые, используя свойства логарифмов, можно привести к простейшим.

Решение логарифмических уравнений разного вида

1. Решение уравнений с помощью определения логарифма.

Пример 1

Пример 2

Пример 3

2.Решение уравнений с введением новой переменной  и переходом к квадратному уравнению.

Пример 4

 3.Логарифмирование  частей уравнения.

 Пример 5

 4.Применение свойств  логарифма.

Пример 6

Пример 7

Пример 8

II. Логарифмические неравенства

Если а > 1, то функция у = logax возрастает на всей своей области определения. Если же 0 < а < 1, то у = logax убывает на всей области определения. Это свойство функции используется при решении неравенств.

Пример 9

Пример 10

III. Задания из вариантов  ЕГЭ.

Уровень А

Уровень В

Уровень С

IV.Решение заданий  ЕГЭ.

Уровень А

1)

2)

3)

4)

5)

Уровень В

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Уровень С

1)

Сумма двух неотрицательных  выражений равна нулю, если каждое из выражений равно нулю. Приравняем первое выражение к нулю, решим логарифмическое уравнение, и его корни подставим во второе выражение для проверки.

2)

3)