Логарифмы. Логарифмическая функция. Решение логарифмических уравнений и неравенств
учебно-методический материал по алгебре (11 класс) на тему

Открытый урок по алгебре и началам анализа в 11-м классе "Логарифмы. Логарифмическая функция. Решение логарифмических уравнений и неравенств"

Вантеева Наталия Александровна, МАОУ «Лицей №36»

Разделы: Математика

Цель урока:

Развивающие:

Обобщение и систематизация знаний, умений и навыков; применение их в новых условиях; создание проблемной ситуации; учить самостоятельно добывать знания;

Актуализация опорных знаний совместного решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств, решение логарифмических уравнений и неравенств содержащие модуль;

Контроль и самоконтроль знаний, умений и навыков с помощью тестов;

Развитие умений сравнивать, обобщать, правильно излагать мысли;

Развитие логического мышления и интуиции при решении задач и умение работать в проблемной ситуации.

Воспитательные:

Воспитывать интерес к предмету, коллективизм, аккуратность, дисциплинированность, чувства собственного достоинства.

Оборудование:

Таблица со свойствами логарифмов.

Карточки-задачи ЕГЭ.

Тесты с бланками ответов.

Ход урока

I. Организационный момент.

Французский писатель Анатоль Франц (1844-1924 гг.) заметил:

 “Что учиться можно только весело…..

 Чтобы переваривать знания,

 надо поглощать их с аппетитом”

Последуем совету писателя – будем на уроке активны, внимательны, будем “поглощать” знания с большим желанием, ведь они скоро вам понадобятся при сдаче ЕГЭ.

Перед вами стоит задача – повторить свойство логарифмов, логарифмические функции, типы, методы и особенности решения логарифмических уравнений и неравенств.

II. Устный опрос.

Проводится в форме фронтальной работы с классом. Задания устного опроса можно разделить на две части: в первой части проверяются теоретические знания, а во второй части – умение применять эти знания на практике: при решении уравнений, неравенств и выполнении различных заданий. Ученики комментируют свой ответ.

1. Какие ассоциации можно составить с понятием логарифма? (определение логарифма, свойства логарифма, логарифмическая функция, логарифмические уравнения и неравенства, производная и первообразная)

Ученики отвечают и разбирают каждую ассоциацию.

2. Внимание! Проверь и обоснуй свой ответ:

а) 15 log10 =  (Верно, по основному тождеству логарифмов)

б) log3 7 + log3 2 = 2 (неверно, использовано свойство logа х + logа у = logа ху при а>0, a 1)

в) log x < 0, x>0 (это утверждение верно, только для x>1, а для 0

Привести примеры

г) “Докажем”, что 11>12:

11 > 12 lg 11 > lg 12 => 11 lg >12 lg  , значит 11>12. Найдите ошибку.

д) (ln (7 – 3x))1=   (верно, так как применяется правило производной сложной функции)

е) (log9 (5x + 2))1 =   (неверно, так как нужно перейти к логарифму по основанию е)

III. Самостоятельная работа (с последующей самопроверкой)

Каждому ученику раздается лист с заданием и пустой бланк ответов КИМ. Самостоятельная работа проводится в виде теста. Тест составлен в двух вариантах из 6 заданий – это для учащихся I и II группы (сильных и средних способностей) для учащихся III группы – В3 – тест состоит из 4 заданий. Решение записывают учащиеся в тетради, а бланк ответов сдают.

ВАРИАНТ I

А1 Значение выражения 9 log216 + 3 log15 11*5 log1511 равно

1) 35; 2) 21; 3) 47; 4) 11

А2 Найдите множество значений функции

y = 5 – log (x2 + 25)

1) [30; +);

 2) (- ;+);

 3) [7; +);

 4) (- ; 7]

A3 Найдите область определения функции:

f(x)= log (x2 – 64)

1) (- ;- 8 ) (8; +);

 2) (-8; 8)

 3) [-8; 8] 4) [8; +)

А4 Найдите сумму целых решений неравенства

log3 (7x – 6)  2, принадлежащих отрезку [-8; 6]

1) 24;

 2) – 2;

 3) 14;

 4) 18.

A5 Корень уравнения lgx = lg 36 + 1 – lg 6 принадлежит промежутку:

1) (25; 45)

 2) (50; 75)

 3) (78; 100)

 4) (120; 150)

А6 Найти производную функции y = lg (x3 – 3x + 11) + e5x

1) ; 2)

3)  4)

ВАРИАНТ II

А1 Значение выражения log2 0,032 + 3 log2 5 равно

1) 1;

 2) 2;

 3) 3;

 4) 4

А2 Найдите множество значений функции

y= 8 – log (x2 + 27)

1) [8; +);

 2) (- ;8];

 3) (- ; 11];

 4) [11; +);

A3 Найдите область определения функции:

f(x)= log (x – 3) log(x + 4)

1) (-4; +) 3) [-4; 3];

2) (3; +) 4) [3; +)

А4 Количество целых решений неравенства

log (log3 (x – 1) > 0, есть …

1) 2;

 2) 0;

 3) 3

 4) 5.

A5 Корень уравнения lgx = 2 + lg3 – lg5 принадлежит промежутку:

1) (10; 25); 2) (30; 45); 3) (50; 70); 4) (100; 150)

А6 Найти производную функции y = log13 (4x – x5) + ln 3x

1) ; 3)

2) ; 4)

Проверку самостоятельной работы провести по коду правильных ответов, представленных учителем.

Учащиеся проверяют друг у друга правильность выполнения заданий и выставляют оценки.

Критерии оценок

“5” - 6 правильно выполненных заданий;

“4” - 4-5 правильно выполненных заданий;

“3” - 3 правильно выполненных заданий;

“2” - менее трех правильно выполненных заданий

Код ответовВариант        А1        А2        А3        А4        А5        А6

I        3        3        1        4        2        2

II        2        4        2        1        3        1

IV. Работа по углублению знаний учащихся (подготовка к ЕГЭ). Нестандартные методы решения заданий (метод логического рассуждения, метод оценки, метод интервалов – граничных точек, метод обратной связи).

- Для отдыха учащихся разобрать два задания с помощью логического рассуждения учащихся.

1. На рынке продаются два арбуза разных размеров: один арбуз в обхвате на четверть больше другого, зато в полтора раза дороже. Какой арбуз выгоднее купить?

2. АВСДА1В1С1Д1 – куб с ребром 2 см. паук находится в центре грани АВВ1А1. Какую наименьшую длину может иметь путь паука по поверхности куба в вершину С?

Письменно (в тетрадях и у доски)

1) Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения:

log4 (x2 – 7x + 49) = log2 (2x – 7)

Решение: ОДЗ : х >3,5

Преобразим левую часть уравнения, воспользовавшись формулой logab =  получим

log2 (x2 – 7x + 49) = log2 (2x – 7)2,

x2 – 7x + 49 = 4x2 – 28x + 49,

3x2 – 21x = 0,

3x (x – 7) = 0

x = 0 или x = 7

так как ОДЗ x> 3,5 , то х=0 не является корнем.

Ответ: 7

2) Найдите наименьшее значение функции y = lg (x2 + 5x + 7,25) + 2 на отрезке [-3; 0]

Решение:

Функция, непрерывная на отрезке, принимает наименьшее значение в критических точках принадлежащих данному отрезку или на концах этого отрезка.

Вычислим производную данной функции

у1 = (lg (x2 + 5x + 7,25) + 2)1 =

Найдем критические точки, решив уравнение у1 = 0

2х +5 = 0

х = - 2,5

- 2,5 [-3; 0]

Вычисляя значения функции в критической точке и на концах данного отрезка, получим

y(-3) = lg (9 – 15 + 7,25) + 2 = 2 + lg1,25

y(0) = 2 + lg7,25 , y(-2,5) = lg (6,25 – 12,5 + 7,25) + 2 = 2 следовательно, наименьшее значение функции y = lg (x2m + 5x + 7,25) + 2 на отрезке [-3; 0] равно 2

Ответ: 2

3) Решите уравнение log(2x – 5) =

В ответе записать корень уравнения или сумму корней, если их несколько.

Решение:

Корни уравнения принадлежат промежутку (3; + ) , на котором определены обе функции уравнения.

Функция у = log(2x – 5), стоящая в левой части уравнения, монотонно убывает на промежутке (3; + ), так как основание логарифма 0<  < 1.

Функция у = , стоящая в правой части уравнения, монотонно возрастает на промежутке [3; + ). Поэтому уравнение не может иметь более одного корня. Заметим, что х = 3 является корнем данного уравнения. (Корень надо угадать)

Ответ: 3

4) Указать сумму целых решений неравенства lg < 1

Решение:

ОДЗ: x 2,5

Так как 1 = lg10, то lg < lg10, y = lgt – возраст.

Следовательно < 10,

-10 < 2x – 5 < 10,

-5 < 2x< 15,

-2,5 < x< 7,5 Целые решения -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Сумма целых решений равна 22.

Ответ: 22

V. Подведение итога урока.

1. Решите неравенство log0,5 (2 – 0,5x)  - 1

Варианты ответов: 1) [0;4) 2) (-; 0) 3) (4; + ) 4) (4; 6]

Ответы 1) и 2) отличаются от 3) и 4), например, значение х = 5. При этом значении аргумент логарифма 2 – 0,5х = - 0,5 , -0,5<0 и логарифм не определен. Поэтому ответы 3) и 4) сразу отпадают.

Ответы 1) и 2) отличаются значением х = 2. При х = 2 найдем значение log0,5 (2 – 0,5 * 2) = log0,5 1 = 0, 0  - 1 (верное неравенство)

Номер верного ответа 1).

2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

log2 (x + 1) = log2 (3x)

Варианты ответов: 1) (-; -1); 2) (-1; 0); 3) [-1;0] 4) (0; + ).

Функция логарифм определена только для положительного аргумента. Поэтому выражение 3х>0, откуда x>0. Этому условию удовлетворяет только промежуток 4).

Номер верного ответа 4).

VI. Задание на дом.

Решить уравнение log4 (x + 12) logx2 = 1

Найдите наименьшее значение функции у = 7е3+2х – 10,4 на отрезке [0; 1,5]

Найдите сумму длин промежутков, являющегося решением неравенства log 2x (x2 – 5x + 6) < 1