Уравнения с одной неизвестной
презентация к уроку по алгебре (9 класс) по теме

Слайд 1

Уравнения с одной переменной Целое уравнение и его корни Урок алгебры. 9 класс

Слайд 2

Правила Уравнения называются ЦЕЛЫМИ , если у них левая и правая части являются целыми выражениями (т.е. не содержат деления на выражения с переменными). ___________________________________ Всякое уравнение можно заменить равносильным ему уравнением , левая часть которого – многочлен стандартного вида, а правая – нуль. ___________________________________ Если уравнение с одной переменной записано в виде Р(х)=0, где Р(х) – многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения Примеры (3х+7) – 5 = 3х(3х+1) _____________________ (2х ²+ 1) ²-x³=1-3(x²-2)↔ 4х -x³+7x²+6=0 _____________________ Уравнение 4х -x³+7x²+6=0 является уравнением 4-й степени 4 4

Слайд 3

Устно №265

Слайд 4

Надо научиться решать уравнения n- й степени Р n ( х) =0 При n =1 имеем линейное уравнение ax +b=0? у которого 1 корень х=- b/a При n =2 имеем квадратное уравнение ax ²+bx+c= 0 (a≠ 0 ) Количество корней зависит от дискриминанта D=b²-4ac D>o – два различных корня; D=o – два одинаковых корня; D

Слайд 5

Уравнение n -й степени Р n ( х) =0 имеет не более n корней Для 3-й и 4-й степени существуют формулы для нахождения корней, но они очень громоздки и сложны. Для 5-й степени и выше формул нет (доказано в 19в. Нильсом Абелем и Эваристом Галуа) Уравнения 3-й; 4-й и выше степеней – уравнения высоких степеней

Слайд 6

КАК РЕШАТЬ? ?

Слайд 7

Разложение на множители Замена переменной Графический способ Три основных приёма :

Слайд 8

Пример1. х ³+2x²-x - 2= 0 x² (х+2) – (х+2)=0 (х+2)( x² -1)=0 (х+2)(х-1)(х+1)=0 х=-2; х=-1; х=1

Слайд 9

Пример2. 6х ²(x-1)-x²+x-2x+=0 6х ²(x-1)- (х ²-x)-(2 х -2)=0 6х ²(x-1)- х(х - 1 )- 2 ( х - 1 )=0 (х-1)( 6х ² - x- 2)=0 х=1; х=2/3; х=-1/2

Слайд 10

Кубическое уравнение – алгебраическое уравнение третьей степени. Общий вид кубического уравнения: ax³+bx²+cx+d=0 , где a≠0 Заменяя в этом уравнении х новым неизвестным у , связанным с х равенством у= х-( b /3а), кубическое уравнение можно привести к более простому(каноническому) виду: y³ + py+q=0 , где p=-b²/3a²+c/a, q=2b/27a³-bc/3a²+d/a

Слайд 11

Решение кубического уравнения можно получить с помощью формулы Кардано : Если Если >0 , то кубическое уравнение имеет 3 различных корня(один действительный, а два других – сопряжённые комплексные) <0 , то все три корня действительные и различные

Слайд 12

Биквадратное уравнение ах + bx²+c=0 4 Решаются заменой переменной у=х ² ау ²+by+c=0

Слайд 13

Пример3. 4х - 5х ² + 1=0 у=х ² 4у ² -5у+1=0 у=1; у=1/4 х=-1; х=1; х=1/2; х=-1/2 4

Слайд 14

Пример4. (х ²-2x)²-4(x²-2x)+3=0 у= (x²-2x ) у ² -4у+3=0 у=1; у=3 х ² -2х=1 х ² -2х=3 х ² -2х-1=0 х ² -2х-3=0 х=1-√2; х=1+√2; х=-1; х=3

Слайд 15

Пример5. (х ² +4х+3)( х ² +4х+1)=48 у= ( х ² +4х+1) у(у+2)=48 у ² +2у-48=0 у=-8 у=6 х ² +4х+1=-8 х ² +4х+1=6 х ² +4х+9=0 х ² +4х-5=0 корней нет х=-5; х=1

Слайд 16

Пример 6. (х-1)(х+1)(х+3)(х+5)=105 При решении этой задачи важно сообразить, что (х-1)(х+5)=х ²+4x - 5 , (х+1)(х+3)= х ²+4x +3 . Поэтому изменив порядок умножения сомножителей в исходном уравнении, получим: ( х ²+4x - 5 )( х ²+4x +3)=105. Далее решаем вводом новой переменной у= х ²+4x - 5 и получим уравнение у(у+8)=105 , корни которого у 1 =-15 и у 2 =7. Решим уравнения х ²+4x - 5 =-15 (корней не имеет) и х ²+4x - 5 =7 ( корни х 1 =-6 и х 2 =2 )

Слайд 17

Пример 7. (х ²+3x-8)²+ 2 x (х ²+ 3 x-8)-3 х ²=0 Многочлен, который стоит в левой части уравнения, легко свести к однородному многочлену двух переменных, если ввести замену у= (х ²+ 3 x-8) . Тогда уравнение примет вид: y²+2xy-3x² = 0 . Решим его как квадратное по переменной у ,

Слайд 18

y²+2xy-3x² = 0 D= у= у= у=-3х и у=х.

Слайд 19

Возвращаясь к переменной х , имеем два уравнения: х ²+ 3 x-8 =-3х и х ²+ 3 x-8 =х (корни х=-3- √ 17 и х=-3+ √ 17 ) (корни х=-4 и х=2)

Слайд 20

Решите уравнение: № 272(а) y³-6y=0 y(y²-6 ) =0 Ответ: у=0, у=-√ 6, y=√6

Слайд 21

Решите уравнение: № 272(д) 9х ³-18x²-x+2 = 0 (9х ³-18x² ) - ( x - 2 ) =0 9 x² (х - 2) - ( x - 2 ) =0 ( x - 2 ) ( 9 x² -1) =0 ( x - 2 ) ( 3х-1)(3х+1) =0 Ответ: х=-1/3, х=1/3, х=2

Слайд 22

Решите уравнение: № 276(а) (2х ² +3) ² – 12(2х ² +3)+11=0 Заменим (2х ² +3) = h , имеем h²-12h+1 = 0

Слайд 23

Решите уравнение: № 278(а) х – 5х ² -36=0 4

Слайд 24

Теорема Безу.

Слайд 25

Преподавал математику в Училище гардемаринов (1763) и Королевском артиллерийском корпусе (1768). Основные его работы относятся к алгебре (исследование систем алгебраических уравнений высших степеней, исключение неизвестных в таких системах и др.). Автор шеститомного «Курса математики» (1764—1769), неоднократно переиздававшегося. Этье́нн Безу́ ( фр. Étienne Bézout ; 31 марта 1730 , Немур — 27 сентября 1783 , Бас-Лож близ Фонтенбло ) — французский математик, член Парижской академии наук ( 1758 ). НадгробиеЭтьенна Безу

Слайд 26

Любой многочлен R(x) можно представить в виде: P (x)= (х-а)  Q (х) + r , где r = P ( a ) Пример 1 . Найти остаток от деления х -6х +8 на х+2 4 3

Слайд 27

Теорема Безу . Если уравнение а х + a x + … + a x+a = 0 , где все коэффициенты целые, имеет целые корни, то это делители свободного члена. Пример 2. Решите уравнение х ³ -8х ² +19х-12=0 0 0 n 1 n-1 n -1 n

Слайд 28

х ³ -8х ² +19х-12=0 Свободный член – 12 имеет делители  1,  2,  3,  4,  6,  12. При x=1 значение многочлена равно 0 . Это означает, что 1 является корнем уравнения, а х ³ -8х ² +19х-12 делится на (x-1) . Выполнив деление, получим уравнение х ² -7х+12=0 , решая которое, получим что x =3 или x =4. Ответ: 1; 3; 4.

Слайд 29

Решение задач. 1) Решить уравнения: а) х ³ -3х ² -4х+12=0, б) х ³ +4х ² +5х+2=0, в) х +4х ³ +х ² -12х-12=0, г) х +4х ³ -х ² -16х-12=0. 4 4

Слайд 30

Решим уравнение с помощью теоремы Безу: х ³ -6х ² +11х-6=0

Слайд 31

Можно не делить многочлен на двучлен, а воспользоваться схемой Горнера Метод назван в честь Уильяма Джоржа Горнера(анл.) α 1 -6 11 -6 1 1 -6+1*1= -5 11+1*(-5)= 6 -6+1*6= 0 х ³ -6х ² +11х-6=0 Делителями свободного члена являются: -1;+1; -2; +2; -3; +3; -6; +6 т.о. х ³ -6х ² +11х-6=(х-1)(х ² -5х+6)=0

Слайд 32

Решить уравнение: х ³ -5х+4=0 х ³ -3х+2=0 4: на +/-1;+/-2; +/-4 1 -5 4 1 1 -4 0 х ³ -5х+4=(х-1)(х ² +х-4)= 0

Слайд 33

Возвратные уравнения Рассмотрим уравнения: x³-3x²-3x + 1 = 0 3х -7х ³+x²-7x+ 3 =0 -х ³+5x²+5x-1=0 Все три уравнения объединяет то, что коэффициенты равноотстоящие от начала и конца левой части уравнения равны . Такие уравнения называются возвратными . 4

Слайд 34

КАК РЕШАТЬ? ?

Слайд 35

Рассмотрим методы решения возвратных уравнений 3-ей и 4-ой степени. В общем виде возвратное уравнение 3-ей степени имеет вид (3) Сгруппируем первый и последний, второй и третий члены, вынесем общие множители, тем самым, разложив левую часть уравнения (3) на множители:

Слайд 36

Тогда уравнение (3) примет вид полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений , , решая первое уравнение получаем один из корней уравнения (3) другие корни, если они есть, находят, решая второе уравнение. Заметим, что (-1) является корнем любого возвратного уравнения 3-ей степени .

Слайд 37

Рассмотрим возвратное уравнение 4-ой степени (4) Так как , то не является корнем этого уравнения. Поэтому, если разделить обе части уравнения на то получим уравнение: равносильное данному.

Слайд 38

Полученное уравнение можно решить уже знакомым нам методом замены переменной. Пусть ,тогда , откуда получаем, что и уравнение (4) примет вид

Слайд 39

Решив это уравнение, найдем его корни t 1 и t 2 Теперь чтобы найти корни уравнения (4) необходимо решить два уравнения и Пример. Решить уравнение

Слайд 40

Решение. Имеем возвратное уравнение 4-ой степени. Разделим обе части уравнения на х ² , проведем группировку слагаемых и вынесем общие множители за скобки, получим уравнение Введем новую переменную , тогда подставляя новую переменную в уравнение, получим уравнение:

Слайд 41

Решая это уравнение, получим и Для нахождения корней первоначального уравнения решим дробно-рациональные уравнения решение которых сводится к решению двух квадратных уравнени й и Корни этих уравнений являются корнями первоначального уравнения:

Слайд 42

Решить уравнения: 5х ³-4x²-4x+5=0

Слайд 43

Решить уравнения: 2x -5x³+4x²-5x+2=0 4

Слайд 44

Однородные уравнения Одноро́дным уравнением n-й степени, называется дифференциальное уравнение вида: Такое уравнение заменой сводится к алгебраическому уравнению n -ой степени:

Слайд 45

Примеры однородных уравнений: sin х — cos х = 0, 3(х ² +5) ² +4(х ² +5)(х-7)-7(х-7) ² =0 (х-3)+4(х+3)=5(х ² -9) ² ↔ (х-3)+4(х+3)=5(х-3) ² (х+3) ² 4 4 a·sin ² x + b·sin x ·cos x + c·cos ² x = 0 a·sin ³ x + b·sin ² x ·cos x + c·sin x ·cos ² x + d·cos ³ x = 0 Степень каждого слагаемого одинакова! Эта сумма называется степенью однородного уравнения. Рассмотренные уравнения имеют соответственно первую, вторую, третью и четвёртую степень. 4 4

Слайд 46

КАК РЕШАТЬ? ?

Слайд 47

(х-3)+4(х+3)=5(х-3) ² (х+3) ² Разделим обе части уравнения на (х-3) и сделаем замену t =((х+3):(х-3)) ² Получим равносильное уравнение: 1 +4 t ²=5t , корни которого равны: t=1 ; t=¼ Сделаем обратную замену 4 4 4 1 ¼ Решим относительно х: Х=0 Х=-1 Х=-9

Слайд 48

Итоги урока: Какие уравнения называются уравнениями высоких порядков? Что значит решить уравнение? Сколько корней может иметь уравнение высоких порядков? Какие основные способы решения уравнений высоких порядков?

Слайд 49

Задание на самоподготовку: п.12. № 272(б,е); 276(б,г); 278(б,д).