План-конспект урока математики в 6 классе "нахождение НОД двух чисел
план-конспект урока по алгебре (6 класс) на тему

                                           Вступительная часть

         Одной из важных целей математического обучения является «овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности» (из Программы общеобразовательных учреждений), поэтому изучение нового материала предпочитаю строить на решении задач с конкретным практическим содержанием.     Задачи, как известно, играют важную роль в организации учебно-воспитательного процесса, являясь  и целью, и средством обучения и математического развития школьников. В данном конкретном случае в процессе решения задач школьники лучше усвоят понятие НОД (наибольшего общего делителя) двух и более натуральных чисел. Усвоение алгоритма нахождения НОД позволит им в дальнейшем  успешно сокращать дроби, а также находить НОК по формуле: НОК (а;в)=

   Нахождение НОД  с помощью алгоритма Евклида не входит в общеобразовательную программу по математике, однако этот способ отыскания НОД  следует показать в классе с преобладающим числом мотивированных учащихся.  

       Так как математике принадлежит ведущая роль в формировании алгоритмического мышления, воспитания умения действовать по заданным алгоритмам, то данный урок отвечает  также и  этой цели.

                                         Сценарий урока   математики в 6 классе

                                   по теме «Наибольший общий делитель»

Цели урока:

-  на примере решения практических задач ввести понятие наибольшего общего делителя двух натуральных чисел;

-дать алгоритм нахождения наибольшего общего делителя;

-познакомить с алгоритмом Евклида;

-формировать навыки математической культуры

Оборудование: медиапроектор, компьютер, экран

                                                  Ход урока

1. Орг.момент (проверка готовности учащихся к уроку)
2. Устная работа:

1)Вычислите:

а)     0,7∙10             б)     5:10            в)  4-0,8

                :2                    ∙0,2                    :0,8

             -0,3                      +2                      :10

             :0,4                     :0,7                    ∙0,5

                 ?                          ?                         ?

  3. Актуализация базовых знаний         

1)Вопросы:

- что называют делителем числа а?

- какое число называют простым?

-что значит «разложить число на простые множители»?

- сформулируйте признаки делимости на 2, 3, 4,5, 6 9,10;

- приведите пример однозначного составного числа;

- верно ли, что число 77-простое?

2)а) Разложите на простые множители числа:875 и 8000.

  ( На примере числа 8000 повторить более простой способ разложения на простые множители чисел, оканчивающихся нулями: так как 10=2∙5, то 8000==2·5·2·5·2·5·2·2·2=26 ·53)

б) найдите значение выражения: (3∙3∙5∙11):(3∙11). Какой вывод можно сделать?

в) Найдите значение выражения 453:4. Какой вывод можно сделать? Ответ записать в виде а = bq + r,  a будет делимым, а b – делителем. Пусть частное равно q, а остаток r, причем q может быть как натуральным числом, так и нулем. Любым ли числом может быть r?

г) почему, если одно число можно разложить на 2 простых множителя, а другое на 3 простых множителя, то эти числа не равны?

Д)каким числом: простым или составным является произведение двух простых чисел?

   4. Изучение нового материала

Класс разбивается на 4 группы и каждой группе предлагается решить задачу

(6 мин)

1)1 группа: «Из 156 чайных, 234 белых и 390 красных роз сделали букеты. Причем во всех букетах роз каждого вида было поровну и число таких букетов было больше 50. Сколько букетов сделали из этих роз и сколько роз каждого вида было в одном букете?».

2 группа: « В класс привезли учебники: по математике 24, по истории 36 и по географии 48. Какое наибольшее число комплектов можно составить из этих книг так, чтобы в каждом было одинаковое число книг по математике, истории и географии? По сколько книг будет в каждом комплекте?»

3 группа: « Для учащихся первых классов приготовили одинаковые подарки. Во всех подарках было 120 шоколадок, 280 конфет, и 320 орехов. Сколько учащихся в первых классах, если известно, что их больше 30?».

4 группа: «Ребята получили на новогодней елке одинаковые подарки. Во всех подарках вместе было 123 апельсина и 82 яблока. Сколько ребят присутствовало на елке? Сколько апельсинов и сколько яблок в каждом подарке?

2)По истечении времени обсуждаем  решение.

 Вопросы учителя:

- как решали задачу?  как искали число, удовлетворяющее вопросу задачи?

-чем  является в задаче ответ? (ребята формулируют, что полученное в ответе  число является делителем каждого из чисел, имеющихся в  условии задачи, а значит, их общим делителем. И второе: согласно вопросу задачи  из общих делителей необходимо  выбрать наибольший)

 3) Формулируется определение НОД двух натуральных чисел.

Для поиска НОД натуральных чисел существуют различные алгоритмы:

• Если данные числа сравнительно невелики, то лучший алгоритм – непосредственный перебор.
• Если числа достаточно большие, то нахождение НОД(а;в) путем перечисления всех делителей чисел а и в - процесс трудоемкий и ненадежный и тогда НОД(а;в)  находится с помощью разложения чисел на простые  множители.

4) Далее предлагается учащимся найти в учебнике правило нахождения НОД и обращается внимание  на Приложение ,( слайд1)

5. Воспроизводящее закрепление 

1)Тренировочные упражнения с последующей проверкой Приложение, (слайд 2)  2)На  конкретном примере учитель показывает алгоритм нахождения

НОД (320;240)    

3) Выполнить №139(в),  №140а), №141в)- на доске и в тетрадях.

6. Алгоритм Евклида

        Учитель: изученный способ отыскания НОД(а, в) прост, понятен и удобен, но у него есть существенный недостаток: если данные числа велики, да еще не очень легко раскладываются на множители, то задача отыскания НОД(а, в) становится довольно трудной. К тому же может оказаться, что, основательно потрудившись, мы убедимся, что НОД(а, в)=1 и вроде вся работа проделана зря.

       Евклид нашел замечательный способ отыскания НОД(а,в) без какой бы то ни было предварительной обработки чисел. Приложение,( слайды 3 и 4)

  Познакомимся с алгоритмом Евклида. Пусть требуется найти НОД(102;84). Разделим одно число на другое и определим остаток.

102=84*1+18                   0 <18<84

Теперь проделаем такую же операцию для чисел 84 и 18:

84=18*4+  12                   0 <12<18

Следующий шаг- для 18 и 12:

18=12*1+6                        0  <6<12

Теперь -для 12 и 6:

12=6*2+0                   0-остаток. Процесс закончился.

        Этот процесс не может быть бесконечным, потому что остатки убывают, оставаясь неотрицательными целыми числами, множество которых, как известно, ограничено снизу:

           84 >18 >  12> 6 >0

      Если присмотреться к записанным равенствам, то можно установить, что НОД

 всех пар чисел равны между собой.  Действительно, если с – произвольный общий делитель чисел а и b, то r = a – bq делится на c; и наоборот, если с – произвольный общий делитель чисел b и r, то а делится на с. То есть, все общие делители пар (а; b) и (b; r) совпадают, а значит, совпадают и их наибольшие общие делители то есть НОД(102;84)=НОД(84;18)=НОД(18;12)=НОД(12;6)=6. Но число 6-последний, не равный 0 остаток.

       Таким образом, наибольшим общим делителем двух чисел является последний,   не равный 0 остаток  при делении большего числа на меньшее,  то есть если a = bq + r, то н.о.д.(a; b) = н.о.д.(b; r) 

Впоследствии этот алгоритм стали называть алгоритмом Евклида.

    Данный алгоритм позволяет находить НОД чисел, не разлагая их на множители. (Приложение, слайд 5)

Целесообразно рассмотреть пример. Пусть надо найти НОД (323 и 437). Сделать это подбором или разложением на простые множители не просто, так как ни одно из этих чисел не кратно 2, 3, 5, 7, 11. Поступаем следующим образом (комментарий):

437 = 3231 + 114;

323 = 1142 + 95;

114 = 951 + 19;

95 = 195.

НОД.(323; 437) = 19

  Упражнение: Найти НОД(458;252) и НОД(1920;1536).

    Нахождение НОД с помощью алгоритма Евклида можно еще более упростить и представить в виде таблицы. С этой формой предлагается учащимся познакомиться на следующем уроке.

7 .Итог урока проводится по основным вопросам, изученным на уроке:

1)Что называют НОД  2-х или нескольких чисел?

2) Как найти НОД  2-х или нескольких чисел?

3)Где применяется алгоритм Евклида?

4) В чем он заключается?

8. Задание на дом.

-п.6: выучить определения и алгоритм нахождения НОД,  определение взаимно-простых чисел,

-№161а), №162а)(двумя способами),

-задача «На станции стоят 3 пассажирских поезда: в первом-418 мест в купейных вагонах, во втором-494, а в третьем -456. Сколько купейных вагонов в каждом поезде, если в каждом вагоне одинаковое число мест и их число больше 20?»,

- задача «Лист картона со сторонами 54см и 36 см надо разрезать без отходов на равные квадраты. Найдите площадь наибольшего квадрата, который можно получить из этого листа»(для сильных).

Используемая литература:

1.// Программа по математике для общеобразовательных учреждений, 2008г.,

2.// Математика, 6 класс, учебник, Н.Я. Виленкин, Москва, Мнемозина,2009г.

3.// За страницами учебника алгебры, Л.Ф. Пичугин, Москва, Просвещение, 1990г

4//2600 тестов и проверочных заданий по математике для школьников и поступающих в Вузы, Москва, издательский дом «Дрофа»,1999г.

5.// Сборник задач и примеров по математике. 5-6 класс, Н.А.Терешин, Т.Н.Терешина, Москва, «Аквариум»,1997г