Производная и ее практическое применение
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

   Очень часто ученики при изучении той или иной темы задают вопрос, зачем это нужно, как это может пригодиться в жизни. Поэтому в своей практике я хотя бы несколько уроков провожу таким образом, чтобы ребята увидели не только абстрактные вычисления, но и практическое применение. Обычно такие уроки проходят в группах.

Производная и ее практическое применение

                                                                                    Рано или поздно всякая  математическая

идея находит применение в том или ином

                       деле.

А. Н. Крылов    

Цели урока:

Обучающие: повторить и систематизировать подходы к решению задач различного уровня сложности, проверить готовность учащихся к экзамену по этой теме.

Развивающие: учащиеся умеют находить ошибки, анализировать.

Воспитывающие: умение работать в коллективе, способность принимать решения и нести за них ответственность, способность к самоанализу.

Ход урока:

1. Организационный момент (вступительное слово учителя)

Сегодня на уроке мы подведем итог большой работе, которую мы с вами проделали, изучая важную тему математического анализа «Теория дифференциального исчисления». Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной функции. Первое, с чем вы столкнетесь в институте при изучении высшей математики, будет дифференциальное исчисление. Поэтому мне хотелось бы, чтобы сегодня все полученные вами знания по этой теме обрели систему. И, конечно же, это вам пригодится при сдаче выпускных экзаменов. А сейчас несколько слов из истории.

2. Историческая справка (готовит ученик)
3. Устная работа с понятиями и определениями

• Дайте определение производной
• Физический смысл производной
• Геометрический смысл производной
• Найдите значение производной в данной точке

• Дайте определение критических точек
• Виды критических точек
• Начертите, как ведет себя график функции в каждой из этих точек

• Почему крайнюю точку области определения нельзя считать критической
• При каком условии функция возрастает(убывает) (функция возрастает (убывает), если ее производная принимает значения больше(меньше) нуля и конечное число раз принимает значение, равное нулю)
• Изображен график производной функции. По графику ответить на вопросы: а) количество точек максимума;

б) количество точек минимума;

в) число промежутков возрастания;

г) число промежутков убывания;

д) точки перегиба.

• По графику производной можно проследить, как ведет себя сама функция. Давайте восстановим схему графика.

4. Работа по группам

Каждая группа получает аналогичное задание, которое должна будет выполнить(проверить можно с помощью интерактивной доски или же, если нет таковой, с помощью кодоскопа )

5. Проверка домашнего задания

    Человеку постоянно приходится решать задачи на управление различными процессами. Много задач выдвигают экономика, различные науки и повседневная жизнь. Каждый раз, когда такая задача встает перед человеком, он старается из всех возможных решений выбрать наилучшее, т.е. оптимальное. В этих поисках и помогает математика. Задачи на экстремумы-оптимумы разнообразны по своему содержанию, форме и приемам решения, но, несмотря на это разнообразие, их объединяет одна особенность – поиск наиболее выгодного в определенных отношениях, наиболее экономичного, наименее трудоемкого, наиболее производительного. Этот поиск можно кратко назвать поиском наилучшего.

   Вам были даны на дом задачи на экстремумы-оптимумы. Вы их решали, обсуждали в группах их решение, и должны были выбрать из всех самую интересную с практической точки зрения задачу. И теперь каждая группа представит нам решение своей задачи.

   1 группа

Бригада рыболовов планировала выловить в определенный срок 3840ц рыбы, вылавливая ежедневно одно и то же количество центнеров рыбы. В течение  этого срока был шторм, вследствие чего ежедневное плановое задание недовыполнялось на 20ц. однако, в остальные дни, кроме последнего, бригаде удавалось вылавливать на 20ц больше дневной нормы. В последний день рыбаки не вышли в море из-за сильного шторма. Какое максимальное количество центнеров рыбы могла выловить бригада в установленный срок при таких погодных условиях?

     А(t) =  +  ;    х = 160 ;   А(t) = 3500ц

   2 группа

  Некто нанял пароход для перевозки груза на расстояние в 1000 км. Он предлагает хозяину плату в размере 1500 золотых монет, но требует вернуть 9 золотых монет за каждый час пребывания парохода в пути. предполагается, что пароход будет двигаться с постоянной скоростью. При этом в конце пути хозяин обязан выплатить команде заработную плату в золотых монетах, количество которых должно равняться удесятеренной скорости движения парохода. Какое максимальное количество золотых монет может заработать хозяин парохода за этот рейс?

      С(х) = 1500 -  - 10х ;       х = 30 км/ч ;   С(х) = 900 монет

   3 группа

   Для конструкторского бюро строится комната в форме прямоугольного параллелепипеда, одна из стен которого стеклянная, а остальные три из обычного материала. Высота комнаты должна равняться 4 м, а площадь пола 80 м2. Известно, что1 м2 стеклянной стены стоит 750 руб, а обычной – 500 руб. какова наименьшая общая стоимость (в рублях) постройки четырех стен комнаты?

      Sбок = Росн ∙ Н;  S(х) = 8(х + );  С(х) = 4х∙ 750 + 3∙4∙∙500; С(х) = 3000х + ; х = 4 ; С(х)  80000 руб.

6. Работа по группам (решение задач с параметрами)

1 группа

При каком наименьшем натуральном значении а функция  f(x) =  - 2х2 + 3х + 1 возрастает на всей числовой прямой? (а = 2)

 2 группа

Найдите наименьшее целое значение а, при котором функция  убывает на всей числовой прямой  f(х) =  +  - 9ах      (а = 1)

 3 группа

 Найдите наибольшее целое к, при котором функция f(х) = х3 – кх2 + 4кх + 5 не имеет экстремумов.   (к = 12)

(Пока представители групп готовятся отвечать, чтобы время не пропадало, группы решают следующие задачи)

 1 группа : Найти точку максимума функции f(х) =  ∙ х4   (х = - 1)

 2 группа  : Найти точку минимума функции f(х) = х3 ∙    (х = - 3)

 3 группа : Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции             f(х) =  - х    параллельна прямой у = х + 1   (х = 0)

7. Работа с классом

Задачи. 1. Тело движется по закону S(t) = 3t3 – 12t2 + t +47. Определите скорость в произвольный момент времени.

             2. Материальная точка движется со скоростью v(t) =2t2 – 3t. Найдите закон изменения пути от времени.

Таким образом, мы пришли к тому, что по производной искали саму функцию. Операцию, обратную дифференцированию, называют интегрированием. Этим мы и будем заниматься на последующих уроках.

8. Итог урока(консультанты групп анализируют работу группы, выставляют отметки, делают выводы об уроке)

Я думаю, что вы поняли необходимость изучения темы «Производная » , увидели, как это может пригодиться на практике, и надеюсь, что знания, полученные в школе, пригодятся вам в жизни.

Спасибо за урок.