Курсовая работа на тему: "Элементы математической логики: умозаключения"
материал на тему

Содержание

Введение………………………………………………………………………..….3

1.Умозаключение как логическая операция…………………………………….5

1.1Структура и виды умозаключений…………………………………………...5

1.2Аналогия……………………………………………………………………....12

2.Аналогия в начальном курсе математики…………………………………....17

2.1Анализ учебников математики по системе Л. В. Занкова………………....17

2.2 Анализ учебников математики в рамках образовательной системы   «Д.Б.Эльконина-В.В.Давыдова»……………………………………………..…21

Заключение……………………………………………………………………....26

Список использованных источников…………………………………………..27

Введение

Методы и приемы обучения младших школьников в процессе усвоения новых знаний неразрывно связаны с построением различных рассуждений. Любое рассуждение состоит из цепочки умозаключений. В математической логике выделяются основные виды умозаключений: дедуктивные, индуктивные и по аналогии. Умение строить умозаключения необходимо в ходе изучения любого предмета, однако на уроках математики формирование таких умений наиболее перспективно, что обусловлено абстрактным содержанием этого предмета. Необходимость строить умозаключения возникает на каждом этапе формирования математических понятий и представлений о них, в ходе анализа текстовых задач, при решении уравнений и т;д.

В условиях вариативности начального образования для формирования умений строить умозаключения важно учитывать основные концептуальные положения той или иной программы, содержание курса математики, методы обучения.

Актуальность исследуемой проблемы

Объект – умозаключение как форма мышления.

Предмет – виды умозаключений, используемые в начальном курсе математики

Цель – проанализировать определение, структуру умозаключения и его виды, используемые в начальном курсе математики.

Задачи:

1. Выявить теоретические аспекты формирования умений строить умозаключения младшими школьниками в курсе математики.

2. Проанализировать учебники математики по системе Л. В. Занкова с целью выявления вида умозаключения – аналогии, необходимой для изучения начального курса математики.

3. Проанализировать учебники математики по системе Д.Б.Эльконина-В.В.Давыдова с целью выявления вида умозаключения – аналогии, необходимой для изучения начального курса математики.

Методы исследования: анализ научной, и учебной литературы.

Структура курсовой работы состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

1. Умозаключение как логическая операция

1. 1.1 Структура и виды умозаключений

Основная задача в математике заключается в обучении школьников правильно мыслить и рассуждать. А.А.Столяр говорил, что «мыслить – значит рассуждать, т.е. получать новые знания (истину) из уже имеющихся с помощью определённых правил рассуждений, гарантирующих истинность новых знаний при условии истинности исходных посылок» [16].

В математике не каждое рассуждение является доказательством, но на примере последнего ученики учатся строить рассуждения. А.Я.Хинчин утверждает, что приучение школьников к полноценной аргументации, основаиной на достоверных рассуждениях, играет роль главной воспитательной функции математического образования вообще: «В математике не может быть «наполовину доказанных» и «почти доказанных» утверждений: полноценность аргументации такова, что никакие споры о правильности доказываемого утверждения более невозможны, либо аргументация вообще отсутствует» [17].

Г.И. Саранцев, анализируя цели математического образования, заключает: «Обучать математике значит обучать доказательству» [15, с. 31]. Доказательство представляет собой логическую цепочку суждений. В начальном курсе математики формируются такие элементы доказательства, как обоснование, аргументация и опровержение, составляющих рассуждения младших школьников на уроках математики.

Построение достоверных рассуждений основано на определённых законах логики. Поэтому знакомство с основными их видами на уроках математики позволяет младшим школьникам более обдуманно и грамотно подходить к обоснованию и аргументации своих рассуждений. Правильное рассуждение представляет собой дедуктивную цепочку умозаключений, которые в свою очередь строятся из взаимосвязанных суждений с учётом определённых логических правил.

В логике отмечают, что процесс умозаключения невозможно осуществить без понятий и суждений равно, как и образование понятий и суждений о них невозможно без умозаключения [11. с. 59]. Иначе говоря, не только при доказательстве используются умозаключения, но и весь процесс обучения пронизан построением различных умозаключений, имеющих огромное значение в процессе познавательной деятельности учащихся.

Какие же умозаключения необходимо уметь строить младшим школьникам в курсе изучения математики? Что такое умозаключение? Для ответа на эти вопросы рассмотрим логическое определение умозаключения, его структуру и условия получения верного утверждения в ходе умозаключения.

Умозаключение с точки зрения логики – это форма мышления, в которой из одного или нескольких истинных суждений на основании определенных правил вывода получается новое суждение, следующее из них с определенной степенью вероятности.

Большая часть всего имеющегося знания носит выводной характер, т.е. получается в процессе умозаключения. Поэтому умозаключение еще определяется как логический прием (или операция) по получению новых знаний (нового суждения). Этот прием используется и при формировании понятий, и при изучении правил и их обоснований, и при решении текстовых задач. Обучение выведению следствий из данных суждений способствует формированию правильного мышления вообще. Следовательно, требуется определить условия построения правильного умозаключения.

Следует отметить, что все умозаключения делятся на дедуктивные, индуктивные и умозаключения по аналогии. Все эти виды умозаключений используются в обучении математике, однако, последние два позволяют получать суждения лишь с определенной степенью вероятности.

В математической логике умозаключения, в результате которых получаются всегда достоверные (истинные) суждения, называются дедуктивными. Построение дедуктивных умозаключений основано на законах логики в соответствии с определенными правилами (схемами), которые фиксируют их структуру. Структура всякого умозаключения включает посылки, заключение (и то и другое — некоторые суждения) и логическую связь между ними. Переход от посылок к заключению называется выводом. Если вывод получен из истинных посылок, то его называют логическим следованием.

В связи с этим, правильность дедуктивных умозаключений зависит от двух факторов: 1) от истинности посылок; 2) от правил вывода, основанных на логических законах следования. Эти правила фиксируют логическую форму умозаключения, которая в математической логике записывается в виде формулы и называется логическим законом.

Одна из учебных задач начального курса математики состоит в обучении школьников различным видам умозаключений. Эта задача решается на протяжении всех лет обучении в школе [11, с.60].

Цепочка умозаключений, выполняемых с определенной целью на конкретную тему, выполняется рассуждением.

В математике все предложения, за исключением исходных аксиом, как правило, доказываются дедуктивно. Никаких других доказательств математика не принимает. В начальных классах дедукция также используется.

Дедукция (лат, deductio – выведение) - в широком смысле слова - такая форма мышления, когда новая мысль выводится чисто логическим путем (по законам логики) из предшествующих мыслей. Такая последовательность мыслей называется выводом, а каждый компонент этого вывода является либо ранее доказанной мыслью, либо аксиомой, либо гипотезой. Последняя мысль данного вывода называется заключением. Процессы дедукции на строгом уровне описываются в исчислениях математической логики [12, с.63]

Дедуктивное умозаключение, являющееся предметом традиционной логики, применяется нами всякий раз, когда требуется рассмотреть какое - либо явление на основании уже известного нам общего положения и вывести в отношении этого явления необходимое заключение.

Структура дедуктивного умозаключения и принудительный характер его правил, заставляющих принять заключение, логически вытекающее из посылок, отобразили самые распространенные отношения между предметами материального мира: отношения рода, вида и особи, то есть общего, частного и единичного. Именно это и отобразилось в дедуктивном умозаключении: единичное и частное подводится под общее [18, с. 35].

Анализируя практику мышления, можно обнаружить самые разнообразные виды умозаключений. Они различаются:

          1.      числом посылок - одна, две и более;

1.  типом суждений - простое или сложное;
2.  видом суждений - атрибутивное или реляционное;
3. степенью вероятности вывода - достоверный или вероятный.

Всякое умозаключение вообще представляет собой логическое следование одних знаний из других, в зависимости от характера этого следования, от направленности хода мысли в умозаключении. Можно выделить три коренных, фундаментальных типа, которые и будут положены в основу последующего анализа выводного знания. Это дедукция, индукция и традукция [19, с. 98].

Наряду с делением умозаключений по строгости вывода огромное значение имеет их классификация по направленности логического следования, то есть по характеру связи между знанием различной степени общности, выраженному в посылках и заключении.

В современной логике известны достаточно сложные и разнообразные правила построения умозаключений. Одни из них получаются посредством преобразования одной посылки. Другие, наоборот, состоят из более трех суждений, называемых сложными силлогизмами. Однако, как отмечается А.Д. Гетмановой, Г.И. Саранцевым, Л.П. Стойловой и другими методистами, при изучении математики целесообразней использовать так называемые условные или условно-категорические умозаключения [15]. Подобные умозаключения дают выводы, основанные на логических связках между суждениями. Эти суждения могут быть условными (т.е. в форме «если...то») и категорическими (с кванторами).

Приведем правила построения основных дедуктивных умозаключений, используемых в школе при обучении математике. К условным можно отнести умозаключение, построенное по следующему правилу:

А(х)=>В(х),В(х)=>С(х)                                                         (1)

        А(х) => С(х)

Над чертой, как правило, даются общие посылки (исходные суждения), а под чертой - вывод (их логическое следование), сама черта заменяет слово «следует»

Посылки и заключение этого умозаключения сформулированы в виде условных суждений. Такие умозаключения еще называются силлогизмами. Количество суждений силлогизмов может быть и больше трех, что усложняет их построение.

Условно – категорические умозаключения строятся по правилам:

А(х)=>В(х),А(а)                                                                     (2) 

        В(а)

 А(х)=>В(х),В(а)                                                                      (3)

           А (а)

Схема (2) называется правилом заключения, а (3) – правилом отрицания. Умозаключения, построенные по этим правилам, состоят из условных суждений и категорических, взятых либо в утвердительной (2), либо отрицательной (3) форме.

Первое суждение (общая посылка) каждого правила является обобщающим, а второе (частная посылка) - представляет собой суждение об объекте а который обладает свойством предиката А (2) или не обладает свойством предиката В (3).

Чтобы построить умозаключение по этим трем правилам необходимо не только сформулировать общую и частную посылку, но и установить логическое следование между этими посылками и формулировкой заключения, т.е. полученного нового истинного суждения.

Однако в процессе обучения математике учащиеся должны не просто уметь строить правильные умозаключения, но и уметь аргументировать уже данные суждения. Обоснование, как уже отмечалось, основывается не только на доказательстве, но и на опровержении ложных суждений. Поэтому учащимся необходимо уметь и находить ошибки при получении ложных суждений. Это воспитывает критичность мышления, учит отстаивать свою точку зрения и приводить веские аргументы в доказательствах или опровержениях, полученных в ходе умозаключения, суждений.

Младшие школьники в своих рассуждениях чаще все же используются индуктивные умозаключения. Следует отметить, что в ряде программ начального образования индуктивный метод обучении школьников является

приоритетным. Как правило, все общие закономерности здесь выводятся индуктивным путем. Так обосновывается переместительные законы сложения и умножения, равенства а + 0 = а, а·1 = а, а: 1 = а, а ·0 = 0 и другие закономерности.

Рассмотрим, как используется индуктивный метод обучения на примере изучения свойств арифметических действий.

Один из приемов ознакомления младших школьников с перемести- тельным свойством умножения заключается в следующем. Используя различные средства наглядности, школьники вместе с учителем устанавливают, что 3·2 = 2·3, 2·5 = 5·2, 7·3 = 3·7. А затем на основе полученных равенств делают вывод о том, что от перестановки мест множителей значение произведения не изменяется.

В данном умозаключении посылками являются первые три равенства, в них утверждается, что для конкретных натуральных чисел выполняется такое свойство. Заключением является утверждение общего характера - переместительное свойство умножения натуральных чисел: (V a,bєN) a·b = b·a.

То есть первые три посылки - частного характера; заключение носит общий характер. Такие умозаключения называют неполной индукцией.

Неполная индукция - это умозаключение, в котором на основании того, что некоторые объекты класса обладают определенным свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты данного класса.

Неполная индукция не является дедуктивным умозаключением, поскольку, рассуждая по такой схеме можно прийти к ложному выводу. Приведем пример индуктивного умозаключения, в результате которого получаем ложное утверждение.

Пример 1.

Заметим, что 3 + 5 < 3-5; 2 + 7 < 2-7; 4 + 8 < 4-8. То есть для некоторых натуральных чисел можно утверждать, что сумма меньше их произведения. И на основании того, что некоторые числа обладают указанным свойством, можно сделать вывод о том, что этим свойством обладают все натуральные

числа, т.е. (V a,b е N) а + b < а • Ь. Для опровержения полученного вывода достаточно привести контрпример: 1 + 2 < 1-2 (ложно).

Таким образом, к выводам, полученным при помощи неполной индукции, надо относиться критически. Эти выводы носят характер предположения. гипотезы, которую следует либо доказать (дедуктивным способом), либо опровергнуть. Итак, в процессе познания дедуктивные и индуктивные умозаключения оказываются взаимосвязанными.

Несмотря на то, что индуктивные рассуждения не всегда приводят к правильным выводам, роль их в изучении математики и других предметов велика. В ходе индуктивных рассуждений формируется умение видеть общее в конкретных частных случаях, высказывать предположения.

1. 1. 2 Аналогия

Еще одним видом умозаключения является аналогия. Под аналогией понимают умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии того же признака у другого объекта [20].

Приведем пример рассуждения по аналогии на материале начального курса математики.

Пример 1.

При обучении делению на однозначное число используется такой прием. Сначала выясняется: чтобы найти значение выражения 12:4, следует узнать, на какое число надо умножить делитель 4, чтобы получить делимое, т.е. 12. Известно, что 4-3 =12. Значит, 12 : 4 = 3.

Затем учащимся предлагается, рассуждая так же найти, например, частное, 8 :4. И они сначала находят число, на которое надо умножить 4, чтобы получить 8. Получают число 2 и делают вывод, что 8 : 4 = 2.

Далее, используя тот же способ рассуждений находят частные 9:3, 20 : 5 и др.

Аналогия помогает открывать новые знания, способы деятельности или использовать усвоенные способы действия в измененных условиях.

Вывод при аналогии носит характер предположения, гипотезы и поэтому нуждается либо в доказательстве, либо в опровержении.

Широко используется аналогия в обучении математике младших школьников. Это происходит при изучении свойств объектов, отношений между ними и действий с ними. Например, если при изучении классов установлено, что в классе единиц 3 разряда - единицы, десятки, сотни, а в классе тысяч - тоже 3 разряда — единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч, то вывод о числе разрядов в классе миллионов и их названии дети могут сделать самостоятельно, по аналогии. Т.е. аналогию можно использовать для открытия «новых» свойств изучаемых объектов.

Аналогия может быть использована для установления отношения между данными объектами,. Например, учащиеся установили, что 4·(3 + 7)> 4·3 + 4·6 так как 4·(3 + 7) = 4·3 + 4·7. Рассматривая затем выражения 3·(8+9) 3·8+3·7, учащиеся могут по аналогии сделать вывод о том, что 3·(8+9) >3·8+3·7. Проверить |его правильность можно либо путем рассуждений, аналогичных тем, что проводились при выполнении первого задания, либо при помощи вычисления.

Аналогия может быть использована и для выводов о способе действия на основе изучения другого способа. Так после рассмотрения способа умножения двузначного числа на однозначное на примере умножения 27 и 3 (27·3 = (20+7)·3 = 20·3+7·3 =81) детям предлагается умножить 712 на 4. Действуя по аналогии; они устанавливают, что 712·4=(700+10+2) ·4= 2800+40+8 = 2848. Далее по аналогии устанавливают способ умножения числа 6283 на 5. Следующим шагом может быть обобщение, то есть получение правила умножения многозначного числа на однозначное, то есть использование неполной индукции.

Таким образом, в процессе обучения младших школьников математике необходимо выполнять такие виды умозаключений, как дедуктивные, индуктивные и аналогию. При этом дедуктивные умозаключения являются достоверными, т.е. в результате их выполнения получается утверждение, истинность которого не требуется доказывать или опровергать. Для выполнения дедуктивных умозаключений необходимо знать основные правила их построения, которых достаточно для эффективного изучения начального курса математики (правило заключения, правило отрицания, правило силлогизма).

Индуктивные умозаключения и аналогия не являются достоверными, т.е. утверждения-обобщения, полученные в результате таких рассуждений, требуют доказательства или опровержения.

Аналогия различается на:

1. Простую аналогию, при которой по сходству объектов в некоторых признаках заключают их сходство в других признаках;
2. Распространенную аналогию, при которой из сходства явлений делают вывод о сходстве причин.

В свою очередь, простая и распространенная аналогия может быть:

а) строгой аналогией, при которой признаки сравниваемых объектов находятся во взаимной зависимости;

б) нестрогой аналогией, при которой признаки сравниваемых объектов не находятся в явной взаимной зависимости.

Аналогия является, пожалуй, одним из самых распространенных методов научного исследования. Широкое применение аналогий часто приводит исследователя к более или менее правдоподобным предположениям о свойствах изучаемого объекта, которые могут быть затем подтверждены или опровергнуты опытом или более строгими рассуждениями.

        Таким образом, имеет смысл говорить о “полезной” и о “вредной” аналогии. Примером “полезной аналогии” является, в частности, мысленный перенос многих понятий и суждений, относящихся к планиметрии, в геометрию трехмерного пространства. Например: “Прямоугольник аналогичен прямоугольному параллелепипеду. В самом деле, отношения между сторонами прямоугольника сходны с отношениями между гранями параллелепипеда:

Каждая сторона прямоугольника параллельна и равна одной другой стороне и перпендикулярна остальным.

Каждая грань прямоугольного параллелепипеда параллельна и равна одной другой грани и перпендикулярна остальным”

Заметим, что не менее явная аналогия существует и между площадью прямоугольника и объемом прямоугольного параллелепипеда. Причем эта аналогия проявляется весьма широко, начиная от сходства формул S = a * b и V =  a * b * c и кончая сходством в структуре вывода этих формул (распадающегося на случаи, когда измерения названных фигур выражаются натуральными, положительными рациональными и действительными числами).

В качестве примера “вредной аналогии” можно привести перенос известных законов сложения конечных сумм на бесконечные.

Вот к каким результатам можно придти, если, в частности, применить эту аналогию при нахождении суммы ряда

S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 +  …  :

1. используя свойство прибавления разности, получим:

S  =  (1 –1) + (1 – 1)+(1 – 1)+ … = 0 + 0 + 0 … = 0

б) используя свойство вычитания разности, получим:

S = 1 – (1 – 1) – (1 – 1) – (1 – 1) = 1 – 0 – 0 – 0  -  … = 1

в) используя сочетательное свойство для алгебраической суммы, имеем:

S = 1 – (1 – 1 + 1 - … ), или S = 1 – S, откуда 2S = 1 и S = ½

Понятно, что примененная здесь аналогия является незаконной; слишком глубокое качественное различие между конечным и бесконечным в математике уменьшает число аналогичных свойств, присущих тому и другому.

По степени полноты различают частичные и полные сравнения. Полное сравнение устанавливает и сходство, и отличие. Частичное сравнение позволяет глубже осознать отличительное в изучаемом учебном материале.

По способам осуществления различают сравнения параллельные, последовательные отсроченные. Параллельные сравнения используются при изложении материала укрепленными блоками, когда одновременно изучаются взаимосвязанные понятия, теоремы, задачи. При последовательном сравнении новый объект сравнивается с ранее изученными. При отсроченном сравнении сравниваемые объекты значительно удалены друг от друга во времени. В установлении аналогий плоских и пространственных фактов имеют место все три типа сравнений.

Укажем схему, по которой следует проводить сравнение понятий.

1. Выделение признаков понятий.
2. Установление общих и существенных признаков.
3. Выбор одного из существенных признаков.
4. Сопоставление понятий по выбранному основанию.

В данной главе мы рассмотрели одну из форм мышления – умозаключение,  которое широко используется в нашей жизни. Все умозаключения делятся на дедуктивные, индуктивные и умозаключения по аналогии. Все эти виды умозаключений используются в обучении математике в начальных классах. Строя умозаключения, учащийся учится умению делать предположения, умению познавать неизвестное, овладевает навыками логического исследования предметов и явлений окружающей действительности.

Еще одним видом умозаключения является аналогия. При пользовании аналогией совершается сложный мыслительный процесс, в котором в обучении, как, впрочем, и в науке, аналогия часто полезна тем, что она наводит нас на догадки, т. е. служит эвристическим методом. В обучении же математике не менее важно, чем учить доказывать, это учить догадываться, что именно подлежит доказательству и как найти это доказательство.

2. Аналогия в начальном курсе математики.

В данной главе мы остановимся на одном из видов умозаключения –аналогии и проанализируем учебники математики для начальной школы по системе Л. В. Занкова и системе Д.Б.Эльконина-В.В.Давыдова.

2.1 Анализ учебников математики по системе Л. В. Занкова

Проанализировав учебники математики И. И. Аргинской, мы выявили, что аналогия используется следующим образом.

Использование аналогии при изучении арифметического материала

1. Табличные случаи умножения и деления лежат в основе умножения и деления круглых чисел (с использованием знания разрядного состава чисел):

а) умножение и деление чисел, оканчивающихся нулями (на основе разрядного состава числа):

20 ∙ 3 = 2 д. ∙ 3 = 6д. = 60

80 : 4 = 8 д. : 4 = 2д. = 20

200 ∙ 3 = 2 с. ∙ 3 = 6 с. = 600

240 : 3 = 24 д. : 3 = 8д. = 80

б) умножение на круглое число (на основе разрядного состава числа и сочетательного свойства умножения):

15 ∙ 30 = 15 ∙ (3 ∙ 10) = (15 ∙ 3) ∙ 10 = 45 ∙ 10 = 450

в) деление на круглые числа:

240 : 30 = 240: (10 ∙ 3) = 240 : 10 : 3 = 8

2. Письменные приемы сложения, вычитания, умножения, деления начинают изучать с простых случаев:

а) сложение

  + 73              + 563             + 826             + 6123             + 4028

   65                  97               739                 879                 3796

б) вычитание

 _ 632          _1300             _1675            _ 6314           _  2739          _ 4008

      51               28                    93                 597              1027              2372

в) умножение

x 32           x 36          x  374             x 374              x5023           x 11099

    9             22                 2                 92                     4                      2

г) деление

_452    4            488   90          4680    3          4316   52        5824   832

  4      113

  _5

    4               16608    2076

  _12

    12

      0

3.  Свойство прибавления числа к сумме, усвоенное для случаев:

34 + 20 = (30 + 4) + 20 = (30 + 20) + 4 = 50 + 4 = 54,

34 + 5 = (30 + 4) + 5 = 30 + (4 + 5) = 30 + 9 + 39,

может быть использовано при вычислениях вида:

37 + 25 = (30 + 7) + (20 + 5) + (30 + 20) + (7 +5) = 50 + 12 = 62

4. Умножение и деление многозначного числа на однозначное выполняется по аналогии с умножением (делением) двузначного числа на однозначное (на основе разрядного состава числа и распределительного закона умножения (деления) относительно сложения):

24 ∙ 3 = (20 + 4) ∙ 3 = 20 ∙ 3 + 4 ∙ 3 = 60 + 12 = 72

     69 : 3 = (60 + 9) : 3 = 60 : 3 + 9 : 3 = 20 + 3 = 23

418 ∙ 3 = (400 + 10 + 8) ∙ 3 = 400 ∙ 3 + 10 ∙ 3 + 8 ∙ 3 = 1200 + 30 + 24 += 1254

8408 : 4 = (8 000 + 400 + 8) : 4 = 8000: 4 + 400 : 4 + 8 : 4 = 2000 + 100 + 2 + 2102

5. Умножение многозначных чисел опирается на умножение многозначного числа на однозначное (на основе разрядного состава числа и распределительного закона умножения относительно сложения):

16 ∙ 12 = 16 ∙ (10 + 2) = 16 ∙ 10 + 16 ∙ 2 = 160 + 32 = 192;

286 ∙ 374 = 286 ∙ 300 + 286 ∙ 70 + 286 ∙ 4

Здесь можно ограничиться планом решения, так как это подготовка к письменным приёмам умножения.  

         Использование аналогии при изучении геометрического материала.

1. Сделай такой чертёж.                  

Сколько на чертеже треугольников? Запиши.

Сколько четырёхугольников? Запиши.

Сколько всего фигур? Запиши.

2. Сравни чертежи. Чем они похожи? Чем отличаются?

Сравни, какие фигуры есть на первом чертеже. А на втором?

Сколько фигур ты нашёл на каждом из них?

В чём сходство и в чём различие? От чего оно зависит?

3. Начерти треугольник и проведи в нём 2 отрезка так, чтобы на чертеже стало 5 треугольников и 1 четырёхугольник.

4. Сравни треугольники. Чем они похожи?

–  Каждый из этих треугольников называют прямоугольными.  Подумай, почему им дали такое название.

– Попробуй дать определение прямоугольного треугольника.

– Сравни своё определение с таким:

Треугольник, у которого есть прямой угол, называется прямоугольным.

Определения похожи? Если не похожи, то чем?

– Начерти разные прямоугольные треугольники.

5. В данных прямоугольных треугольниках найди прямой угол и покажи его цветом.

6. Сравни треугольники.

Выпиши номера треугольников, название которых ты узнал в задании 3.

– Придумай названия остальным треугольникам.

– Подумай, им подойдёт название тупоугольные? Предложи своё определение тупоугольного треугольника.

–  Если ты затрудняешься, вернись к определению прямоугольного треугольника в задании 3. Чем будет отличаться новое определение?

– Начерти разные тупоугольные треугольники.

2.2 Анализ учебников математики в рамках образовательной системы «Д.Б.Эльконина-В.В.Давыдова».

Проанализировав учебники математики Э. И. Александровой, мы выявили, что аналогия используется следующим образом.

Использование аналогии при изучении арифметического материала.

1. Выпиши равенства, в которых число представлено в виде суммы десятков и единиц:

45 = 40 + 5           29 = 22 + 7           56 = 38 + 18        39 = 30 + 9

65 = 37 + 28         76 = 52 + 24         83 = 80 + 3          17 = 6 + 11

– Подумай, что показывает первое слагаемое в каждом из выписанных равенств. А второе?

– Если слагаемые показывают, сколько единиц каждого разряда в значении суммы, они называются разрядными слагаемыми. 

40 и 5 – разрядные слагаемые числа 45.

Назови разрядные слагаемые чисел 39 и 83.

– Запиши числа 29, 76, 65, 56, 17 в виде суммы разрядных слагаемых.

2. Выпиши суммы разрядных слагаемых и найди их значения:

33 + 5        41 + 12        50 + 7         62 + 6         70 + 11

70 + 7        50 + 14        68 + 10       80 + 4         10 + 5

– Измени в остальных суммах, слагаемые так, чтобы они стали разрядными для тех же значений сумм.

– При затруднении используй палочки.

– Запиши числа 56, 17, 49, 73 в виде суммы разрядных слагаемых.

– Напиши 4 других двузначных числа и представь их в виде суммы разрядных слагаемых.

3. Не выполняя сложения, поставь знаки сравнения:

5 + 8 …  2 + 8         5 + 8 …  8 + 2         8 + 5 … 8 + 2.

– Сделай рисунки, которые покажут, что знаки поставлены верно. Сколько тебе понадобится сделать рисунков? Почему?

– В первом неравенстве измени одно число так, чтобы получилось верное равенство. Постарайся найти не одно решение.

– Составь и запиши свои неравенства и равенства, используя другие суммы.

4. Не выполняя сложения, поставь знаки сравнения:

8 + 3 … 7 + 3           7 + 4 … 7 + 6            5 + 7 … 7 + 5

9 + 5 … 5 + 9           5 + 6 … 4 + 6            8 + 3 … 9 + 4

– Проверь своё решение: найди значение сумм.

– Напиши свои равенства и неравенства с другими суммами.

5. Выпиши из данных чисел сначала те, которые при изменении порядка цифр увеличиваются, а потом те, которые при этом уменьшаются.

     37      92      74      22       19       53       49       55        26

– Проверь, все ли числа выписаны. Если нет, почему?

– Есть ли ещё двузначные числа, которые не изменяются при перестановке цифр? если есть, запиши их, расположив в порядке уменьшения.

Использование аналогии при изучении геометрического материала.

1. На рисунке изображён:

а) правильный треугольник;

б) правильный четырёхугольник;

в) правильный шестиугольник.

Почему, по-твоему, эти фигуры называют правильными? Как ещё их можно было бы назвать?

– Найди периметр каждой фигуры, если их стороны равны 9 см.

– Чему равен периметр правильного девятиугольника, если длина его стороны равна 7 см?

2. Вычисли периметр каждой фигуры.

– Названия, каких фигур ты знаешь?

– На данном рисунке есть фигуры, которые называются правильными? Назовите их.

3. Вычисли периметр каждой фигуры и назови фигуры с наибольшим и наименьшим периметром.

– Площади каких фигур ты смог бы вычислить? Как?

– Какие ошибки можно допустить при вычислении периметров и площадей?

4. Сравни данные углы на глаз, а затем проверь себя с помощью транспортира.

1. С помощью транспортира определи, какие из данных углов острые, какие – прямые и какие – тупые.

Анализ учебников позволяет сделать вывод, что прием рассуждений по аналогии достаточно широко используется в той и другой образовательной системе. Однако в учебнике И. И. Аргинской аналогия чаще используется при изучении геометрического материала. А в образовательной системе Д.Б.Эльконина-В.В.Давыдова аналогия преимущественно  используется при изучении арифметического материала.

Материал учебника Э. И. Александровой  не дает готовые задания, а направляет на интеллектуальный поиск. Все задания, содержащие, в учебнике нацелены на то, чтобы развить руку ребенка, его речь и внимание, научить думать, рассуждать, исследовать, общаться как со сверстниками, так и с взрослыми.

Заключение

В процессе исследования в соответствии с поставленной целью и задачами получены следующие основные выводы и результаты:

1. На основе проведённого анализа математической и логической литературы обоснована необходимость применения основных видов умозаключений – дедуктивные, индуктивные и по аналогии. При этом отмечено, что индуктивные умозаключения и умозаключения по аналогии носят недостоверный, а гипотетический характер.

2.Подобраны и специально разработаны на математическом материале задания, направленные на формирование умений использовать аналогию. При этом обоснована целесообразность применения заданий с использованием аналогии при изучении арифметического и геометрического материала.

3. Проведён анализ учебников математики по системе Л. В. Занкова и образовательной системе  Д.Б.Эльконина-В.В.Давыдова. Анализ учебников позволяет сделать вывод, что прием рассуждений по аналогии достаточно широко используется в той и другой образовательной системе.

Список использованных источников

1. Александрова, Э. И. Математика. 2 кл. : Учеб. : В 2 ч. Ч. 1: учебник / Э. И.  Александрова. – М. : Дрофа, 2005. – 164 с.

2. Александрова, Э. И. Математика. 2 кл. : Учеб. : В 2 ч. Ч. 2: учебник / Э. И. Александрова. – М. : Дрофа, 2006. – 67 с.

3. Александрова, Э. И. Математика. 3 кл. : Учеб. : В 2 ч. Ч. 2: учебник / Э. И. Александрова. – М. : Дрофа, 2005. – 123 с.

4. Александрова, Э. И. Математика. 4 кл. : Учеб. : В 2 ч. Ч. 1: учебник / Э. И. Александрова. – М. : Дрофа, 2006. – 160 с.

5. Александрова, Э. И. Математика. 4 кл. : Учеб. : В 2 ч. Ч. 2: учебник / Э. И. Александрова. – М. : Дрофа, 2006. – 175 с.

6. Александрова, Э. И. Особенности формирования навыков при обучении математике по системе Д. Б. Эльконина / Э. И. Александрова // Начальная школа. – 2005. – № 3. – С. 38 – 42.

7. Аргинская, И. И. : Учебник для 1-го класса четырехлетней (трехлет.) нач. шк. – Самара: Корпорация «Федоров», 2000. – 160 с.  

8. Аргинская, И. И., Ивановская, Е. И. Математика: Учебник для 2-го класса четырехлетней начальной школы. – Самара: Корпорация «Федоров»; Издательство «Учебная литература», 2002. – 176 с.

9. Аргинская, И. И., Ивановская, Е. И. Математика: Учебник для 3 класса четырехлетней начальной школы. – Самара: Корпорация «Федоров», Издательство «Учебная литература», 2002. – 192 с.

10. Аргинская, И.  Структура и особенности урока математики в системе Л. В. Занкова / И. Аргинская // Начальная школа (ПС). – 2004. – № 34. – С. 21 – 24.

11. Гетманова, А. Д. Логика: Учебник для студ. пед. вузов / А. Д. Гетманова – М.: Высш.шк., 2006 – 95 – 99 с.

12. Иванова, Е. В. Развитие логического мышления младших школьников на уроках математики / Е. В. Иванова // Начальная школа плюс до и после. – 2006. - №6. – С. 59 – 60.

13. Истомина, Н. Б. Активизация учащихся на уроках математики в начальных классах: пособие для учителя / Н. Б. Истомина. – М.: Просвещение, 1985. – 63 с.

14. Истомина, Н. Б. Методика обучения математики в начальных классах / Н.Б. Истомина. – М.: Ц. «Академия», 2001. – 234 с.

15. Копкин, П. В. О некоторых вопросах теории умозаключений // Вопросы логики (сб. статей). – Москва: Изд-во Академия Наук СССР, 1955. – 328 с. – С. 156 – 191.

16. Саранцев, Г. И. Обучение математическим доказательствам в школе. – М.: Просвещение, 2000. – 175 с. С.31

17. Столяр, А. А. Логические проблемы преподавания математики. – Минск: «Высш. школа», 1965. – 254 с.

        18. Хинчин, А. Я. Педагогические статьи / А. Я. Хинчин. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963, с. 131.

        19. Хомякова, Л. В. Индуктивные рассуждения в курсе математики в начальных классов (Из опыта) / Л. В. Хомякова // Начальная школа. – 1988. - №5. – С. 31 – 36.

        20. Шикалиев, Х. Ш. О некоторых приёмах развития доказательных рассуждений учащихся начальных классов / Х. Ш. Шикалиев, Б. О. Омаров // Начальная школа. – 2007. – №6. – С. 98 – 101.

        21. Эрдниев, П. М., Эрдниев В.П. Обучение математики в школе. – М.: АО «Столетие», 1996. – 320 с.

        22. Якиманская, И. С. Знание и мышление школьника. – М.: Знание. – 1985. – 80 с.