РЕФЕРАТ

Дисциплина: Математика

 Тема: Классические задачи в древности

                                                                                                                  Выполнил(а):                                                                                                   

                                                                                                      Проверил(а):

2017

Введение

Первые задачи на построение возникли в глубокой древности. Возникли они из хозяйственных потребностей человека. Уже древними архитекторами и землемерами приходилось решать простейшие задачи на построение, связанные с их профессией.

Первые греческие учёные, которые занимались решением геометрических задач на построение, были: Фалес Милетский (624 – 547 гг. до н.э.), Пифагор (около 580 – 500 гг. до н.э.), Платон (427 – 347 гг. до н.э.).

Уже в древности греческие математики встретились с тремя задачами на построение, которые не поддавались решению с помощью циркуля и линейки.

Они получили название «знаменитых классических задач древности». Над решением этих задач человечество трудилось более двух тысяч лет. Данные задачи составляют увлекательную и поучительную страницу истории.

ЗАДАЧА О КВАДРАТУРЕ КРУГА

Задача о квадратуре круга – самая старая из всех математических задач. Она была очень популярна в Древней Греции видимо из-за её жизненной необходимости и чрезвычайной простотой формулировки. Плутарх сообщает, что философ Анаксагор (около 500-428 гг. до н.э.) в тюрьме занимался этой задачей. О ней упоминается в комедии Аристофана "Птицы" (414 г. до н.э.): "Приложив сюда линейку, круг описываю циркулем, и верх и низ ... потом линейкой отношу прямую. Круг теперь подобен четырёхугольнику".

Древнегреческие учёные стремились задачу о квадратуре круга решить при помощи циркуля и линейки. Показательна в этом отношении работа Гиппократа Хиосского, которому удалось криволинейную фигуру (гиппократовы луночки) преобразовать в равновеликий ей многоугольник. Однако в рассуждениях Гиппократа Хиосского допущена одна ошибка, которая «из невозможного делает возможным» - неразрешимую задачу о квадратуре круга разрешимой. Поэтому преобразовать круг в равновеликий ему квадрат Гиппократу так и не удалось.

Окончательный удар всем иллюзиям решить задачу при помощи циркуля и линейки был нанесен лишь во второй половине XIX века. Немецкому математику Ф. Линдеману в 1882 году удалось, наконец, вполне строго доказать, что задача о квадратуре круга неразрешима при помощи циркуля и линейки и все старания что-нибудь сделать в этом направлении указанными средствами являются совершенно напрасными и ненужными.

Пусть дан круг радиуса  и требуется построить квадрат, равновеликий этому кругу. Обозначим сторону искомого квадрата через , тогда будем иметь:

,

откуда

.

Таким образом, вопрос о построении квадрата, равновеликого данному кругу, сводится к построению произведения данного отрезка  на данное число , причём это построение надо провести при помощи только циркуля и линейки.

Число, которое не может являться корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, принято называть трансцендентным числом. Заслуга Ф. Линдемана как раз и заключается в том, что он впервые в мировой науке вполне строго доказал, что  есть число трансцендентное и тем самым окончательно установил невозможность решения задачи о квадратуре круга с помощью циркуля и линейки. Вот почему Ф. Линдемана называют «победитель числа ».

Странным образом задача квадратуры круга и обратная ей задача кругатуры квадрата, т.е. построения круга равновеликого данному квадрату, была известна также и в Древней Индии. Индийские алтари были самой разной формы: в виде квадрата, круга, полукруга, равностороннего треугольника, равнобедренной трапеции, сокола, черепахи и т.д. Но все эти алтари должны были иметь одну и ту же площадь. Решения этих задач приведены в древнеидийской книге "Сульвасутра".

ЗАДАЧА О ТРИСЕКЦИИ УГЛА

Задача о делении угла на три равные части, возможно, возникла из потребностей архитектуры и строительной техники. Делить угол пополам древние греки умели довольно легко, а вот разделить угол на три равные части оказалось не всегда возможно.

Перед учёными встала одна из трудных геометрических проблем, которая стала называться «знаменитой задачей о трисекции угла».

Пользуясь циркулем и линейкой, древние греки умели делить произвольный угол на две равные части. Со времён Пифагора они умели делить прямой угол на три равные части, то есть произвести трисекцию этого угла. Однако, пользуясь циркулем и линейкой, они смогли выполнить трисекцию углов только для частных случаев.

Построение правильного пятиугольника циркулем и линейкой должно было произвести на пифагорейцев большое впечатление, потому что правильная пятиконечная звезда была их опознавательным знаком.

Древнегреческие учёные проявили много тонкого остроумия для изобретения разного рода механизмов, с помощью которых они без особого труда делили произвольный угол на три равные части. Но перед ними всегда стоял вопрос: почему трисекция угла, легко выполнимая при помощи специально изготовленных механизмов, не поддаётся разрешению при помощи циркуля и линейки?

Обозначим данный угол, который требуется разделить на три равные части, через . Рассмотрим .

Воспользуемся формулами тригонометрии:

После преобразований получаем:

.

Умножая левую и правую части полученного равенства на 2, будем иметь:

Пусть теперь  и , тогда

,

или

. (1)

Чтобы доказать, что задача о трисекции угла не разрешима в общем виде, достаточно указать хотя бы один угол, который нельзя разделить при помощи циркуля и линейки. Таким свойством, например, обладает угол в .

Итак, если пользоваться циркулем и линейкой, задача о трисекции угла в общем виде не разрешима.

ДЕЛОССКАЯ ЗАДАЧА ОБ УДВОЕНИИ КУБА

Существуют две легенды возникновения задачи об удвоении куба:

Легенда 1. Царь Минос повелел воздвигнуть памятник своему сыну Главку. Архитекторы дали памятнику форму куба, ребро которого равнялось 100 локтям. Но Минос нашёл этот памятник слишком малым и приказал его удвоить. Чувствуя своё бессилие в решении поставленной задачи, архитекторы обратились за помощью к учёным-геометрам, но и они не могли решить указанной задачи.

Легенда 2. Во время эпидемии чумы послали афиняне в Дельфы вопросить оракула, что им сделать, чтобы чума прекратилась. Бог ответил им: удвоить алтарь и принести на нём жертвы. А так как алтарь был кубической формы, они взгромоздили на него ещё один такой же куб, думая тем исполнить повеление оракула. Когда же чума после этого не прекратилась, отправились они к Платону и спросили, что же теперь делать. Тот отвечал: "Сердится на вас бог за незнание геометрии".

Древние греки сравнительно легко решили задачу об удвоении квадрата.

Обобщая задачу об удвоении квадрата, древние греки перешли к рассмотрению задачи об удвоении куба и стремились решить ее при помощи циркуля и линейки. Оказалось, что решение задачи об удвоении куба сводится к геометрическому построению корня кубического из двух. Действительно, если ребро данного куба положить равным , а ребро искомого куба - , то согласно условию задачи, будем иметь:

откуда.

Однако все старания построить циркулем

и линейкой не увенчались успехом.

Имеет место следующая теорема.

Теорема

Если какой-либо корень приведённого кубического уравнения с рациональными коэффициентами может быть построен посредством циркуля и линейки, то это уравнение обладает, по крайней мере, одним рациональным корнем.

Лемма. Во всякой прямоугольной трапеции с перпендикулярными диагоналями образуют геометрическую прогрессию:

.

Вывод

На протяжении столетий эти три задачи привлекали внимание выдающихся математиков: Архимеда, Пифагора, Виета, Декарта, Ньютона и др.

В 1775 году Парижская академия сделала заявление: "Академия постановила не рассматривать отныне представляемые ей разрешения задач удвоения куба, трисекции угла, квадратуры круга, а также машин, долженствующих осуществить вечное движение".

Лишь в середине 19 века была доказана их НЕРАЗРЕШИМОСТЬ, т.е. невозможность указанных построений лишь с помощью циркуля и линейки.

 Эти результаты были получены средствами не геометрии, а алгебры, что ещё раз подчеркнуло единство математики.