Вычисление определенного интеграла численными методами в программе Excel
проект (11 класс) на тему

Введение.

Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т.д.

Курс математического анализа содержит разнообразный материал, однако, одним из его центральных разделов является определенный интеграл. Интегрирование многих видов функций подчас представляет собой одну из труднейших проблем математического анализа.

Вычисление определенного интеграла имеет не только теоретический интерес. К его вычислению сводятся иногда задачи, связанные с практической деятельностью человека.

Также понятие определенного интеграла широко используется в физике.

Если же говорить о программе Excel, которая является одной из наиболее известных в обработке электронных таблиц, то без преувеличения можно утверждать, что ее возможности практически неисчерпаемы.

Обработка  текста, управление базами данных -  программа настолько мощна, что во многих случаях превосходит специализированные программы - редакторы или программы баз данных. Такое многообразие функций может  поначалу  запутать, нежели заставить  применять   их  на  практике. Но по мере приобретения опыта начинаешь по достоинству ценить то, что границ  возможностей Excel тяжело достичь.

За всю историю табличных  расчетов  с  применением  персональных компьютеров требования  пользователей к подобным  программам  существенно изменились. В начале основной акцент в такой программе, как, например, Visi Calc, ставился на счетные  функции.  Сегодня,  положение другое. Наряду с инженерными и бухгалтерскими расчетами  организация  и  графическое изображение  данных  приобретают  все  возрастающее  значение. Кроме того, многообразие функций, предлагаемое такой расчетной и графической программой, не должно осложнять работу пользователя. Программы для Windows создают для этого идеальные предпосылки.

Ряд технологических задач требует увязки в математическое описание всей информации о процессе. Например, для математических моделей химико-технологических процессов одними из основных параметров, характеризующих процессы, являются концентрации реагирующих веществ, температура процесса и др. Как правило, большинство балансовых уравнений в химической технологии представлены системой интегральных и дифференциальных уравнений, в результате решения которых могут быть получены зависимости, характеризующие протекание процесса.

Часто на практике не удается вычислить интеграл аналитическим путем. В этих случаях применяют приближенные методы численного интегрирования.

Постановка задачи

Вычислить определенный интеграл

при условии, что а и b конечны и F(х) является непрерывной функцией х на всем интервале х[a,b]. Во многих случаях, когда подынтегральная функция задана в аналитическом виде, интеграл от этой функции в пределах от а до b может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:

Однако этой формулой часто нельзя воспользоваться по следующим причинам:

• первообразная функция f(x) слишком сложна и ее нельзя выразить в элементарных функциях;
• функция f(x) задана в виде таблицы, что особенно часто встречается в задачах химической технологии при обработке экспериментальных данных.

В этих случаях используются методы численного интегрирования.

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла по заданным или вычисленным значениям.

Общий подход к решению задачи будет следующим. Определенный интеграл I представляет собой площадь, ограниченную кривой f(x), осью х и переменными х=а и х=b. Необходимо вычислить интеграл, разбивая интервал [a,b] на множество меньших интервалов, находя приблизительно площадь каждой полоски и суммируя их.

В зависимости от способа вычисления подынтегральной суммы существуют различные методы численного интегрирования (методы прямоугольников, трапеций, парабол, сплайнов и др.).

Все методы будут рассматриваться на примере вычисления следующего интеграла:

Метод прямоугольников.

Существует несколько видов формул прямоугольников:

Формула левых прямоугольников.

В общем виде формула левых прямоугольников на отрезке [x0;xn] выглядит следующим образом:

Формула правых прямоугольников.

В общем виде формула правых прямоугольников на отрезке [x0;xn] выглядит следующим образом:

 В данной формуле x0=a, xn=b.

Формула средних прямоугольников.

В общем виде формула средних прямоугольников на отрезке [x0;xn] выглядит следующим образом:

где xi=xi-1+h.

 В данной формуле, как и в предыдущих, требуется h умножать сумму значений функции f(x), но уже не просто подставляя соответствующие значения x0,x1,...,xn-1 в функцию f(x), а прибавляя к каждому из этих значений h/2 (x0+h/2, x1+h/2,..., xn-1+h/2), а затем только подставляя их в заданную функцию.

 На практике данные способы реализуются следующим образом:

Для того, чтобы вычислить интеграл по формуле левых прямоугольников в Excel, необходимо выполнить следующие действия:

 Ввести в ячейку A1 текст a=.

Ввести в ячейку B1 число 0.

Ввести в ячейку A2 текст b=.

Ввести в ячейку B2 число 3,2.

Ввести в ячейку A3 текст n=.

Ввести в ячейку B3 число 10.

Ввести в ячейку A4 текст h=.

Ввести в ячейку B4 формулу =(B2-B1)/B3.

Вести в ячейку A6 текст i, в B6 - x, в C6 - y0,...,y(n-1).

Ввести в ячейку A7 число 0.

Ввести в ячейку A8 формулу =A7+1, скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек A8:A17.

Ввести в ячейку B7 число 0.

Ввести в ячейку B8 формулу =B7+$B$4, скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек B8:B17.

Ввести в ячейку C7 формулу =КОРЕНЬ(B7^4-B7^3+8), скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек C8:C16.

Ввести в ячейку B18 текст сумма:.

Ввести в ячейку B19 текст интеграл=.

Ввести в ячейку C18 формулу =СУММ(C7:C16).

Ввести в ячейку C19 формулу =B4*C18.

Ввести в ячейку C20 текст левых.

В итоге получаем следующее:

Ответ: значение заданного интеграла равно 12,500377.

Для того, чтобы вычислить интеграл по формуле правых прямоугольников в Excel, необходимо выполнить следующие действия:

Продолжить работу в том же документе, что и при вычислении интеграла по формуле левых прямоугольников.

В ячейку D6 ввести текст y1,…,yn.

Ввести в ячейку D8 формулу =КОРЕНЬ(B8^4-B8^3+8), скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек D9:D17

Ввести в ячейку D18 формулу =СУММ(D7:D17).

Ввести в ячейку D19 формулу =B4*D18.

Ввести в ячейку D20 текст правых.

В итоге получаем следующее:

Ответ: значение заданного интеграла равно 14,45905.

Для того, чтобы вычислить интеграл по формуле средних прямоугольников в Excel, необходимо выполнить следующие действия:

Продолжить работу в том же документе, что и при вычислении интеграла по формулам левых и правых прямоугольников.

В ячейку E6 ввести текст xi+h/2, а в F6 - f(xi+h/2).

Ввести в ячейку E7 формулу =B7+$B$4/2, скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек E8:E16

Ввести в ячейку F7 формулу =КОРЕНЬ(E7^4-E7^3+8), скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек F8:F16

Ввести в ячейку F18 формулу =СУММ(F7:F16).

Ввести в ячейку F19 формулу =B4*F18.

Ввести в ячейку F20 текст средних.

В итоге получаем следующее:

Ответ: значение заданного интеграла равно 13,40797.

Исходя из полученных результатов, можно сделать вывод, что формула средних прямоугольников является наиболее точной, чем формулы правых и левых прямоугольников.

Метод трапеций.

В общем виде формула трапеций на отрезке [x0;xn] выглядит следующим образом:

В данной формуле x0=a, xn=b, так как любой интеграл в общем виде выглядит:

h можно вычислить по следующей формуле: h=(b-a)/n (19).

y0, y1,..., yn - это значения соответствующей функции f(x) в точках x0, x1,..., xn (xi=xi-1+h)" [3].

На практике данный способ реализуется следующим образом:

Для того, чтобы вычислить интеграл по формуле трапеций в Excel, необходимо выполнить следующие действия:

 Ввести в ячейку A1 текст n=.

 Ввести в ячейку B1 число 10.

 Ввести в ячейку A2 текст a=.

 Ввести в ячейку B2 число -1.

 Ввести в ячейку A3 текст b=.

 Ввести в ячейку B3 число 1.

 Ввести в ячейку A4 текст h=(b-a)/n.

 Ввести в ячейку B4 формулу =(B3-B2)/B1.

 Заполнить диапазон ячеек A6:D6 следующим образом:

 Ввести в ячейку A7 число 0.

 Ввести в ячейку A8 формулу =A7+1, скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек A8:A17.

 Ввести в ячейку B7 число -1.

 Ввести в ячейку B8 формулу =B7+$B$4, скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек B8:B17.

Ввести в ячейку C7 формулу =КОРЕНЬ(B7^4-B7^3+8), а в ячейку C17 формулу =КОРЕНЬ(B17^4-B17^3+8).

Ввести в ячейку D8 формулу =КОРЕНЬ(B8^4-B8^3+8), скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек D8:B16.

Ввести в ячейку B18 текст суммы:.

Ввести в ячейку C18 формулу =СУММ(C7;C17).

Ввести в ячейку D18 формулу =СУММ(D8:D16).

Ввести в ячейку A19 текст интеграл=.

Ввести в ячейку B19 формулу =B4*(C18/2+D18).

Метод парабол или Симпсона.

Этот метод более точный по сравнению с методами прямоугольников и трапеций, а поэтому наиболее широко известный и применяемый метод численного интегрирования.

Метод аналогичен рассмотренным ранее методам прямоугольников и трапеций: интервал интегрирования разбивается на множество более мелких отрезков; однако для вычисления площади под каждым из отрезков через три последовательных ординаты разбиения проводится квадратичная парабола.

Формулу Симпсона получаем, проводя параболу через три ординаты на концах двух соседних интервалов и складывая получившиеся при этом площади.

Поскольку в методе Симпсона парабола проводится через три ординаты на концах двух соседних интервалов, то при реализации этого метода необходимо требовать, чтобы «n» было четным числом.

На практике данный способ реализуется следующим образом:

Для того, чтобы вычислить интеграл по формуле Симпсона в Excel, необходимо выполнить следующие действия:

 Ввести в ячейку A1 текст n=.

 Ввести в ячейку B1 число 10.

 Ввести в ячейку A2 текст a=.

 Ввести в ячейку B2 число 0.

 Ввести в ячейку A3 текст b=.

 Ввести в ячейку B3 число 3,2.

 Ввести в ячейку A4 текст h=.

 Ввести в ячейку B4 формулу =(B3-B2)/B1.

 Заполнить диапазон ячеек A6:D6 следующим образом:

Ввести в ячейку A7 число 0.

Ввести в ячейку A8 формулу =A7+1, скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек A8:A17.

Ввести в ячейку B7 число 0.

Ввести в ячейку B8 формулу =B7+$B$4, скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек B8:B17.

Ввести в ячейку C7 формулу =КОРЕНЬ(B7^4-B7^3+8), а в ячейку C17 формулу =КОРЕНЬ(B17^4-B17^3+8).

Заполнить нижеприведенные ячейки:

Ввести в ячейку C18 формулу =(C7-C17)/2.

Ввести в ячейку D18 формулу =2*D8+2*D10+2*D12+2*D14+2*D16.

Ввести в ячейку E18 формулу =E9+E11+E13+E15+E17.

Ввести в ячейку A19 текст интеграл=.

Ввести в ячейку B19 формулу =(2*B4/3)*(C18+D18+E18).

В итоге получаем следующее:

Заключение

Рассмотренные выше примеры практических задач, дают нам ясное представление значимости определенного интеграла для их разрешимости.

Трудно назвать научную область, в которой бы не применялись методы интегрального исчисления, в общем, и свойства определенного интеграла, в частности. Так в процессе выполнения работы нами были рассмотрены примеры практических задач в области физики, геометрии, механики, биологии и экономики. Конечно, это еще далеко не исчерпывающий список наук, которые используют интегральный метод для поиска устанавливаемой величины при решении конкретной задачи, и установлении теоретических фактов.

Также определенный интеграл используется для изучения собственно самой математики. Например, при решении дифференциальных уравнений, которые в свою очередь вносят свой незаменимый вклад в решение задач практического содержания. Можно сказать, что определенный интеграл - это некоторый фундамент для изучения математики. Отсюда и важность знания методов их решения.

Из всего выше сказанного понятно, почему знакомство с определенным интегралом происходит еще в рамках средней общеобразовательной школы, где ученики изучают не только понятие интеграла и его свойства, но и некоторые его приложения.

Литература

1. Волков Е.А. Численные методы. М., Наука, 1988.
2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Интеграл-Пресс, 2004. Т. 1.
3. Шипачев В.С. Высшая математика. М., Высшая школа, 1990.
4. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по высшей математике для инженеров и учащихся втузов. - М.: Наука , 1981 . - 718 с.
5. Белецкий Я. Excel с графикой для персональных компьютеров перевод с польского Д.И.Юренкова. -М.: Машиностроение , 1991. - 320 с.
6. Самарский А.А, Гулин А.В. Численные методы.М.:Наука,1989. – 430 с.
7. http://tgspa.ru/info/education/faculties
8. http://www.machinelearning.ru/wiki