Тема: «Софизмы и парадоксы».

Выполнила:   Герасимова Н.А., учитель математики МБОУ  ООШ № 7

 г. Петровска Саратовской области

Раздел 1. Использование исторического материала по теме «Софизмы и парадоксы» на уроках математики и во вреурочной деятельности (кружок, элективный курс, научное общество) 

«Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случаев сделать его немного занимательным»

                                                                               Б. Паскаль

Мы считаем эту тему очень увлекательной и содержательной, развивающей познавательный интерес к урокам математики.

 История математики полна неожиданных и интересных софизмов и парадоксов. И зачастую именно их разрешение служило толчком к новым открытиям.

1. Исторический материал по теме «Софизмы и парадоксы».

                                                            "О сколько нам открытий чудных 
                                                 готовит просвещенья дух:

                                                         и опыт, сын  ошибок  трудных
                                                     и гений, парадоксов друг…"
                                                                 

                                                                                                                А.С.Пушкин

      Процесс познания человеком окружающего мира можно сравнить с радостным торжеством, ибо каждая раскрытая тайна укрепляет веру в свои силы. Но на пути победоносной человеческой мысли возникают большие, казалось бы непреодолимые, преграды, перед которыми были бессильными умозаключения. Древнегреческий философ Диодор Кронос (примерно 307 год до н.э) не решив одну из древнейших логических задач - парадокс Эвклида, умер от разочарования, а другой философ Фигет Косский, познав такую же неудачу, покончил жизнь самоубийством. Древнегреческие ученые сталкивались с такими задачами в математике. Они прикладывали много усилий, чтобы выявить механизм образования таких загадок. Было установлено, что наши рассуждения тоже подчинены определенным законам (законам логики), нарушение которых обесценивает результаты, добытые в этих рассуждениях. Неразрешенность задач, с которыми встретились Диодор Кронос и Фигет Косский, объясняется как правило, нарушением законов логики. Поэтому уже тогда остро встал вопрос о системе "профилактических приемов" - определенных правил с целью устранения логических ошибок. Первая в истории проба проведения "логической профилактики" в математике принадлежит гениальному древнегреческому математику, автору "Начал" - Эвклиду (IV в до н.э.).  Он создал удивительный сборник "Псевдарий", где помещая разнообразные ошибочные рассуждения, к которым часто приходят те, кто начинает играть в математику. Таким образом, Эвклид был автором первого из известных сборников математических софизмов и парадоксов. Остается сожалеть, что этот труд не дошел до нас. Зато требовательность Эвклида и строгость к культуре рассуждений нашла многочисленных последователей. Они собрали и опубликовали большую коллекцию математических софизмов и парадоксов.    В наше время ученые продолжают это дело совсем не для того, чтобы удивить кого-то. Человеку свойственно ошибаться, поэтому очень важно, чтобы он умел выявлять свои и чужие ошибки, учился избегать их. Действительно, чем хитрее софизм, чем искустнейше замаскирована ошибка, тем больше удовлетворения приносит он тому,  кто разгадал его, так как это - маленькое открытие и прекрасная школа, культура математических вычислений. Сборники математических софизмов и парадоксов были всегда популярными. Так в 1846 году М.Г.Чернышевский писал брату Александру:"... сижу 11 недель и 3 дня и никак не разгрызу орешек. Нe поможешь ли мне? Я дал слово не вставать со стула, пока не решу эту задачу. Но что-то не удаётся; помоги хоть ты, лишь на тебя надежда. Вот она. Квадрат любой стороны в любом треугольнике равен сумме квадратов двух других сторон." М.Г.Чернышевский поместил в письме рисунок и доказательства, которые привели к интересному софизму (этот софизм приведен далее).

 Софизмы – ложные результаты, полученные с помощью рассуждений, которые только кажутся правильными, но обязательно содержат ту или иную ошибку. Софизмы очень поучительны и интересны. Практика обучения математике показывает, что поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Такой подход при обучении математике способствует более глубокому ее пониманию и осмыслению и, кроме того, показывает, что математика – это живая наука.

Парадокс – мнение, рассуждение, резко расходящееся с общепринятыми суждениями, противоречащее (иногда только на первый взгляд) здравому смыслу. Внешне парадоксы очень похожи на софизмы, поскольку тоже приводят рассуждения к противоречию, главное же различие между ними, как остроумно заметил писатель Даниил Гранин, заключается в том, что софизм – это ложь, обряженная в одежды истины, а парадокс – истина в одеждах лжи. Это, конечно, образное сравнение, но оно довольно точно схватывает суть проблемы. В действительности связь софизмов и парадоксов более тонкая и сложная. Парадокс может быть следствием некоторых софизмов.  

2. Математические софизмы

2.1. Что такое софизм?

Софизм - преднамеренная ошибка, совершаемая с целью запутать противника и выдать ложное рассуждение за истинное. Софизм - формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений (словарь Ожегова). Софизм происходит также от греческого слова ("софизм" означает "измышление", "хитрость"). Их строят, опираясь на внешнее сходство явлений, прибегая к намеренно неправильному подбору исходных положений, к подмене терминов, разного рода словесным ухищрениям и уловкам. Их [ошибки] допускают сознательно, с целью увлечь собеседника по ложному пути. При этом широко, и надо сказать, умело используется гибкость понятий, их насыщенность многими смыслами, оттенками. Софизм (от греч. sophisma – уловка, выдумка, головоломка, ухищрение, выдумка), доказательство ложного утверждения, причем ошибка в доказательстве искусно замаскирована, умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям.

Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Софизм - это то же надувательство, только выполненное намного изящнее и незаметнее, за что мы его и любим. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в софизмах выполняют "запрещенные" действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил.

2.2 Что такое парадокс?

В настоящее время термин парадокс прочно вошел в нашу речь. Его можно встретить и в научных текстах (парадоксальный сон, парадоксы природы, парадоксы науки, парадоксы творчества) и в повседневной речи («ну это уже парадокс») и художественной литературе («О сколько нам открытий чудных готовят просвещенья дух, и опыт, сын ошибок трудных, и гений, парадоксов друг»). Поэтому вполне естественно, что термин парадокс понимается по-разному в разных ситуациях. В.С. Библер замечает: «Понятие парадокса существует сейчас в самых различных смыслах – от чисто словарного и повседневного (красиво звучащая бессмыслица, до строго формального (логического), наиболее осознанного в парадоксах теории множества». Трактование парадокса как ошибки иногда приводит к тому, что его путают с другими понятиями, которые тоже обозначают ошибки, но несколько иного рода. А.В. Сухотин пишет: « Парадокс рожден в семействе понятий, описывающих ошибки и противоречия познания. Ошибки бытуют разные. Одни из них непроизвольны. Человек и не хотел бы ошибаться, да не получается. Как будто рассуждение логично, проведено правильно и, тем не менее, дает сбой». Другие – наоборот «делаются умышленно с намерением ввести кого-то в заблуждение».  Парадоксальные суждения привлекают внимание исследователей, занимающихся математической логикой. Их интерес обращен к таким суждениям, которые, несомненно, абсурдны, а в то же время, казалось бы, доказаны с безупречной логикой.

3. Сравнение софизмов и парадоксов, как логических операций

3.1. Из истории софизмов.

   В Древней Греции развитие искусства ведения дискуссий нередко приводило к изобретению хитроумных "доказательств" неверных утверждений. Такие "доказательства" называются софизмами, поскольку их часто использовали софисты - учителя философии и красноречия в Древней Элладе.

Т.к. парадоксы чаще всего открываются, а не придумываются, сложно рассказать что-либо об их истории. Однако мы можем утверждать, что первыми людьми кто вообще оперировал понятием парадокс были те же философы Древней Греции.

Первые парадоксы были известны уже в глубокой древности, существуют и современные парадоксы. Некоторые из этих противоречий удалось решить путём создания новых теорий, переосмысления устоявшихся, но несовершенных законов. Другие – так и остались неразрешенными. Считается, что ученые относятся к парадоксам с неприязнью, их называют «патологиями» науки и стремятся как можно скорее от них избавиться. Однако это не всегда удаётся. В настоящее время не существует науки, в которой бы никогда не возникала парадоксов. Их находили в психологии, лингвистики, физике и даже в таких точных науках как логика и математика.

Сейчас сложно подсчитать, как много существует парадоксов: они многочисленны, разнообразны по своей природе и структуре. Поэтому ученые пытаются их структурировать, объединить в какую-либо систему.

3.1.1 Известные софисты

Софистами в древней Греции называли философов-учителей, задачей которых было научить своих учеников «мыслить, говорить и делать». Будучи в большинстве случаев глубоко образованными людьми, они не столько передавали ученикам знания из различных областей науки, сколько стремились научить их владеть искусством словесных состязаний. Чтобы выйти победителем в словесном поединке, софисты часто пользовались тем, что противник недостаточно глубоко знает предмет, о котором идет речь, недостаточно внимателен и наблюдателен, и поэтому не в состоянии отличить ложь от истины. В результате словесного поединка противник должен был согласиться с доводами софиста и признать себя побежденным, хотя истина, казалось, была на его стороне.

 Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса. Но суть деятельности софистов много больше, чем простое обучение искусству красноречия. Они обучали и просвещали древнегреческий народ, старались способствовать достижению нравственности, присутствия духа, способности ума ориентироваться во всяком деле. Но софисты не были учеными. Умение, которое должно было быть достигнуто с их помощью, заключалось в том, что человек учился иметь в виду многообразные точки зрения.

3.2 Отношение к истине

Из определений можно вывести отличие между софизмом и парадоксом: отношение к истине. Парадокс это верное утверждение, в то время как софизм изначально ложное. Парадокс – это абсолютная истина, софизм – относительная истина.

3.3 Классификация и примеры

5=6

Возьмем тождество 35+10-45=42+12-54.

 В  каждой  части вынесем за скобки общий множитель:

 5(7+2-9)=6(7+2-9).

Теперь, получим, что 5=6. Где ошибка?

 Разбор софизма. 

 Ошибка допущена при делении верного равенства 5(7+2-9)=6(7+2-9) на число    7+2-9, равное 0. Этого нельзя делать.

 Любое равенство можно делить только на число, отличное от 0.

Чётное и нечётное

5 есть 2+3 («два и три»). Два — число чётное, три — нечётное, выходит, что пять — число и чётное и нечётное. 

Не знаешь то, что знаешь

«Знаешь ли ты, о чём я хочу тебя спросить?» — «Нет». — «Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?» — «Знаю». — «Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь». 

«Полный стакан равен пустому

   Пусть имеется стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен стакану пустому.

   Верно ли приведенное суждение?

                   Где ошибка?

  Разбор софизма.  Ясно, что приведенное рассуждение неверно, так как в нем применяется неправомерное действие: увеличение вдвое. В данной ситуации его применение бессмысленно.

Лекарства

«Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше». 

Вор

«Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего» 

Отец — собака

«Эта собака имеет детей, значит, она — отец. Но это твоя собака. Значит, она твой отец. Ты её бьёшь, значит, ты бьёшь своего отца и ты — брат щенят». 

Рогатый

«Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога». 
-1>1 
Дана дробь: 1/Х. Как известно, она возрастает с уменьшением знаменателя 
Поэтому, т.к. ряд 5, 3, 1, -1, -3, -5 убывающий, то ряд вида 1/Х=1/5, 1/3, 1, -1, -1/3, -1/5 и т.д. есть возрастающий. Но в возрастающем ряду каждый последующий член больше предыдущего, а это значит: 1/3>1/5, 1>1/3, -1>+1... 

2=1 
1)Х2-X2=X2-X2; (X+X)(X-X)=X(X-X); сокращаем: X+X=X; 2X=X; 2=1. 
2) Х=1; X2=X; X2-1=X-1; X+1=1, но т.к. Х=1, то 2=1. 

3.3.1 Классификация софизмов

Арифметические софизмы.

Равенство неравных величин

Всякое число равно своему удвоенному значению.

Запишем очевидное для любого числа a тождество

a2 - a2 = a2 - a2, вынесем a в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получим    a(a – a) = (a + a)(a - a).Разделив обе части на a - a, получим a = a + a, или a=2a.

Итак, всякое число равно своему удвоенному значению.

Разбор софизма. Здесь ошибочен переход к равенству a=2a. В самом деле, число a-a, на которое делится равенство a(a – a) = (a + a)(a - a) равно нулю. Поэтому его можно записать в виде , откуда, очевидно, следует, что число a слева и число a+a справа могут принимать любые, отнюдь не равные друг другу значения. Деление же обеих частей этого равенства на неравное нулю число a-a приводит к бессмыслице.

Неравные числа равны.

Возьмем два неравных между собой произвольных числа a и b. Пусть их разность равна c, т.е. a-b=с. Умножив обе части этого равенства на a-b, получим , а раскрыв скобки, придём к равенству , из которого следует равенство  вынося общий множитель a слева и общий множитель b  справа за скобки, получим  Разделив последнее равенство на ,получаем, что a=b, другими  словами, два неравных между собой произвольных числаa и  b равны.

Разбор софизма. Здесь мы имеем деление нуля на нуль, которое не имеет смысла, поскольку равенство  выполняется при любых  a и b.

Все ли утверждения математики верны

Чётное число равно нечётному

Возьмём произвольное чётное число 2n, где n-любое целое число, и запишем тождество , в справедливости которого нетрудно убедиться, раскрыв скобки. Прибавив к обеим частям этого тождества , перепишем его в следующем виде: ,

или в таком:,

Откуда следует, что , или 2n=2n+1,

что означает равенство чётного числа нечётному.

Разбор софизма. Из равенства квадратов не следует равенство величин.

Всякое положительное число является отрицательным

Пусть n-положительное число. Очевидно, 2n-1<2n.Возьмём другое произвольное положительное число a и умножим обе части неравенства на (-а): -2an+a<-2an.

Вычитая из обеих частей этого неравенства величину (-2an), получим неравенство a<0, доказывающее, что всякое положительное  число является отрицательным.

Неравенство одинаковых величин.

Один рубль не равен ста копейкам.

Известно, что любые два равенства можно перемножить почленно, не нарушая при этом равенства, т. е. если а = b и c = d, то ac = bd. Применим это положение к двум очевидным равенствам: 1 рубль = 100 копейкам, 10 рублей = 1000 копеек. Перемножая эти равенства почленно, получим: 10 рублей = 100 000 копеек и, наконец, разделив последнее равенство на 10, получим, что 1 рубль = 10 000 копеек.

Таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

Разбор софизма. Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правила действий с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.

Число равное другому числу, одновременно и больше, и меньше его

Возьмём два произвольных положительных равных числа a и b и напишем для них следующие очевидные неравенства: a>-b и b>-b. Перемножив оба эти неравенства почленно, получим неравенство  >, а после его деления на b, что вполне законно, так как по условию b>0, придём к выводу, что a>b. Записав же два других верных неравенства b>-a и a>-a, аналогично предыдущему получим, что ba>, а разделив на a>0, придём к неравенству a

Меньшее превышает большее.

Всякое отрицательное число больше положительного,

имеющую ту же абсолютную величину

Нижеследующее рассуждение основано на утверждении: если две дроби  и  равны  и в первой  дроби числитель больше знаменателя, то и во второй числитель должен быть больше  знаменателя, т. е. если a>b и то и c>d. Запишем теперь очевидные равенства (число)  и Из предыдущего видно, что оба отношения равны (-1), и поэтому мы можем записать   .  Но как известно, если две дроби равны, а в первой дроби числитель больше знаменателя (так как +А>-A), то, следовательно, и во второй  дроби числитель должен быть больше  знаменателя, таким образом необходимо, чтобы выполнялось неравенство. Итак, мы пришли к выводу, что отрицательное число больше положительного.

Разбор софизма. Для положительных чисел данное утверждение правильное. Так, если все числа а, b, с и d положительны и имеет место равенства дробей, то из того, что a>b, действительно следует, что c>d. Для чисел неположительных это утверждение может быть и неверным, что и получилось в данном софизме.

Софизм Перрона: единица есть наибольшее натуральное число

Нижеследующий софизм приписывается Перрону. Мы знаем, что числа 1, 2, 3, 4, 5, … называются натуральными. Понятно, что натуральных чисел бесконечное множество и наибольшего натурального числа нет. Тем не менее мы докажем, что наибольшим  натуральным числом является единица. Пусть число k>1 является наибольшим натуральным числом. Тогда мы можем записать, если k>1,то , значит . Последнее показывает, что принятое нами  в качестве наибольшего натурального числа число , больше этого числа k. Следовательно, никакое целое число k>1 не может быть наибольшим целым. Значит, наибольшим натуральным числом является 1,так как только в этом случае мы не приходим к противоречию.

Разбор софизма. Доказательство в софизме не закончено, и его надо продолжить.

Итак, в софизме показано, что никакое целое число k>1 не может являться наибольшим натуральным числом. Далее, в софизме делается такое заключение: «остаётся принять, что наибольшим натуральным является число 1». Здесь «доказательство» необходимо продолжить так: но поскольку 1, очевидно, не может быть наибольшим натуральным числом, то отсюда следует, что наибольшего натурального числа не существует.

Геометрические софизмы 

Из точки на прямую можно опустить два перпендикуляра

Попытаемся доказать, что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра. С этой целью возьмем ∆АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и D. Соединим точки Е и D прямыми с точкой В. Угол АЕВ – прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр, угол ВDC также прямой. Следовательно, ВЕ║АС и ВD║АС. Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.

Разбор софизма. Рассуждения опирались на ошибочный чертеж. В действительности полуокружности пересекаются со стороной АС в одной точке, т.е. ВЕ совпадает с ВD.Даже если чертеж был бы правильным, то не возможно, что в треугольнике ВЕD сумма всех углов больше 180˚. (Е=90˚, D=90˚).

Внешний угол треугольника равен внутреннему, не смежному с ним

 Рассмотрим четырехугольник ABCD, такой, в котором  ADC+ABC=180˚

Через точки A, D и С проведем окружность, которая пересечет стороны АВ и ВС в некоторых точках E и F. Соединив  точки С и Е, получим вписанный в эту окружность четырехугольник ADCE. Но сумма противоположных углов всякого вписанного  четырехугольника, как известно, равна 180˚ , потому

ADC + AEC = 180˚

Сравнив равенства (1) и (2), получим

 ADC+ABC = ADC + AEC 

ABC = AEC

Разбор софизма. Ошибка кроется в том, что на самом деле окружность, проведена через точки А, D и С данного четырехугольника, обязательно пройдет через точку B. Другими словами, все точки четырехугольника ABCD должны лежать на одной окружности. По условию четырехугольник  ABCD построен так, что углы при вершинах В и D в сумме составляют 180˚. Но это условие является условием того, что вокруг этого четырехугольника можно описать окружность.  

Логические софизмы

 Кроме математических софизмов, существует множество других. Понять абсурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными. Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными.

Полупустое и полуполное

«Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное».

Не знаешь то, что знаешь

«Знаешь ли ты, о чём я хочу тебя спросить?» — «Нет». — «Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?» — «Знаю». — «Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь».

Лекарства

«Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше».

Вор

«Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего».

Рогатый

«Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога».

3.3.2 Классификация парадоксов

Традиционная классификация, идущая от Рамсея (1926), делит парадоксы на логические и семантические. Это классификация проста и удобна, однако М.М. Новосёлов замечает, что рамсеевская классификация парадоксов не делает различия между чистой и прикладной логикой. Однако, это различие существенно, поскольку в чистой логике нельзя обнаружить что-либо парадоксальное, непротиворечивость этих систем доказана. Только в прикладной логике есть гипотезы и предпосылки, которые придают доказательствам относительный (условный) характер и которые, в случае обнаружения противоречий, приходится исключать.

М.М. Новосёлов предлагает иную классификацию парадоксов, которая, по его мнению, более детально обращает внимание на особенности допущений (и принципов) весьма общего порядка, способных проявиться в основе того или иного парадокса. Данная классификация разделяет парадоксы на:

1) парадоксы, связанные с математической индукцией (парадокс кучи, космологические парадоксы; парадокс Хао-Вана, связанный с неоднозначностью натурального ряда в аксиоматической теории множеств и формализуемостью доказательств непротиворечивости);

2) парадоксы релевантности (т.е. те, в основе которых лежит допущение о возможности игнорировать подробности смысловых связей); с этими парадоксами связаны и парадоксы математической индукции, так как попытки освободиться от этих парадоксов основаны на математической индукции;

3) парадоксы отождествлений (в основе которых лежит допущение о независимости тождества от отождествлений); они также связаны с парадоксами математической индукции и парадоксами актива-пассива;

4) семантические парадоксы (основанные на допущение об осмысленности отношения обозначения);

5) теоретико-множественные парадоксы (сводимые к предыдущим);

6) парадоксы актива-пассива (отождествление происходящего с производимым и т.п.; к ним относятся парадоксы о необходимости начала мира, антиномии Канта); кроме того, из-за парадоксов актива-пассива возникают парадоксы отождествлений, а также следующие группы парадоксов:

7) парадоксы модальностей, которые допускают дальнейшую классификацию: отождествление возможного с действительным, ошибка смещения целей (приводящая к тому, что достаточное считается необходимым и т.п.); пренебрежение условиями возможности (что связано с парадоксами релевантности и приводит к смешению возможности с действительностью); парадокс «утренняя звезда»

8) парадоксы из-за смещения интуитивных понятий с четко определенными (они родственны семантическим парадоксам).

В электронной энциклопедии Wikipedia приводится следующая классификация парадоксов:

I. Логические:

- парадокс импликации: несовместные посылки делают аргумент верным;

- парадокс лотереи: вполне ожидаемо (и философски проверяемо), что данный конкретный билет не выиграет, но нельзя ожидать, что никакой билет не выиграет.

II. Парадоксы самореференции (самоотносимости):

Это хорошо известный (и хорошо изученный) класс противоречий, возникающий из-за ссылки на само себя.

- парадокс Берри: фраза «наименьшее число, которое нельзя описать менее, чем десятью словами» описывает это число девятью словами;

- парадокс Эпименида: Критянин говорит: «Все критяне - лжецы»;

- парадокс исключений: «Если у каждого правила есть исключения, то каждое правило должно иметь хотя бы одно исключение, кроме этого» …а это не исключение к правилу, которое утверждает, что у каждого правила есть исключения?

III. Неопределённые:

- парадокс Корабля Тесея: если каждый элемент корабля был заменён хотя бы один раз, можно ли считать корабль прежним кораблём?

- парадокс кучи: в какой момент куча перестанет быть кучей, если отнимать от неё по одной песчинке? Или, в какой конкретно день какой-либо человек становится лысым?

IV. Математические и статистические:

- парадокс интересных чисел: первое неинтересное число интересно само по себе этим фактом. Поэтому неинтересных чисел не существует;

- парадокс Линдли: маленькие ошибки в нулевой гипотезе сильно возрастают, если анализируются большие массивы данных, приводя к ложным, но одновременно точным со статистической точки зрения результатам;

V. Вероятностные:

- парадокс Берксона: два независимых события становятся условно зависимыми при условии, что хотя бы одно из них произошло;

- парадокс пари: в некоторых ситуациях выгодно спорить обоим противникам, ибо оба имеют бо́льшие шансы на победу, чем на проигрыш;

- парадокс определения: невозможно дать определение определению, ибо пока мы не дали это определение, сам о понятие определения остается неизвестным;

VI.Связанные с бесконечностью:

- парадокс Гильберта: Если гостиница с бесконечным количеством номеров полностью заполнена, в неё можно поселить ещё посетителей, даже бесконечное число;

- парадокс Интернета: Вероятность существования нужной информации в Интернете возрастает, а возможность её найти уменьшается.

 VII.Геометрические или топологические

- парадокс Банаха - Тарского: шар может быть разложен на несколько частей, из которых потом можно сложить два точно таких же шара.

VIII. Связанные с выбором:

- парадокс Абилина: Бывает, что люди принимают решения основанные не на том, что они сами хотят, но на том, что они думают, что другие хотят. В результате получается, что каждый делает что-то, что никому на самом деле не нужно;

- парадокс контроля: человек не может быть свободен от контроля, ибо чтобы быть свободным от контроля, нужно контролировать себя;

IX. Химические:

- парадокс Левинталя: промежуток времени, за который протеиновая цепочка приходит к своему скрученному состоянию, на много порядков меньше, чем оно могло бы быть, если она просто перебирала все возможные конфигурации.

X. Физические:

- парадокс Архимеда: огромный корабль может плавать в нескольких литрах воды;

- кот Шрёдингера. Квантовый парадокс: кот жив или мёртв перед тем, как мы на него посмотрим?

- парадокс близнецов: Когда близнец-путешественник вернулся, он стал моложе или старше, чем его брат, который оставался на Земле?

XI. Связанные с путешествиями во времени:

- парадокс дедушки: вы перемещаетесь в прошлое и убиваете своего дедушку до того, как он познакомился с Вашей бабушкой. Из-за этого Вы не сможете появиться на свет и, следовательно, не сможете убить своего дедушку;

- парадокс предопределения: человек попадает в прошлое, имеет половую связь со своей прабабушкой и зачинает своего дедушку. В результате получается череда потомков, включая родителя этого человека и его самого. Следовательно, если бы он не путешествовал в прошлое, его бы вообще не существовало.

XII. Философские:

- тотальная казнь, или парадокс смертной казни: убийство в некоторых странах карается смертной казнью, но, совершая её, государство (то есть все его жители) становятся убийцами и должны быть приговорены к смерти;

- парадокс эпикурейцев, или Проблема зла (англ.): кажется, что существование зла несовместимо с существованием всемогущего и заботливого Бога;

XIII. Экономические:

- парадокс ценности: почему вода стоит дешевле алмазов, хотя потребность человека в ней гораздо больше, чем в алмазах?

- парадокс Элсберга: Люди предпочитают известный, хотя и бо́льший, риск неизвестному риску, что противоречит теории ожидаемой пользы;

- парадокс Паррондо: возможно выиграть, играя поочерёдно в две заведомо проигрышные игры;

Таким образом, можно утверждать, что в настоящий момент существует немало классификаций парадоксов и ни одну из них нельзя назвать совершенной. Попытаться классифицировать, упорядочить парадоксы – это как попытаться объять необъятное. Парадоксы существуют повсюду, они неотъемлемая часть любой науки. Разнообразие и разноаспектность наук и объясняет разнородность парадоксов, которая служит помехой для создания точной и общепринятой классификации.

4.  Литература

1. «Математические софизмы». Книга для учащихся 7-11 классов. Авторы: А.Г. Мадера, Д.А. Мадера. Москва «Просвещение» 2003.

2. «Математическая шкатулка». Автор: Ф.Ф. Нагибин. Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР 1961.

3.  «Математика после уроков». Пособие для учителей. Авторы: М.Б.Балк, Г.Д.Балк. Москва «Просвещение», 1971.

4. Мартин Гарднер А ну-ка, догадайся! М.: Мир, 1984. 

5. Софизм Эватла  (англ.). — в Smith's Dictionary of Greek and Roman Biography and Mythology.

6. Ивин А. А. Логика: Учебное пособие. — 2-е изд. — М.: Знание, 1998. 

7.  Маковельский А. О. История логики. — М., 1967.

8. Светлов В. А. О разрешимости одного неразрешимого спора, или Следовало ли Протагору подавать в суд на Еватла //Философские науки.1992.

9. Ахвледиани А.Н. Гносеологический анализ возможных решений древнегреческого парадокса «Тяжбы Протагора с Эватлом» // ΣΧΟΛΗ 4.2 (2010)

10. Ресурсы интернета

Раздел 2. Методические рекомендации по использованию исторического материала по теме «Софизмы и парадоксы».

 (Указать темы уроков, на которых данный материал целесообразно использовать, этапы урока, формы преподнесения исторического материала, виды учебной деятельности, планируемые образовательные результаты и др.)

   Данный материал целесообразно использовать на заключительных уроках в 5-6 классах и возвращаться к нему далее в 7-9-10-11 классах по спирали от более простого к сложному. В 5 классах на основе понятийного, исторического материала с простыми примерами (см. презентацию), далее усложнять по мере усвоения новых знаний и умений. В 7-9 классах привести классификацию софизмов и парадоксов. Учить составлять и придумывать их самих, доказывать или опровергать.

Цель урока: познакомить учащихся с понятиями софизма и парадокса; историей их возникновения;  узнать,  в чем их отличия; понять, как найти в них ошибку на конкретных примерах.

Задачи урока:

- развивать  креативность мышления,  логику, творчество.

- активизировать познавательную активность к математике.

- расширять кругозор учащихся.

Тип урока: актуализация знаний или «открытие» новых знаний /проблемно-ориентированный урок/

Формы преподнесения исторического материала: сообщение учащихся, презентация проекта, работа творческих групп.

Виды учебной деятельности:

- уметь отличать софизм от парадокса, выстраивать самостоятельно алгоритм поиска ошибки, оперируя своим математическим аппаратом знаний;

- выдвигать гипотезы;

- решать задачи, анализируя и осмысливая их текст;

- извлекать необходимую математическую информацию, строить логическую цепочку рассуждений.

Планируемые образовательные результаты:

- представление о математической науке как сфере человеческой деятельности, об этапах её развития;

- умение находить в различных источниках информацию, необходимую для решения математических проблем, и представлять её в понятной форме;

-точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи, применяя математическую терминологию и  символику.

Раздел 3.  Использование исторического материала по теме

 «Софизмы и парадоксы» во внеурочное время.

Форма организации внеурочной деятельности – занятие математического кружка (элективный курс).

    Формы преподнесения исторического материала: сообщение учащихся, показ  презентации, результаты проектной деятельности.

Виды учебной деятельности:

– познакомить учащихся с понятиями софизма и парадокса, расширить знания о них на основе классификации, выявить их отличия и отношения к истине;

– формировать навыки самостоятельной работы с большим объемом информации;

– формировать умение видеть проблему и находить пути ее решения; применять базовые знания для решения конкретных задач;

– развитие креативности мышления, творчества, эмоциональной окраски отношения к предмету  при работе с софизмами и парадоксами;

– способствовать расширению  научного мировоззрения,  открыть новые грани человеческой культуры, связанные с поиском парадоксов в жизни;  

– научиться представлять результаты труда с использованием современных информационных технологий.

Планируемые образовательные результаты:

– приобретут знания о великих ученых и мыслителях, софизмах и парадоксах; их многообразии и классификации; как часто они встречаются в окружающем нас мире;

– расширят свой инструментарий способов доказательств и логических рассуждений в различных сферах современной науки и искусства;

– актуализируют знания в области информационно-коммуникационных технологий, интернет-технологий, программирования.