Теорема Птолемея
материал для подготовки к егэ (гиа, 9 класс) на тему

4.  Теорема Птолемея

Клавдий Птолемей (ок.100-ок.178)– древнегреческий астроном, математик, географ. Он ввёл понятия широты и долготы местности. Автор «Великого математического построения астрономии в 13 книгах» («Альмагест»), в котором, в частности,  изложены сведения по прямолинейной и сферической тригонометрии и дана теорема о выпуклом четырёхугольнике, вписанном в окружность. Благодаря теореме он составил таблицу хорд, которой воспользовался для астрономических вычислений.

Сумма произведений двух пар противоположных сторон вписанного четырёхугольника равна произведению его диагоналей     

Запишем теоремы синусов для треугольников АВD, АВС, ВСD:  

,  , , , ,  .

Теорема будет доказана, если будет показано равенство тригонометрических выражений, получившихся при подстановке в формулу после сокращения на :

  и   . После тригонометрических преобразований левой и правой части  и   получаем тождественное равенство.

Другое доказательство прямой теоремы связано с небольшим дополнительным построением. Проведём отрезок АQ  так, чтобы  углы QАD и ВАС были равны. Из подобия треугольников  QАD и ВАС следует равенство  или . Из подобия треугольников  QАВ и АСD следует равенство  или .

Сложив равенства ,    получаем  .

Покажем, как Птолемей составил таблицу хорд. Допустим, дан диаметр окружности d и хорды двух дуг: а и b.

Найдём хорду разности этих дуг.

Запишем теорему с учётом того, что треугольники МАС и МВС прямоугольные:

, откуда получаем формулу для хорды .   Следует заметить, что .   Разделив дугу пополам, можно найти хорду половины дуги. Птолемей установил длину хорды дуги 0,50 и, пользуясь этим, вычислил хорды всех дуг с шагом в 0,50. Это были первые тригонометрические таблицы в истории математики.

Задачи на теорему Птолемея

1. На окружности, описанной около равностороннего треугольника АВС, взята произвольная точка М, отличная от А, В и С. Доказать, что один из отрезков АМ, АВ, АС равен сумме двух других.
2. В шестиугольнике АВСDЕF, вписанном в окружность, АС = СЕ = ЕА,  .    Найти периметр шестиугольника.
3. Биссектриса угла А треугольника АВС пересекает описанную около треугольника окружность в точке D. Докажите, что .

5.  Определение радиуса вневписанной  окружности в треугольнике

Пусть в треугольнике АВС точка О – центр вневписанной окружности, точка Р – центр описанной окружности, Е – центр вписанной окружности, угол ВАС равен α, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности,  ρ – радиус вневписанной окружности, M,  F,  D,  H,  K,  Q – точки касания окружностей со сторонами треугольника или угла.

Запишем следующую систему равенств: .  Из системы следует формула .  Запишем теорему косинусов для стороны а:

Таким образом,    и   .

Можно получить формулу для r следующим образом: ,  , , следовательно    

Воспользовавшись формулой для ρ  несложно получить следующие равенства:

  и  .

Теорема Мансиона

Отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам. Пауль Мансион – бельгийский математик, 1844-1919 г.

Пусть N – середина отрезка ЕО. Докажем, что в этом случае отрезок РN есть радиус  описанной  окружности.  Итак, .