Матероиал для газеты. Неделя математики.
материал (6 класс) по теме

Сколько дней без пищи ? (демо-задача №324)

Марсианский межпланетный корабль прибыл с визитом на Землю.

Марсиане едят самое большое один раз в день, либо утром, либо в полдень, либо вечером.

Но едят они только тогда, когда испытывают чувство голода. Они могут обходится без пищи несколько дней.

За время пребывания Марсиан на Земле, они ели 7 раз.

Нам также известно, что они провели без пищи 7 раз утром, 6 раз в полдень и 7 вечеров.

Сколько всего дней за время своего визита Марсиане провели без пищи ?

(a) 0 дней;  (b) 1 день;  (c) 2 дня;  (d) 3 дня;  (e) 4 дня;  (а) 5 дней; 

Сколько времени ?(демо-задача №326)

Велосипедист и Пешеход покинули пункт А в одно и то же время и с постоянной скоростью направились в пункт В.

Велосипедист приехал в пункт В и тут же отправился в обратный путь и встретил Пешехода спустя час от того момента, когда они выехали из пункта А.

Здесь Велосипедист снова развернулся и они оба стали двигаться в направлении пункта В.

Когда велосипедист достиг пункта В, он снова повернул назад и снова встретил Пешехода через 40 минут после их первой встречи.

Чему равняется сумма цифр числа, выражающего время (в минутах), необходимое Пешеходу, чтобы из пункта А придти в пункт В?

(a)2;  (b) 14;  (c) 12;  (d) 7;  (e) 9. 

Сколько драконов ? (демо-задача №321)

2-головые и 7-головые драконы собрались на митинг.

В самом начале митинга Король Драконов - 7-головый Дракон пересчитал всех собравшихся по головам.

Он огляделся вокруг своей, украшенной короной средней головы и увидел 25 голов.

Король остался доволен результатами подсчетов и поблагодарил всех присутствующих за их явку на митинг.

Сколько всего драконов пришло на митинг?

(a)7;  (b) 8;  (c) 9;  (d) 10;  (e) 11; 

Сколько побед ?(демо-задача №323)

Никита и Александр играют в шахматы.
Перед началом игры они договорились,

что выигравший партию получит 5 очков, проигравший не получит ни одного очка, и каждый игрок получит по 2 очка, если партия закончится вничью.

Они сыграли 13 игр и получили вместе 60 очков.

Александр получил втрое больше очков за те партии, которые он выиграл, чем за те, которые были вничью.

Сколько побед одержал Никита?

(a)1;  (b) 2;  (c) 3;  (d) 4;  (e) 5; 

В каком интервале находится "секретное" число?

(a) от 1 до 100;  (b) от 101 до 200;  (c) от 201 до 300; 

(d) от 101 до 300;  (e) Невозможно определить 

Сколько истинных? (демо-задача №322)

На лодочной станции можно взять на прокат 24 снаряда:

  8 водных велосипедов

  10 байдарок

  6 сёрфов

Шесть каких-то снарядов кто-то уже взял на прокат.

Какие из высказанных ниже утверждений относительно снарядов, еще не снятых: всегда истинные, какие утверждения могут быть истинными, а могут быть и ложными, а какие всегда ложные:

1.   Сёрфов не осталось
2.   Любой из трех видов снарядов еще можно взять на прокат
3.   Остался еще по крайней мере один сёрф, который можно взять на прокат
4.   Осталась еще по крайней мере один водный велосипед, который можно взять на прокат.
5.   Водных велосипедов уже не осталось
6.   По крайней мере остались еще 2 байдарки, которые можно взять на прокат.

Сколько высказано утверждений, которые наверняка истинные?

(a)5;  (b) 4;  (c) 3;  (d) 2;  (e) 1; 

Какая часть картины светлая ? (демо-задача №311)

В комнате Сережи на стене висит картина в стиле "модерн".

(Пунктирные линии указывают на сетку, которую можно набросить поверх картины.)

Какая часть этой картины светло-серого цвета ? 

(a) 1/5;  (b) 1/4;  (c) 1/3;  (d) 1/2; 

Решение занимательной арифметической задачи.

Сколько драконов ? (Демо-задача №321). 

2-головые и 7-головые драконы собрались на митинг.
В самом начале митинга Король Драконов - 7-головый Дракон пересчитал всех собравшихся по головам.

Он огляделся вокруг своей, украшенной короной средней головы и увидел 25 голов.
Король остался доволен результатами подсчетов и поблагодарил всех присутствующих за их явку на митинг.

Сколько всего драконов пришло на митинг?

(a)7;  (b) 8;  (c) 9;  (d) 10;  (e) 11; 

Решение:

Вычтем из 25 голов, подсчитанных Королем Драконов, 6 принадлежащих ему голов.

Останется 19 голов. Все оставшиеся Драконы не могут быть двуголовыми ( 19 - нечетное число).

7-головый Дракон может быть только 1 (если 2, то для двуголовых останется нечетное число голов. А для троих Драконов нехватает голов : (7 · 3 = 21 > 19).

Вычтем из 19 голов 7 голов этого единственного Дракона и получим общее количество голов, принадлежащих двуголовым Драконам.

Следовательно, 2-головых Драконов :
(19 - 7) / 2 = 6 Драконов.

Итого: 6 +1 +1 (Король) = 8 Драконов.

Правильный ответ :b = 8 Драконов

Решение занимательной задачи по математике

Сколько побед? (Демо-задача №323). 

Никита и Александр играют в шахматы.
Перед началом игры они договорились,

что выигравший партию получит 5 очков, проигравший не получит ни одного очка, и каждый игрок получит по 2 очка, если партия закончится вничью.

Они сыграли 13 игр и получили вместе 60 очков.
Александр получил втрое больше очков за те партии, которые он выиграл, чем за те, которые были вничью.

Сколько побед одержал Никита?

(a)1;  (b) 2;  (c) 3;  (d) 4;  (e) 5; 

Правильный ответ :(b) 2 победы (одержал Никита)

Решение.

Каждая партия вничью дает в копилку 4 очка, а выигрыш - 5 очков.
Если бы все партии закончились вничью, то мальчики набрали бы 4 · 13 = 52 очка.
Но они набрали 60 очков.

Отсюда следует, что 8 партий были закончены чьим-то выигрышем.
А 13 - 5 = 5 партий завершились вничью.

Александр набрал в 5 партиях вничью 5 · 2 = 10 очков, значит при выигрыше он набрал 30 очков, то есть выиграл 6 партий.
Тогда Никита выиграл (8-6=2) 2 партии. 

Решение задачи на логику

Секретное число (Демо-задача №314). 

Дети играли в игру. Водящий загадал число, находящееся между
1 и 300 (1 и 300 входят в число задуманных).
Трое ребят пытались отгадать это число.
Они сделали следующие утверждения относительно "секретного" числа:
(А) Антон: это число между 1 и 100;
(Б) Борис: это число не между 101 и 200;
(В) Володя: это число не между 1 и 100;
Но двое из этих мальчиков признались вскоре, что они сказали неправду.
В каком интервале находится "секретное" число?
(a) от 1 до 100;  (b) от 101 до 200;  (c) от 201 до 300; 
(d) от 101 до 300;  (e) Невозможно определить 

Решение задачи на логику про лжецов и честных

Сколько честных людей? (Демо-задача №334). 

На острове живут два типа людей : честные и лжецы.
Честные всегда говорят правду, лжецы всегда лгут.

Однажды мы спросили каждого из 5-ти человек, живущих на этом острове, которые хорошо знали друг друга :
"Сколько среди Вас честных людей ?"
Мы получили следующие ответы:

0, 1, 2, 3, 4.

Сколько же честных людей в этой группе из 5-ти человек ?
(a) 0 чел.;  (b) 1 чел.;  (c) 2 чел.;  (d) 3 чел.;  (e) 4 чел.;  (f) 5 чел.; 

Правильный ответ :(b) = 1 чел.
Решение:
Человек, назвавший число честных - ноль, лжец, так как честный обязательно назовет число, равное или больше единицы.
Так что верить этому человеку, что честных тут нет, нельзя. В группе должен быть обязательно по крайней мере один честный человек. Предположим, что человек, назвавший число 1 - тоже лжец, тогда в ответах островитян должно появиться два раза число 2 (если честных -2), или 3 раза число 3, (если честных - три).
Но этого не происходит.
Следовательно, в этой группе - 1 честный человек, тот, который назвал число 1.

Решение занимательной задачи на принцип Дирихле

Отделим ложь от истины (Демо-задача №332). 

Фокусник вынимает шары из шляпы. Мы знаем, что в этой шляпе первоначально было 3 серых, 1 белый и 2 цветных шара. 

Сколько среди нижеследующих высказываний Вы можете насчитать наверняка ложных высказываний,

если некоторые из них истинные наверняка, другие высказывания могут быть истинные, а могут быть и ложные, и есть утверждения, наверняка ложные:

А) если он вынет 4 шара, среди них обязательно будет один серый шар;
Б) если он вынет 3 шара, будет по крайней мере по одному шару каждого вида;
В) если он вынет 4 шара,будет по крайней мере два шара одного и того же цвета;
Г) если он вынет 6 шаров, будет по крайней мере два шара каждого цвета;
Д) если он вынет 5 шаров, будет цветных шаров больше, чем серых;
Е) если он вынет 5 шаров, будет серых шаров больше, чем цветных.

(a) 0 выс.;  (b) 1 выс. ;  (c) 2 выс.;  (d) 3 выс.;  (e) 4 выс.;  (f) 5 выс.;  (j) 6 выс.; 

Правильный ответ :с) 2 выск.
(Всегда ложные высказывания : Г и Д)

Решение:
А) - всегда истинное,так как не серых шаров - только три.
Б)- может быть истинным ( он может вынуть по одному каждого цвета)
или ложным ( так как он может вынуть все три серых шара, или 1 белый и 2 цветных, или по одному каждого цвета)
В)- всегда истинно, потому что шары только трех цветов.
Г) - всегда ложно, так как в шляпе нет 2 белых шаров.
Д)- всегда ложно. Цветных может быть меньше (3 серых и 2 цветных) или столько же (2серых, 2 цветных и 1 белый), сколько серых.
Е) - иногда ложно (2 серых, 2 цветных и 1 белый) , иногда истинно (он может вынуть 3 серых и 2 цветных).

Решение занимательной геометрической задачи

Чему равна сторона квадратика ? (Демо-задача №334). 

На поверхность прямоугольника нанесена равномерная сетка. Площадь фигуры, покрашенной в фиолетовый цвет, равна 192 кв. см.

Каждая кривая линия - четвертая часть окружности.
Чему равна сторона маленького квадратика ?

(a) 1 см;  (b) 2 см;  (c) 3 см;  (d) 4 см;  (e) 5 см;  (f) 6 см; 

Правильный ответ :(d) 4 см - сторона маленького квадратика 

Решение: 

Проведем вспомогательные линии. Теперь хорошо видно, что фигура Е равна фигуре С, а фигура А равна фигуре В.

Значит фигуры А, В, С, Е можно друг на друга наложить (А на В, Е на С). После этого мы получаем фигуру площадью 12 клеток (мы 4 умножаем на 3).

Нам известна площадь фиолетовой фигуры, она равна 192 кв.см. А площадь одной клетки 192 : 12 = 16 кв.см.
Сторона клетки: 16 : 4 = 4 см.

Решение занимательной геометрической задачи

Ваза в разрезе (Демо-задача №325). 

На рисунке Вы видите поперечное сечение вазы.
Чему равна площадь этого сечения, если сторона маленького квадратика на рисунке равна 2 см ?
( Каждая кривая линия на рисунке - это половина или четверть окружности)

(a)96 кв.см;  (b) 120 кв.см;  (c) 144 кв.см;  (d) 160 кв.см;  (e) 184 кв.см; 

Правильный ответ :(с)144 кв.см.

Решение: 

Площадь сечения вазы гораздо легче вычислить без применения алгебры.
Проведем дополнительные линии.
Переместим участок
D на A, C - на B, E на - H,и F на - G.

Мы получим фигуру из трех прямоугольников 2х6 с общим числом квадратиков 3 · 2 · 6 = 36 квадратиков, или площадью 2см · 2см · 36 = 144 кв.см. 

Франсуа Виет (или Вьет) (фр. François Viète, seigneur de la Bigotière; 1540—13 декабря 1603) — выдающийся французский математик XVI века, положивший начало алгебре как науке. По образованию и основной профессии — юрист, по склонности души — математик.

Заслуги Виета:

• знаменитые «формулы Виета» для коэффициентов многочлена как функций его корней;

• новый тригонометрический метод решения неприводимого кубического уравнения, применимый также для трисекции угла;
• первый пример бесконечного произведения:

• полное аналитическое изложение теории уравнений первых четырёх степеней;
• идея применения трансцендентных функций к решению алгебраических уравнений;
• оригинальный метод приближённого решения алгебраических уравнений с числовыми коэффициентами   и     мн. другое.

Архиме́д (Ἀρχιμήδης; 287 год до н. э. — 212 год до н. э.) — великий древнегреческий математик, физик, механик и инженер из Сиракуз. Сделал множество открытий в геометрии. Заложил основы механики, гидростатики, автор ряда практически важных изобретений.

Главные математические достижения Архимеда касаются проблем, которые сейчас относят к области математического анализа. Греки до Архимеда сумели определить площади многоугольников и круга, объём призмы и цилиндра, пирамиды и конуса. Но только Архимед нашёл гораздо более общий метод вычисления площадей или объёмов; для этого он усовершенствовал и виртуозно применял метод исчерпывания Евдокса Книдского. Идеи Архимеда легли впоследствии в основу интегрального исчисления.

 В сочинении Квадратура параболы Архимед доказал, что площадь сегмента параболы, отсекаемого от неё прямой, составляет 4/3 от площади вписанного в этот сегмент треугольника (см. рисунок). Для доказательства Архимед подсчитал сумму бесконечного ряда:

Никола́й Ива́нович Лобаче́вский (20 ноября (1 декабря) 1792, Нижний Новгород — 12 (24) февраля 1856, Казань), русский математик, создатель геометрии Лобачевского, деятель университетского образования и народного просвещения. Известный английский математик Уильям Клиффорд назвал Лобачевского «Коперником геометрии».

Основная статья: Геометрия Лобачевского

Лобачевский считает аксиому параллельности Евклида произвольным ограничением. С его точки зрения, это требование слишком жёсткое, ограничивающее возможности теории, описывающей свойства пространства. В качестве альтернативы предлагает другую аксиому: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную. Разработанная Лобачевским новая геометрия не включает в себя евклидову геометрию, однако евклидова геометрия может быть из неё получена предельным переходом (при стремлении кривизны пространства к нулю). В самой геометрии Лобачевского кривизна отрицательна.

Другие математические достижения

Лобачевский получил ряд ценных результатов и в других разделах математики: так, в алгебре он разработал новый метод приближённого решения уравнений, в математическом анализе получил ряд тонких теорем о тригонометрических рядах, уточнил понятие непрерывной функции и др.

В разные годы он опубликовал несколько блестящих статей по математическому анализу, алгебре и теории вероятностей, а также по механике, физике и астрономии.

Пьер де Ферма́ (фр. Pierre de Fermat, 1601—1665) — французский математик, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. По профессии юрист, с 1631 года — советник парламента в Тулузе. Блестящий полиглот. Наиболее известен формулировкой Великой теоремы Ферма.

В отличие от Галилея, Декарта и Ньютона, Ферма был чистым математиком — первым великим математиком новой Европы. Независимо от Декарта он создал аналитическую геометрию. Раньше Ньютона умел использовать дифференциальные методы для проведения касательных, нахождения максимумов и вычисления площадей. Правда, Ферма, в отличие от Ньютона, не свёл эти методы в систему, однако Ньютон позже признавался, что именно работы Ферма подтолкнули его к созданию анализа  Но главная его заслуга — создание теории чисел. …

…В учебниках по математическому анализу можно найти важную лемму Ферма, или необходимый признак экстремума: в точках экстремума производная функции равна нулю.

Ферма сформулировал общий закон дифференцирования дробных степеней и распространил формулу интегрирования степени на случаи дробных и отрицательных показателей.

Развив идею Декарта, Ферма применил аналитическую геометрию к пространству. В работе «Введение к теории плоских и пространственных мест», ставшей известной в 1636 году, Ферма показал, что прямым соответствуют уравнения 1-й степени, а коническим сечениям — уравнения 2-й степени. Ферма исследовал общие виды уравнений 1-й и 2-й степеней.