Логические задачи и графы
методическая разработка (6 класс) по теме

Занятие 2.  Логические задачи и графы.

1. Разминка 1:   На грядке сидели 4 воробья.  К ним прилетели еще 2 воробья. Кот Васька подкрался и схватил одного воробья. Сколько воробьев осталось на грядке?  (ни одного, остальные разлетелись)

2. Разминка 2:   Чем больше из нее берешь, тем больше она становится. Что же это такое? (яма)

Теория графов находит применение в различных областях современной математики, особенно в экономике. При решении логических задач часто бывает трудно запомнить многочисленные условия, данные в задаче, и установить связь между ними. Решать такие задачи помогают графы, дающие возможность наглядно представить отношения между данными задачи. Познакомимся с основными понятиями теории графов.

Прежде всего, стоит сказать, что графы, о которых идет речь, к аристократам былых времен никакого отношения не имеют. Наши графы имеют корнем греческое слово «графо», что значит «пишу». Тот же корень в словах биография, график, голография. Рассмотрим понятие графа на примере. Решим задачу 3.  

3. Первенство класса.

В первенстве класса по настольному теннису 6 участников: Андрей, Борис, Виктор, Галина, Дмитрий и Елена. Первенство проводится по круговой схеме – каждый из участников играет с каждым из остальных один раз. К настоящему моменту некоторые игры уже проведены: Андрей сыграл с Борисом, Галиной и Еленой;   Борис, как уже говорилось, с Андреем и еще Галиной;  Виктор – с Галей, Димой и Еленой; Галина – с Андреем и Борисом; Дмитрий – с Виктором; Елена – с Андреем и Виктором. Сколько игр проведено к настоящему моменту и сколько еще осталось?

Решение: Изобразим данные задачи в виде схемы. Участников изобразим точками по первым буквам имени. Если двое участников уже сыграли между собой, то будем соединять изображающие их точки отрезками. Такие схемы и называются графами. Точки А, Б, В, Г, Д, Е – вершины графа, соединяющие их отрезки – ребрами графа. Заметьте, что точки пересечения ребер графа не являются его вершинами. Во избежание путаницы вершины графа часто изображают маленькими кружочками, а не точками. Ребра же зачастую удобнее изображать не прямолинейными отрезками, а дугами.  

                              Б         В                                                  Б              В  

                А                                   Г                           А                         

                                                                                                                             Г

                                                                                            Е                   Д

                             Рис.1                                                          Рис.2

Число игр, проведенных к настоящему моменту равно числу ребер, т.е. 7 игр (рис.1). Чтобы найти число игр, которое осталось провести, постоим еще один граф с теми же вершинами, но ребрами будем соединять тех участников, которые еще не сыграли друг с другом  
(рис.2).  Ребер у этого графа оказалось 8, значит, осталось провести 8 игр.

4. Из города А в город В ведут 3 дороги, а из города В   в город С – четыре дороги. Сколькими способами можно проехать из А в С?

Представим условие задачи в виде графов. Возьмем одну дорогу, ведущую из А в В. Ее можно продолжить до С 4 разными способками. То же самое можно сделать с каждой из двух других дорог, ведущих из А в В. Всего из А в С через В можно проехать 3 · 4= 12 способами.

                                          А                                    В                                             С

5. Клоуны Бам, Бим, Бом вышли на арену в красной, синей и зеленой рубашках. Их туфли тоже были этих  трех цветов. Туфли и рубашка Бима были одного цвета. На Боме не было ничего красного. Туфли Бама были синие, а рубашка нет. Каких цветов были туфли и рубашка у Бома и Бима?

Решение:

              Красные туфли                                      Бам                                  красная рубашка

              Синие туфли                                          Бим                                 синяя рубашка

              Зеленые туфли                                       Бом                                  зеленая рубашка

Ответ: Бом – синяя рубашка и зленные туфли

               Бам – зеленая рубашка и синие туфли.

6.  Три друга после школы едут домой на различном транспорте: автобусе, троллейбусе, трамвае. Однажды после уроков Алеша пошел проводить своего друга до  остановки автобуса. Когда мимо них проходил троллейбус, третий друг крикнул из окна: «Боря, ты забыл в школе тетрадку». Кто на чем ездит домой?

Нарисуем граф:

               Леша                                                      автобус

               Боря                                                       трамвай

               Витя                                                      троллейбус

Итак, Леша ездит на трамвае, Боря на автобусе, Витя на троллейбусе.