Старинные задачи
творческая работа учащихся (6 класс) по теме

Слайд 1

Слайд 2

Диофант – один из величайших математиков древности, заслуженно считающийся «отцом алгебры». Основное его произведение – «Арифметика» в 13 книгах. Это последнее великое математическое сочинение античности, дошедшее до нас. Сохранилось, к сожалению, только 6 первых книг из 13. «Арифметика» посвящена Дионисию – как полагают, епископу Александрийскому.

Слайд 3

Нововведения Диофанта Первая книга начинается обширным введением, где читатель знакомится с подходом автора. Диофант ввёл буквенные обозначения для неизвестных и специальные символы для их степеней, включая и отрицательные. Особые символы обозначали знак равенства и отрицательные числа. Знак сложения подразумевался. Рациональные числа трактуются так же, как и целые, что тоже не типично для античных математиков. Сформулированы многие привычные нам правила алгебры: смена знака при переносе в другую часть уравнения, сокращение общих членов и др. Есть даже правило знаков: минус на минус даёт плюс. Всё это формулируется, как и положено в алгебре, в общем виде, без отсылки к геометрическим истолкованиям

Слайд 4

Сборник задач Диофанта Большая часть труда – это сборник задач с решениями (их всего 189), умело подобранных для иллюстрации общих методов. Главная проблематика «Арифметики» - нахождение положительных рациональных решений неопределённых уравнений. В левой части уравнений рассматриваются многочлены произвольной степени с рациональными коэффициентами. Сначала Диофант исследует уравнения 2-го порядка от 2 неизвестных: F (х,у) = 0; он указывает метод нахождения других решений, если одно уже известно. Затем аналогичные методы применяет к уравнениям высших степеней

Слайд 5

Задача и её решение Задача: Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение равно 96. a + b = 20 a * b = 96 Решение: пусть разность двух этих чисел равна двум аритмам (переменным), т.е. B – a = 2 ζ , при учете того, что b < a ( но это не важно, с точностью до переименования чисел a и b ). Тогда: (10 – ζ )*(10 + ζ ) = 96 → 100 – ζ 2 = 96 → ζ 2 = 4 → ζ = 2 Ответ: a = 8, b = 12 (или наоборот).

Слайд 6

Задача и её решение Задача: Найти три такие числа, что квадрат суммы всех трех, вычтенный из каждого давал квадрат (какого-либо рационального числа). x – (x + y + z) 2 = α 2 y – (x + y + z) 2 = β 2 z – (x + y + z) 2 = γ 2 Решение: положим сумму трех чисел одному аритму, т.е. (x + y + z) 2 = ζ → x + y + z = ζ 2 (1) Пусть х = 2 ζ 2 , y = 5 ζ 2 , z = 10 ζ 2 , тогда α 2 = ζ 2 , β 2 = 4 ζ 2 , γ 2 = 9 ζ 2 . Подставляя в (1), получим: 2 ζ 2 + 5 ζ 2 + 10 ζ 2 = ζ , откуда ζ = 1/17. Ответ: x = 1/289, y = 5/289, z = 10/289.

Слайд 7

Эпитафия Диофанта На надгробной плите одного из величайших математиков древности выбита такая надпись: «Здесь погребен Диофант, и камень могильный при счёте искусном расскажет о том, сколь долго был его век. Велением бога он мальчиком был шестую часть жизни своей. В двенадцатой части, затем, прошла его юность. Седьмую часть прибавил пред нами очаг Гименея. Пять лет протекло и прислал Гименей ему сына. Но горе ребенку – едва половину он прожил тех лет, что отец, как скончался, несчастный. Четыре года страдал Диофант от потери тяжёлой и умер, прожив для науки. Скажи мне, скольки лет достигнув, смерть воспринял Диофант?» Решение: пусть продолжительность жизни Диофант равна ζ . Тогда: 1/6 ζ + 1/12 ζ + 1/7 ζ + 5 + 1/2 ζ + 4 = ζ Ответ: ζ = 84

Слайд 8

И напоследок … Решение задач даёт основания полагать, что Диофант хорошо разбирался в теории чисел. Но в решениях задач нет общности – каждая задача решается по-своему, нет метода решения. Но, все же, огромным вкладом этого ученого в развитие математики явились вверение неизвестного и упрощение формы записи задач (символы). В X веке «Арифметика» была переведена на арабский язык, после чего математики стран ислама продолжили некоторые исследования Диофанта. Латинский перевод «Арифметики» появился в XVII веке, и методы Диофанта оказали огромное влияние на Виета, Ферма и Декарта.