Математика
«Сферическая геометрия»

Программа предметно-ориентированного элективного курса для предпрофильной подготовки в 9 классе.

Пояснительная записка.

Профилизация  средней школы требует специальной предпрофильной подготовки учащихся, так как обучение в школе или классе с углубленным изучением профильного предмета предполагает уже сложившийся интерес к предмету и наличие способностей к его изучению на повышенном уровне.

        Курс «сферическая геометрия» знакомит учащихся с основными понятиями и некоторыми результатами, относящимися к геометрии сферы.

        Этот курс позволяет опробовать свои силы учащимся 9–х классов в ходе изучения стереометрии элементов, которая изучается в 10 – 11 классах, сделать для себя выводы: интересна и посильна ли им для усвоения стереометрия. Цель курса – вызвать интерес у учащихся к разделу геометрия – стереометрия, которая является неотъемлемой частью таких профессий, как моряк, летчик, космонавт. Содержание курса сферическая геометрия непосредственно связана с  программным материалом: в ходе изложения повторяются сведения, известные учащимся из курса геометрии, находят применение теоремы стереометрии, получают развитие в сведениях о перемещениях пространства. Доказанные в курсе теоремы сферической геометрии позволяют ознакомить учащихся с некоторыми красивыми фактами теоремы Эйлера о многогранниках, невозможностью изометрического отображения сферы на плоскость и другие. Содержащиеся сведения о геометрии сферы дают возможность убедительно показать её практические применения: решаются простейшие задачи навигации и картографии, дается представление  о некоторых картографических проекциях. Таким образом данный элективный курс позволит реализовать основные концептуальные и педагогические идеи предпрофильной подготовки учащихся к выбору математического профиля:

1. развитие интереса к математике и математической деятельности;
2. выявление и развитие математических способностей учащихся;
3. формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности, а также необходимых для полноценной жизни в обществе;
4. понимание значимости математики как части общечеловеческой культуры для профессиональной деятельности, для общественного прогресса;
5. развитие исследовательских навыков;
6. углубление и расширение математических знаний

Данный курс ориентирован на применение в 9-х классах. Основной вид деятельности учителя – это лекции, семинары, практические занятия, а основными видами деятельности ученика являются: конспектирование, собеседование, решение задач, подготовка рефератов и докладов.

                Курс ориентировано, рассчитан на  17 часов и может быть повторен за один учебный год.

                Первое занятие является вводным. Здесь ученикам рассказывается проблема, лежащая в основе названия спецкурса, делается обзор планируемого содержания спецкурса. Намечаются основные направления в изучении вопроса и формы проведения занятий, сообщается форма отчетности, решаются организованные вопросы.

                Затем следует основной цикл занятий, который условно поделён на четыре раздела:

1. Введение. Необходимые математические сведения (2 часа).
2. Начальные понятия сферической геометрии (4 часа).
3. Использование планиметрии, тригонометрии  в сферической геометрии (4 часа).
4. Применение сферической геометрии в навигации. Картографические проекции (4 часа).

                В разделе «Введение, необходимые математические сведения» рассматриваются вопросы возникновения сферической геометрии при решении задач практического характера, и в первую очередь задач астрономии, где нашла применение сферическая геометрия при решении сугубо земных задач, благодаря каким ученым проходило развитие сферической геометрии.  Рассматриваются вопросы из темы «Шар. Сфера» - 10-11 класс.

                В разделе «Нагольные понятия сферической геометрии» вводятся понятия сфера, простейшие линии на сфере, большие окружности, сферическое расстояние, сферический n – угольник, угол между отрезками на  сфере.

                В разделе «Использование планиметрии, тригонометрии в сферической геометрии» намечен разбор следующих вопросов: какие аксиомы планиметрии будут справедливы в сферической геометрии, и какие следствия из них вытекают; введение тригонометрических соотношений для сферических треугольников (аналог теоремы синусов, теоремы косинусов).

В разделе «Применение геометрии в навигации. Картографические проекции» рассматриваются простейшие задачи навигации: определение кратчайшего маршрута, выбор направления движения, которые актуальны не только для моряков, но и летчиков и космонавтов. Основная задача картографии состоит в возможности более точном изображении поверхности глобуса на плоскости, как преодолеть возникающие при этом трудности, используя теоремы стереографической проекции.

        В последние 2 часа  предполагается проведение занятий систематизации и обобщение полученных знаний и накопленного учащимися материала. Провести такое занятие можно в форме «Школьной математической конференции», где учащиеся будут представлять оформленный материал по предлагаемой каждому занятию тематике рефератов. Сюда входит подготовка доклада по выбранной теме.

        Для диагностики результативности спецкурса учащиеся  тестируются, проводятся самостоятельные работы, собеседования по материалу предыдущего урока.

Учебно-тематический план

Содержание программы

Раздел I. Введение в курс. Необходимые математические сведения.

Тема 1. Необходимые математические сведения. Проблема, лежащая в основе названия курса. Его целевое назначение, обзор содержания и направление познавательной деятельности, формы занятий и отчетности. Необходимые сведения из курса стереометрии 10 – 11 класса «Шар. Сфера».

Тема 2. Сферическая геометрия – историческая справка, области её применения. Понятия сферической геометрии, история ее развития, ее роль и значение в математике, области применения.

Раздел II. Начальные понятия сферической геометрии.

        Тема 3. Аксиомы и теоремы сферической геометрии.

Понятие прямой, расстояния между точками сферы, понятие отрезков, угла и n – угольника на сфере.

        Тема 4. Решение задач. Использование теорем, выражающих свойства сферического расстояния, n – угольника на сфере для решения задач.

Раздел III. Использование в сферической геометрии планиметрии, тригонометрии.

        Тема 5. Соответствие между сферической геометрией и планиметрией.

Справедливость аксиом планиметрии в сферической геометрии. Площади сферических многоугольников. Формула Эйлера.

Тема 6.  Сферическая тригонометрия.

Теорема синусов, теорема  косинусов для сферических треугольников.

Раздел VI. Применение сферической геометрии в навигации. Картографические проекции.

Тема 7. Решение простейших задач навигации.

Задача, а определение кротчайшего маршрута, выбор направления движения. Решение проблемы выбора карт.

Тема 8. Теоремы картографии и стереографической проекции. Теорема о возможности более точном изображении поверхности глобуса на плоскости. Свойства стереографической проекции (Круговое свойство и свойства конформности). Итоговое занятие.

Контрольное тестирование с целью выявления степени усвоения изученного материала. Выступление учащихся с докладами по материалу рефератов. Защита исследовательских проектов.