Углы, связанные с окружностью
презентация к уроку на тему

Слайд 1

Углы, связанные с окружностью Угол с вершиной в центре окружности называется центральным . Угол, вершина которого принадлежит окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным . Каждый центральный уг ол данной окружности определяют дуг у окружности, котор ая состо и т из точек окружности, принадлежащих эт ому угл у .

Слайд 2

Вписанный угол Теорема. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Вписанны й уг ол измеряется половиной дуги окружности. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны.

Слайд 3

Угол между касательной и хордой Теорема. Угол, с вершиной на окружности, одна сторона которого лежит на касательной, а вторая – пересекает окружность, измеряется половиной дуги окружности, лежащей внутри этого угла.

Слайд 4

Угол с вершиной внутри окружности Теорема. Угол , с вершиной внутри окружности, измеряется полусуммой дуг, на которые опираются данный угол и вертикальный с ним угол.

Слайд 5

Угол с вершиной вне окружности Теорема. Угол , с вершиной вн е окружности, стороны которого пересекают окружность, измеряется полу разностью дуг окружности , заключенных внутри этого угла .

Слайд 6

Угол с вершиной вне окружности Теорема. Угол , с вершиной вн е окружности, одна сторона которого лежит на касательной к окружности, а вторая сторона пересекает окружность, измеряется полу разностью дуг окружности , заключенных внутри этого угла .

Слайд 7

Угол с вершиной вне окружности Теорема. Угол , с вершиной вн е окружности, стороны которого лежат на касательных к окружности, измеряется полу разностью дуг окружности , заключенных внутри этого угла .

Слайд 8

Упражнение 1 Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ: 90 о .

Слайд 9

Упражнение 2 Найдите центральный угол AOB , опирающийся на хорду AB , равную радиусу . Ответ: 6 0 о .

Слайд 10

Упражнение 3 Угол ACB вписан в окружность. Градусные величины дуг AC и BC равны 98 о и 48 о соответственно. Найдите угол ACB . Ответ: 107 о .

Слайд 11

Упражнение 4 Ответ: 30 о . Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет окружности.

Слайд 12

Упражнение 5 Ответ: 18 о . Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 10 % окружности.

Слайд 13

Упражнение 6 Вписанный угол на 35  меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Найдите вписанный уг ол . Ответ: 35 о .

Слайд 14

Упражнение 7 Центральный угол на 51 о больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Найдите вписанный уг ол . Ответ: 51 о .

Слайд 15

Упражнение 8 Под каким углом из точки C дуги окружности видна стягивающая ее хорда, если дуга содержит 100 о ? Ответ: 13 0 о .

Слайд 16

Упражнение 9 Под каким углом из точки дуги окружности видна стягивающая ее хорда, если дуга составляет одну треть окружности ? Ответ: 12 0 о .

Слайд 17

Упражнение 1 0 Угол ACB , величиной 50 о , вписан в окружность. Найдите градусную величину дуги ACB . Ответ: 260 о .

Слайд 18

Упражнение 11 Ответ: 5 0 о . Вершины треугольника ABC , вписанного в окружность, делят окружность на части, градусные величины которых равны 100 о , 120 о и 140 о . Найдите наименьший угол треугольника ABC .

Слайд 19

Упражнение 12 Ответ: 45 о . Сторона AB треугольника ABC равна , радиус описанной окружности равен 1. Найдите угол C .

Слайд 20

Упражнение 1 3 Ответ: 30 о . Одна сторона треугольника равна радиусу описанной окружности. Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне.

Слайд 21

Упражнение 14 На рисунке угол ACB равен 30 о , угол AEF равен 40 о . Найдите угол BDF . Ответ: 70 о .

Слайд 22

Упражнение 1 5 Углы ABC и BCD вписаны в окружность и равны 45 о и 30 о соответственно, S – точка пересечения AD и BC . Найдите угол ASC . Ответ: 75 о .

Слайд 23

Упражнение 1 6 Хорда CD пересекает диаметр AB окружности под углом 60 о . Градусная величина дуги AD равна 80 о . Найдите градусную величину дуги BC . Ответ: 4 0 о .

Слайд 24

Упражнение 1 7 На рисунке угол A равен 4 0 о , угол B равен 3 0 о , угол D равен 45 о . Найдите угол EFC . Ответ: 115 о .

Слайд 25

Упражнение 1 8 Стороны угла с вершиной C вне окружности отсекают от окружности дуги A 1 B 1 , A 2 B 2 , градусные величины которых равны 30 о и 1 0 0 о . Найдите угол C . Ответ: 35 о .

Слайд 26

Упражнение 1 9 Углы ABC и BCD вписаны в окружность и равны 20 о и 5 0 о соответственно, S – точка пересечения прямых AB и CD . Найдите угол ASC . Ответ: 30 о .

Слайд 27

Упражнение 20 Стороны угла с вершиной C вне окружности отсекают от окружности дуги AB 1 , AB 2 , градусные величины которых равны 6 0 о и 1 4 0 о соответственно, CA – касательная. Найдите угол C . Ответ: 40 о .

Слайд 28

Упражнение 21 Через концы дуги в 60 о проведены касательные , пересекающиеся в точке C . Найдите угол ACB . Ответ: 120 о .

Слайд 29

Упражнение 2 2 Хорда АВ стягивает дугу окружности в 44 о . Найдите углы, которые образует эта хорда с касательными к окружности, проведенными через ее концы. Ответ: 22 о .

Слайд 30

Упражнение 2 3 Две равные окружности расположены таким образом, что каждая из них проходит через центр другой. Найдите уг ол , под которым видна их общая хорда AB из центра O 1 одной из окружностей. Ответ: 12 0 о .

Слайд 31

Упражнение 2 4 Острый вписанный угол опирается на хорду, которая делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 4 : 5. Найдите этот угол. Ответ: 80 о .

Слайд 32

Упражнение 2 5 Ответ: 90 о . Точки А , В , С , расположенные на окружности c с центром в точке O , делят эту окружность на три дуги, градусные величины которых относятся как 3 : 4 : 5 . Найдите уг ол AOB .

Слайд 33

Упражнение 2 6 Ответ: 105 о . Точки А , В , С , расположенные на окружности, делят эту окружность на три дуги, градусные величины которых относятся как 2 : 3 : 7. Найдите больший уг ол треугольника АВС .

Слайд 34

Упражнение 2 7 Окружность разделена точками A , B , C , D на четыре части, градусные величины которых относятся как 3:7:5:3. Найдите меньший уг ол четырех угольника ABCD . Ответ: 60 о .

Слайд 35

Упражнение 2 8 В четырехугольнике ABCD , вписанном в окружность, угол A равен 75 о , угол B равен 90 о . Найдите разность двух других углов. Ответ: 15 о .

Слайд 36

Упражнение 2 9 Углы A и C вписанного в окружность пятиугольника ABCDE равны 120 о и 100 о соответственно. Найдите угол DBE . Ответ: 40 о .

Слайд 37

Упражнение 30 На рисунке угол A равен 12 0 о , угол C равен 11 0 о . Найдите угол E . Ответ: 130 о .

Слайд 38

Упражнение 31 Хорда CD перпендикулярна радиусу OB окружности и пересекает его в середине E . Найдите градусную величину дуги BC . Ответ: 6 0 о .

Слайд 39

Упражнение 3 2 Окружность разделена точками A , B , C , D на четыре части, градусные величины которых относятся как 3:7:5:3. Найдите угол между диагоналями AC и BD четырех угольника ABCD . Ответ: 8 0 о .

Слайд 40

Упражнение 3 3 Окружность разделена точками A , B , C , D на четыре части, градусные величины которых относятся как 1 : 2 : 3 : 4 . Найдите угол между прямыми AD и BC . Ответ: 36 о .

Слайд 41

Упражнение 34 Из точки вне окружности проведены к ней две касательные. Кратчайшее расстояние от этой точки до окружности равно радиусу окружности. Найдите угол между касательными. Ответ: 6 0 о .

Слайд 42

Упражнение 35 В угол АС B вписана окружность. Точки касания делят окружность на дуги, градусные величины которых относятся как 3 : 2 . Найдите величину угла А CB . Ответ: 36 о .

Слайд 43

Упражнение 36 В угол АС B , величиной 5 0 о , вписана окружность. Точки касания делят окружность на две дуги. Найдите градусную величину наибольшей дуги окружности, заключенной внутри угла ACB . Ответ: 230 о .

Слайд 44

Упражнение 37 В угол АС B , величиной 45 о , вписана окружность. Точки касания делят окружность на две дуги. Найдите число, выражающее отношение градусных величин меньшей и большей дуг окружности, заключенных внутри угла ACB . Ответ: 3:5 .

Слайд 45

Упражнение 38 Окружность разделена точками А , В , С на дуги, градусные величины которых относятся как 11 : 3 : 4. Через точки А , В , С проведены касательные до их взаимного пересечения. Найдите наибольший уг ол образовавшегося треугольника DEF . Ответ: 80 о .

Слайд 46

Упражнение 39 Треугольник ABC вписан в окружность. Угол A равен 40 о , угол B равен 60 о . Найдите угол между касательной к окружности, проведенной через вершину C и прямой AB . Ответ: 2 0 о .

Слайд 47

Упражнение 40 Треугольник ABC вписан в окружность. Угол A равен 40 о , угол B равен 60 о . Найдите угол между касательными к окружности, проведенной через вершины A и B . Ответ: 2 0 о .

Слайд 48

Упражнение 41 Стороны четырехугольника ABCD касаются окружности в точках , делящих эту окружность на четыре части, градусные величины которых относятся как 8:7 : 11 : 10 . Найдите наименьший угол четырехугольника ABCD . Ответ: 7 0 о .

Слайд 49

Упражнение 4 2 Две окружности касаются внешним образом в точке C , AB – их общая внешняя касательная, A и B – точки касания. Найдите угол ACB . Ответ: 90 о .