Изучаемое понятие: решение задач с составлением математической модели данной ситуации.
методическая разработка на тему

Цели изучения

Содержание работы

Методика работы (общая характеристика)

Конкретные примеры заданий

5-6 классы

 Систематическое

развитие понятия числа, выработка умений выполнять устно и письменно арифметические

действия над числами, переводить практические задачи на язык математики, подготовка

учащихся к изучению систематических курсов алгебры и геометрии.

Курс строится на индуктивной основе с привлечением элементов дедуктивных

рассуждений. Теоретический материал курса излагается на наглядно-интуитивном уровне,

математические методы и законы формулируются в виде правил.

В ходе изучения курса учащиеся развивают навыки вычислений с натуральными

числами, овладевают навыками действий с обыкновенными и десятичными дробями,

получают начальные представления об использовании букв для записи выражений и

свойств арифметических действий, составлении уравнений, продолжают знакомство с

геометрическими понятиями, приобретают навыки построения геометрических фигур и

измерения геометрических величин.

 Математический язык, математическое предложение, перевод математической записи на обычный язык, чтение выражения.

Математическая модель, составление математической модели данной ситуации. Наличие умений составлять задачи по математической модели; решать задачи с использованием математической модели; давать оценку информации, фактам, процессам, определять их актуальность; составить набор карточек с заданиями.

  Работа с раздаточным материалом.

 1) Разработка принципа систематичности и последовательности в

обучении математике с позиций психологической теории деятельности,

предложенная нами, позволяет выстроить систему знаний того или иного

раздела курса на основе такого системообразующего фактора как предметная

деятельность учащихся;

 2)Методологическая схема изучения числовой линии курса математики

5-6 классов способствует результативному применению

метода учебных задач в процессе обучения на этапе введения новых знаний.

Решение задачи, выделяя три этапа математического моделирования.                                                                                  595. На одной автостоянке было в 4 раза меньше машин, чем на другой. Когда со второй стоянки на первую перевели 12 автомобилей, машин на стоянках стало поровну. Сколько машин было на каждой стоянке первоначально?

1. Составление математической модели.  На этом этапе переводим текст задачи с обыденного языка на математический язык. В результате получаем математическую модель ситуации, описанной в условии задачи.

Пусть на первой автостоянке стояло x автомобилей. Тогда на второй 4х автомобилей. После перевода со второй стоянки на первую 12 автомобилей, на первой стало х + 12, а на второй 4х – 12 автомобилей. Зная, что машин на стоянках стало поровну, составим уравнение:

4х – 12 = х + 12

2. Работа с математической моделью. На этом этапе надо решить составленное уравнение.

Решение:

4х – 12 = х + 12

3х = 24

х = 8

3. Ответ на вопрос задачи.

На первой стоянке было 8 автомобилей, а на второй 32.

Ответ: 8 автомобилей, 32 автомобиля.

7-9 классы

Цельюизучения курса алгебры в 7 - 9 классах является развитие вычислительных умений до уровня, позволяющего уверенно использовать их при решении задач математики и смежных предметов, усвоение аппарата уравнений и неравенств как основного средства математического моделирования задач, осуществление функциональной подготовки школьников. Курс характеризуется повышением теоретического уровня обучения, постепенным усилием роли теоретических обобщений и дедуктивных заключений. Прикладная направленность раскрывает возможность изучать и решать практические задачи.

 Математический язык. Математическая модель.

Числовые и алгебраические выражения. Переменная. Допустимое значение переменной. Недопустимое значение переменной. Первые представления о математическом языке и о математической модели. Линейные уравнения с одной переменной.

Линейные и квадратные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Рациональные уравнения, математическая модель реальной ситуации, решение задач на составление уравнений. Свободное решение задач на числа, выделяя основные этапы моделирования. Использование для решения познавательных задач справочной литературы.

Работа с конспектом, с книгой и наглядными пособиями по группам.

 Методы обучения: методы организации и осуществления учебно-познавательной деятельности: словесный (диалог, рассказ и др.); наглядный (опорные схемы, презентации и др.); практический (упражнения, практические работы, решение задач, моделирование и др.); исследовательский; метод стимулирования и мотивации: интереса к учению, долга и ответственности в учении; метод контроля и самоконтроля в обучении: фронтальная устная проверка, индивидуальный устный опрос, письменный контроль и др.

 Решение задачи, выделяя три этапа математического моделирования.

Пример 1. Перегон в 60 км поезд должен был проехать с постоянной скоростью за определенное расписанием время. Простояв у семафора перед перегоном 5 мин, машинист вынужден был увеличить скорость прохождения перегона на 10 км/ч, чтобы наверстать к окончанию прохождения перегона потерянные 5 мин. С какой скоростью поезд должен был пройти перегон по расписанию? 
Решение. 
Первый этап. Составление математической модели (Перевод задачи с естественного языка на язык математических  терминов).                                               Пусть х км/ч — скорость поезда по расписанию. Так как протяженность перегона равна 60 км, то время, отведенное расписанием на прохождение перегона, составляет  ч. 

Фактически поезд прошел перегон в 60 км со скоростью (х + 10) км/ч, значит, время, затраченное на прохождение перегона, равно  ч. 
Из двух величин — ч и  ч первая больше второй на 5 мин, т. е. на  ч. Значит, мы приходим к уравнению 

Математическая модель задачи составлена. Это — рациональное уравнение. 

Второй этап. Работа с составленной моделью. 
Имеем 

Преобразуем левую часть уравнения 

Приравняв числитель этой дроби нулю, получим квадратное уравнение - х2 - 10х + 7200 = 0 или, переходя к более удобной записи, х2 + 10х - 7200 = 0. 
Применяя известную формулу, находим 

Оба значения удовлетворяют условию , следовательно, эти значения — корни составленного рационального уравнения. 
Третий этап. Ответ на вопрос задачи. (перевод полученного результата на язык, на котором была сформулирована задача).
Спрашивается, с какой скоростью поезд должен был пройти перегон по расписанию? Именно эту величину мы обозначили. Значение нас явно не устраивает, поскольку скорость движения поезда не может выражаться отрицательным числом. Значит, выбираем значение х = 80, это и есть ответ на вопрос задачи.

О т в е т: 80 км/ч. 

10-11 классы

формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;

 развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, а также последующего обучения в высшей школе;

 овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;

 воспитание средствами математики культуры личности, понимания значимости математики для научно-технического прогресса, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей.

− решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, простейшие иррациональные и тригонометрические уравнения, их системы;

 составлять уравнения и неравенства по условию задачи;

 использовать для приближенного решения уравнений и неравенств графический метод;

 изображать на координатной плоскости множества решений простейших уравнений и их систем;

 использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

 построения и исследования простейших математических моделей.

 Планируется использование элементов следующих педагогических технологий в преподавании предмета:

технологии полного усвоения;

технологии обучения на основе решения задач;

технологии обучения на основе схематичных и знаковых моделей;

технологии проблемного обучения;

проектно - исследовательские технологии

 Большинство жизненных задач решаются как алгебраические уравнения: приведением их к самому простому виду, т.е. к составлению единой математической модели. Метод введения новой переменной позволяет при решении тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений и неравенств перейти к составлению единой, более простой модели: квадратному уравнению или неравенству.

Пример 1.  Решить уравнение4х + 2х+1 – 24 = 0.

Решение.

1. Первый этап. Составление математической модели.

     Заметив, что 4х = (22)х = 22х  = (2х)2, а 2х+1 = 2·2х, перепишем заданное уравнение в виде (2х)2 + 2·2х – 24 = 0.

      Есть смысл ввести новую переменную: у = 2х; тогда уравнение примет вид   у2 + 2у – 24 = 0. Математическая модель составлена. Это – квадратное уравнение.                            2. Второй этап. Работа с составленной моделью.                                                                                                                                                                                                                                                             Решив квадратное уравнение у2 + 2у – 24 = 0 относительно у, находим: у1 = 4, у2 = -6.

3. Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Так как у = 2х, Значит, нам остается решить два уравнения: 2х = 4; 2х = -6.

Из первого уравнения находим: х = 2; второе уравнение не имеет корней, поскольку при любых значениях х выполняется неравенство 2х > 0.

Ответ: 2.

Пример 2. Задача на нахождение наибольших и наименьших значений величин.

                                                                                                               Бак, имеющий вид прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, должен вмещать 500 литров воды. При какой стороне основания площадь поверхности бака (без крышки) будет наименьшей?

Решение. Первый этап. Составление математической модели.

1)    Оптимизируемая величина (О. В.) — площадь поверхности бака, поскольку в задаче требуется выяснить, когда эта площадь будет наименьшей. Обозначим О. В. буквой S.

2)    Площадь поверхности зависит от измерений прямоугольного параллелепипеда. Объявим независимой переменной (Н. П.) сторону квадрата, служащего основанием бака; обозначим ее буквой х. Ясно, что х > 0. Других ограничений нет, значит, 0 < х < +оо. Таковы реальные границы изменения независимой переменной: X = (0; Н-оо).

3)    Если бак вмещает 500 л воды, то объем V бака равен 500 дм3. Если h – высота бака, то V = x2h, откуда находим h= Поверхность бака состоит из квадрата со стороной х и четырех прямоугольников со сторонами х и  . Значит,

S = х2 + 4 •  · x= х2+ .

Итак,  S = X2 + ,  где х € (0; +) (мы учли, что V = 500)

Математическая модель задачи составлена.

Второй этап. Работа с составленной моделью.

На этом этапе для функции S = х2 + ,  где х € (0; +)

 надо найти у/наим. Для этого нужна производная функции:

S' = 2х -  ;

S' =.

На промежутке (0; +оо) критических точек нет, а стационарная точка только одна: S' = 0 при х = 10.

Заметим, что при х< 10 выполняется неравенство S' < 0, а при х > 10 выполняется неравенство S' > 0. Значит, х = 10 — единственная стационарная точка, причем точка минимума функции на заданном промежутке, а потому, согласно теореме из пункта 1, в этой точке функция достигает своего наименьшего значения.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

В задаче спрашивается, какой должна быть сторона основания, чтобы бак имел наименьшую поверхность. Мы выяснили, что сторона квадрата, служащего основанием такого бака, равна 10 дм.

Ответ: 10 дм.