Решения 2015
олимпиадные задания на тему

Школьный этап 2015-2016 уч. год

10 класс

(3 часа или 4 урока)

1. Придумайте квадратный трехчлен, который имеет отрицательный коэффициент, но при всех x больше трехчлена . Ответ обосновать.

Ответ. Например, .

Решение. Подбор можно осуществлять, введя один параметр: . Например, с=3.

Критерии: Только верный пример – 3 балла.

Верный пример с обоснованием – 7 баллов.

2. Если каждый мальчик купит тетрадь, а каждая девочка – блокнот, то они потратят вместе на один рубль меньше, чем, если бы каждый мальчик купил блокнот, а каждая девочка – тетрадь. Известно, что тетрадь и блокнот стоят целое число рублей, и что мальчиков больше, чем девочек. Что дороже: тетрадь или блокнот, и на сколько?

Ответ. Тетрадь дешевле блокнота на 1 рубль.

Решение. Пусть m и n – соответственно количество мальчиков и девочек, а x и y – соответственно цена тетради и блокнота. Тогда, по условию, . Но произведение натурального числа на целое равно 1, только если оба множителя равны 1. Отсюда следует ответ.

Критерии: Только ответ без обоснования – 1 балл.

Полное решение – 7 баллов.

3. Сколько существует трёхзначных чисел, в которых отношение каждой следующей цифры к предыдущей (считая слева направо) является целым числом?

Ответ: 67.

Решение. Если первая цифра больше 4, то вторая может быть только той же самой, а третья – той же самой или нулём. Всего 10 вариантов.

Если первая цифра 4, то вторая – 4 или 8. Если вторая 4, то третья – 4, 8 или 0, а если вторая 8, то третья – 8 или 0. Всего 5 вариантов.

Если первая цифра 3, то вторая – 3, 6 или 9. Если вторая 3, то третья – 3, 6, 9 или 0, если вторая 6, то третья – 6 или 0, а если вторая 9, то третья – 9 или 0. Всего 8 вариантов.

Если первая цифра 2, то вторая – 2, 4, 6 или 8. Если вторая 2, то третья – 2, 4, 6, 8 или 0, если вторая 4, то третья – 4, 8 или 0, если вторая 6, то третья – 6 или 0, а если вторая 8, то третья – 8 или 0. Всего 12 вариантов.

Если первая цифра 1, то вторая – любая от 1 до 9. Если вторая 1, то третья – любая из 10 цифр, если вторая 2, то третья – 2, 4, 6, 8, 0, если вторая 3, то третья – 3, 6, 9 или 0, если вторая 4, то третья – 4, 8 или 0, а если вторая больше 4, то третья – такая же или 0. Всего 32 варианта.

Общее число вариантов – 10+5+8+12+32=67.

Примечание. Если отношение является натуральным числом, то вариантов 5+3+5+8+23=44.

Критерии: Только ответ без обоснования – 1 балл.

Найден верный ответ в случае, когда отношение является натуральным числом – 3 балла.

Ответ найден с вычислительной ошибкой, при этом каждый случай разобран и ошибка только в одном из вариантов – 4 балла.

Полное решение – 7 баллов.

4. Две стороны треугольника равны 34 и 32, а медиана, проведенная к третьей, равна 17. Найдите площадь треугольника.

Ответ. 480.

Решение. Пусть данный треугольник ABC, AB=34, BC=32, медиана BM=17. Пусть N — середина AB. Тогда MN — средняя линия треугольника ABC, поэтому MN=16. Кроме того BN=AB/2=17. Значит, треугольник MNB равнобедренный. Его высота, опущенная на основание MN, находится по теореме Пифагора: . Значит, площадь треугольника MNB равна 16⋅15/2=120. Осталось заметить, что площадь треугольника ABC в четыре раза больше, т.е. 480.

Замечание 1. Площадь  MNB можно вычислить по формуле Герона.

Замечание 2. Можно удвоить  ABC и искать площадь треугольника со сторонами 34, 34, 32.

Критерии: Только ответ без обоснования – 1 балл.

Сделано верное дополнительное построение – 2 балла.

Найдена высота вспомогательного треугольника – 3 балла.

Полное решение – 7 баллов.

5. Про функцию f: R→R известно, что f(5)≠0, а также, что для любых x и y

f(x)⋅f(y)=f(x−y).

Найдите все возможные значения f(2015).

Ответ. 1.

Решение. Подставив в уравнение x=5, y=0, получаем, что

f(0)=1.

Подставив y=x, получаем, что

f 2 (x)=1.

Отсюда f(x) для любого x либо 1, либо −1. Взяв теперь y=x/2, видим, что

f(x) f(x/2)=f(x/2).

Так как f(x/2) равно ±1, то на него можно сократить и получить, что функция f тождественно равна 1.

Критерии: Только ответ без обоснования – 1 балл.

Сделано верное дополнительное построение – 2 балла.

Найдена высота вспомогательного треугольника – 3 балла.

Полное решение – 7 баллов.

Школьный этап 2015-2016 уч. год

5 класс

(1,5 часа или 2 урока)

1. У Лешего в подвале стоят соленые грибы: 6 банок рыжиков, 9 банок лисичек, 10 банок опят и 27 банок груздей. Может ли Леший съесть все солёные грибы, если каждый день он хочет съедать по 2 банки грибов, при этом обязательно разных пород? Ответ обоснуйте.

Ответ. Не может.

Решение. Первый способ. Каждую банку груздей Леший съедает вместе с какой-то из 6 + 9 + 10 = 25 банок грибов другого сорта. Значит, он съест не более 25 банок груздей и все соленья съесть не сможет.

Второй способ. Всего банок 6 + 9 + 10 +27 = 52. Если съедать по 2 банки в день, то пройдёт 52:2=26 дней. Но банок с груздями 27, значит, в какой-то день Лешему придётся есть две банки с груздями. Противоречие.

Критерии: Только верный ответ без объяснения –2 балла.

Верный ответ с объяснением –7 баллов.

2. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на четыре равные части по линиям сетки и сложите из них квадрат. В решении укажите, как надо разрезать и как складывать.

Решение.

Критерии: Правильный ответ – 7 баллов.

Если показано только разрезание или только складывание – 4 балла.

3. Мальчик по нечётным числам всегда говорит правду, а по чётным всегда врёт. Как-то в середине сентября его три дня подряд спрашивали: «Какой сегодня день недели?». В первый день он ответил: «Вторник», во второй: «Четверг», в третий: «Суббота». В какой день недели был задан последний вопрос? Объясните, как вы рассуждали.

Ответ: Пятница.

Решение. Если в первый день он сказал правду, то во второй он солгал, а в третий снова сказал правду. Но тогда в третий день должен быть четверг, а он сказал «Суббота» – противоречие. Если он в первый день солгал, то во второй он сказал правду, а в третий солгал. Значит, третий день – пятница. Противоречия нет.

Критерии: Только ответ – 1 балл.

Если рассмотрен только один случай из двух – 3 балла.

Верный ответ с разбором всех случаев –7 баллов.

4. В ящике 31 кг гвоздей. Как с помощью чашечных весов и одной гири в 1 кг за два взвешивания отмерить 7 кг гвоздей?

Решение. При первом взвешивании на одну из чашек весов кладем гирю и все гвозди раскладываем по чашкам так, чтобы установилось равновесие. Получим 16 и 15 кг гвоздей. Кучку с 16 кг откладываем. При втором взвешивании берем 15 кг гвоздей. На одну из чашек весов кладем гирю и все гвозди раскладываем по чашкам так, чтобы установилось равновесие. Получим 8 и 7 кг гвоздей.

Критерии: Верный ответ с описанием алгоритма –7 баллов.

5. Расшифруйте ребус: ABB×AC=2015.

Одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры. Ответ обоснуйте.

Ответ: 155×13 =2015.

Решение. Разложим 2015 на простые множители: 2015=5×13×31. Рассмотрим все случаи двух множителей: 2015=65×31, 2015=155×13, 2015=5×403, 2015=1×2015. Только в одном случае получаются двузначный и трёхзначный множители.

Критерии: Только верный ответ – 2 балла.

Обосновано значение только некоторых букв и верный ответ – 3 балла.

Верный ответ с разбором всех случаев –7 баллов.

Школьный этап 2015-2016 уч. год

6 класс

(1,5 часа или 2 урока)

1. Расставьте скобки в выражении 9 – 8 – 7 – 6 – 5 – 4 – 3– 2 – 1 = 1 так, чтобы получилось верное равенство.

Ответ. Например, скобки можно расставить так: 9 – (8 – 7) – 6 – (5 – 4) – (3– 2 – 1) = 1. Или так (9 – 8) – (7 – 6 – 5) – 4 – (3– 2 – 1) = 1.

Замечание: Имеются и другие решения.

Критерии: Любой верный пример – 7 баллов.

2. Из клетчатого квадрата 5×5 вырезали центральный квадратик. Разрежьте оставшуюся фигуру на 4 равных клетчатых фигуры, которые не являются прямоугольниками. Приведите какой-нибудь один пример разрезания.

Решение.

Первый способ 

Второй способ

Возможны и другие разрезания.

Критерии: Разрезание на прямоугольники – 0 баллов.

Любое правильное разрезание – 7 баллов.

3. Даны три сосуда: первый емкостью 5 л, второй — 11 л, третий — 20 л. Первые два сосуда пустые. Третий заполнен водой. Как с помощью нескольких переливаний налить во второй сосуд ровно 7 л воды? (При переливаниях разрешается наливать в сосуд ровно столько воды, сколько в нём помещается, либо выливать всю воду из одного сосуда в другой, если она в него вся помещается.)

Решение.

Критерии: Любой верный алгоритм – 7 баллов.

4. У весов сдвинута стрелка, то есть они всегда показывают на фиксированное число граммов больше (или меньше) чем истинный вес. Когда на весы положили дыню, весы показали 4 кг. Когда на весы положили арбуз, весы показали 7 кг. Когда взвесили и арбуз, и дыню, весы показали 11,5 кг. Сколько кг покажут весы, если на них поставить гирю в 5 кг?

Ответ. 4,5 кг.

Решение. На сумму 4 + 7 = 11 кг сдвиг стрелки влияет дважды, а на вес 11,5 кг – только один раз. Поэтому сдвиг стрелки равен 11 – 11,5 = –0,5 кг. Следовательно, правильный вес на 0,5 кг больше, чем показывают весы. Значит, если на весы поставить гирю в 5 кг, то они покажут 4,5 кг.

Критерии: Только верный ответ – 1 балл.

Верно (с объяснением) найдена только погрешность весов – 3 балла.

Верно (с объяснением) найден ответ – 7 баллов.

5. В соревнованиях по лыжным гонкам участвовали 4 лыжника: Антилопов, Бобров, Волков и Гепардов. Перед дистанцией один зритель сказал, что первым будет Гепардов, а третьим придет Волков, второй зритель сказал, что Бобров будет последним, а Антилопов – первым, третий зритель предсказал, что Гепардов обгонит Антилопова, а Бобров – Волкова. После забега выяснилось, что не угадал всего лишь один зритель, а два других предсказали верный результат. В каком порядке лыжники пришли к финишу? Ответ обосновать.

Ответ: Гепардов – первый, Бобров – второй, Волков – третий, Антилопов – четвёртый.

Решение. Если ошибся только первый зритель, а второй и третий правы, то Бобров должен быть последним, но при этом обогнать Волкова. Противоречие. Если ошибся только второй зритель, а первый и третий правы, то Гепардов – первый, Бобров – второй, Волков – третий, Антилопов – четвёртый. Если ошибся только третий зритель, а первый и второй правы, то Гепардов – первый и Антилопов – первый. Противоречие.

Критерии: Только верный ответ – 1 балл.

Если в рассуждениях разобраны не все случаи – не более 3 баллов.

Школьный этап 2015-2016 уч. год

7 класс

(2,25 часа или 3 урока)

1. Винни-Пух, Пятачок и Кролик участвовали в беге на 200 м. Когда Кролик прибежал на финиш, Пятачок был позади него на 25 м, также, когда Пятачок финишировал, Винни-Пух был позади него на 40 м. На сколько метров на финише Кролик опередил Винни-Пуха?

Ответ. На 60 метров.

Решение. Скорость Пятачка составляет 7/8 от скорости Кролика, а скорость Винни-Пуха составляет 4/5 от скорости Пятачка, т.е. 7/10 от скорости Кролика. Значит, он пробежал 140 метров, когда Кролик финишировал, то есть отстал на 60 метров.

Критерии: Только верный ответ – 1 балл.

Обоснованный ответ – 7 баллов.

2. В записи 10-значного числа были использованы все 10 цифр. Вместо каждой цифры написали количество соседних цифр, которые меньше неё. Могло ли получиться число 0112111110?

Ответ: Могло.

Решение. Пример: 6789543210. Однозначно определяются две цифры: 9 и 0. Первый шаг: ставим 9. Второй шаг: ставим 0. Выбираем три цифры из восьми, которые будут стоять перед цифрой 9. Порядок определяется однозначно. В примере указано наибольшее возможное число. Нетрудно найти и наименьшее: 1239876540. Всего возможных примеров 56.

Критерии: Только верный ответ, без примера – 0 баллов.

Ответ с любым верным примером – 7 баллов.

3. Дан ребус ГРОМ+ГРОМ+ГРОМ+ГРОМ+ГРОМ=БУРЯ (Разные буквы обозначают разные цифры, одинаковые — одинаковые). Найдите самую большую бурю (то есть самое большое значение числа БУРЯ). Ответ обоснуйте.

Ответ: 1876×5=9380.

Решение. Так как в сумме не появляется новый разряд, то Г не больше 1. С 0 начинаться число не может, значит, Г=1. Так как значение Б должно быть максимально, то рассмотрим случай Б=9. Тогда переход в этот разряд равен 4. При умножении на 5 можно получить 45 или 40, но 9 уже занято. Значит, Р=8. Следующее максимальное значение остаётся для О=7, а для М=6. Проверим, что всё сходится: 1876×5=9380.

Критерии: Только верный ответ – 1 балл.

Обосновано значение только некоторых букв и верный ответ – 3 балла.

4. Из произведения всех натуральных чисел от 98 до 2015 включительно вычеркнули все числа, делящиеся на 5. Какой цифрой будет оканчиваться произведение оставшихся чисел?

Ответ. 8.

Решение. Заметим сначала, что на последнюю цифру произведения влияют только последние цифры сомножителей. Поэтому наше произведение имеет ту же последнюю цифру, что и произведение последних цифр. Рассмотрим произведение 1 2 3 4 6 7 8 9. Оно оканчивается на 6. Такие блоки повторяются и их произведения тоже заканчиваются на 6. Учитываем, что в наши блоки не входят хвосты: 8 9 и 1 2 3 4. Тогда наше произведение оканчивается на ту же цифру, что и произведение 8 9 6 1 2 3 4. Оно оканчивается на 8.

Критерии: Приведён только верный ответ – 1 балл.

При решении найдена закономерность для блока из 8 чисел – 3 балла.

Полное решение – 7 баллов.

5. Из клетчатого квадрата 12×12 вырезали клетчатый квадрат 10×10 так, что получилась рамка из 44 клеток. На какое наибольшее число не равных между собой клетчатых многоугольников её можно разрезать?

Ответ: 10.

Решение. Пример показан на рисунке.

Оценка. Пусть удалось рамку разрезать на не менее чем одиннадцать не равных между собой фигур. Тогда уголков не более четырёх, и они занимают не менее 3+4+5+5=17 клеток. Семь неравных прямоугольников со стороной 1 занимают не менее 1+2+3+4+5+6+7=28 клеток.

Всего занято 17+28=45 клеток, а их 44. Противоречие.

Критерии: Приведён только пример – 3 балла.

Получена только оценка – 3 балла.

Полное решение – 7 баллов.

Школьный этап 2015-2016 уч. год

8 класс

(2,25 часа или 3 урока)

1. Делится ли  на 18?

Ответ. Да.

Решение. .

Первое слагаемое делится на 18, так как есть множитель 18. А второе слагаемое делится на 2, так как есть множитель, делящийся на 2, и на 9, так как есть множитель, делящийся на 9, значит, оно делится на 18. Поэтому вся сумма тоже делится на 18.

Критерии: Только верный ответ без обоснования – 1 балл.

Доказана делимость только на 2 – 2 балла

Доказана делимость только на 9 – 3 балла.

Полное решение – 7 баллов.

2. В семье 4 человека. Если Маше сократят стипендию вдвое, то общий доход всей семьи уменьшится на 15%, если вместо этого маме сократят зарплату вдвое – на 25%, если же вместо этого зарплату сократят вдвое папе – на 35%. На сколько процентов уменьшится доход всей семьи, если дедушке сократят вдвое пенсию?

Ответ. Нет решения.

Решение. Если Маше сократят вдвое стипендию, семейный доход уменьшится на размер этой стипендии. Следовательно, Машина стипендия составляет 15% общего дохода. Аналогично, мамина зарплата составляет 25%, а папина – 35%. Оставшиеся 25% приходятся на дедушкину пенсию. Значит, если ему сократят вдвое пенсию, доход всей семьи уменьшится на 25%.

Критерии: Только верный ответ без обоснования – 1 балл.

Полное решение – 7 баллов.

3. Докажите, что если a+4b=5c и 3b+ 4c=7a , то c+6a=7b.

Решение. Сложив два данных равенства, получим a+7b+4c=5c+7a , откуда

C+6a=7b .

Замечание. Решая систему методом подстановки, получим: a = b = c, откуда также следует доказываемое равенство.

Критерии: Любые частные случаи – 0 баллов.

Полное решение – 7 баллов.

4. Сколько существует различных пятизначных чисел, делящихся на 5?

Ответ: 18000.

Решение. Будем пользоваться правилом умножения. Если число делится на 5, то оно должно оканчиваться на 5 или на 0. Таким образом, на первую позицию мы можем поставить любую цифру от 1 до 9 (0 не может стоять на первой позиции в шестизначном числе, т.е. есть 9 возможностей), на вторую — любую цифру от 0 до 9 (т.е. есть 10 возможностей), на третью — любую цифру от 0 до 9 (т.е. есть 10 возможностей), на четвертую — любую цифру от 0 до 9 (т.е. есть 10 возможностей), на пятую — любую цифру от 0 до 9 (т.е. есть 10 возможностей), на шестую — цифру 0 или цифру 5 (т.е. есть 2 возможности). Значит, всего по правилу произведения число таких чисел равно 9⋅10⋅10⋅10⋅2=18000.

Критерии: Только верный ответ – 1 балл,

Полное решение – 7 баллов.

5. У звезды ACEBD (см. рис.) равны углы при вершинах A и B, а также равны длины отрезков: AC = BE и AD = BD. Докажите, что углы при вершинах E и C равны.

Решение. Проведём отрезок АВ. Тогда треугольник ABD равнобедренный, поэтому угол ABD равен углу DAB. Следовательно, угол ABМ равен углу МAB. Тогда треугольник ABМ равнобедренный. Следовательно, AМ=BМ.

Тогда МЕ=МС, отсюда треугольник МЕС равнобедренный и углы при вершинах E и C равны.

Критерии: Доказано только что АМ=МВ – 3 балла.

Полное решение – 7 баллов.

Школьный этап 2015-2016 уч. год

9 класс

(3 часа или 4 урока)

1. Существует ли натуральное число, у которого произведение его цифр на 2015 меньше суммы его цифр?

Ответ. Да.

Решение. Например: 11…10 (2015 единиц). Или 11…1 (2016 единиц).

Критерии: Только верный ответ без примера – 1 балл.

Верный ответ с любым правильным примером – 7 баллов.

2. Какую наименьшую сумму могут иметь три последовательных натуральных числа, если эта сумма оканчивается на 2015? Укажите эти числа.

Ответ. 12015=4004+4005+4006.

Решение. Пусть n – среднее из данных чисел. Тогда их сумма равна

(n–1)+n+(n+1)=3n, то есть сумма делится на 3. Если число делится на 3, то и сумма его цифр делится на 3. Тогда сумма неизвестных цифр должна давать остаток 1 при делении на 3. Наименьшее значение этой суммы 1, значит, наименьшим числом будет 12015.

Критерии: Указана только верная сумма без обоснования – 1 балл.

Указана верная сумма и все слагаемые без обоснования – 2 балла.

Полное решение – 7 баллов.

3. Дан параллелограмм ABCD. На стороне BC взята точка M так, что BM:MC=1:3. А на стороне CD взята точка N так, что CN:ND=8:1. Диагональ BD пересекает прямые AM и AN в точках P и Q соответственно. Найдите отношение PQ: BD.

Ответ: 7:10.

Решение.

Рассмотрим подобные треугольники APD и BPM. Так как BM:MC=1:3, то коэффициент подобия равен 4.

Отсюда BP= BD.

Теперь рассмотрим подобные треугольники AQB и DQN. Так как CN:ND=8:1, то коэффициент подобия равен 9. Отсюда DQ= BD. Получаем, что PQ= BD –  BD –  BD= BD.

Критерии: Указана только одна пара подобных треугольников – 2 балла.

Указаны две пары подобных треугольников – 3 балла.

Полное решение – 7 баллов.

4. Сравните две дроби  и . Ответ обоснуйте.

Ответ. Вторая дробь больше.

Решение. . Последнее неравенство очевидно.

Критерии: Только верный ответ – 1 балл.

Полное решение – 7 баллов.

5. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белое и черное поля, не лежащие на одной горизонтали или одной вертикали?

Ответ. 32⋅24=768.

Решение. Выберем сначала черное поле, это можно сделать 32 способами (всего 32 белых и 32 черных клетки). На той вертикали, где находится выбранное поле, есть четыре белых и четыре черных клетки, точно также, на той горизонтали, где оно находится, есть четыре белых и четыре черных клетки, следовательно, выбирать белое поле можно уже из 32−4−4=24 клеток. По правилу произведения получаем ответ: 32⋅24=768 способа.

Критерии: Указан только ответ (число или произведение) без обоснования – 2 балла.

Полное решение – 7 баллов.

Школьный этап 2015-2016 уч. год

11 класс

(3 часа или 4 урока)

1. Дана функция f: R→R, удовлетворяющая уравнению: f(x) − f(y) = y – x.

Известно, что f(1)=1. Найдите значение f(2015).

Ответ. –2013.

Решение. Подставив в уравнение x=2015, y=1 получаем линейное уравнение на f(2015): f(2015) − 1=1 − 2015. Отсюда f(2015)=−2014+1=−2013.

Критерии: Только верный ответ без пояснений – 1 балл.

Верный ответ с обоснованием – 7 баллов.

2. На столе белой стороной кверху лежали 100 карточек, у каждой из которых одна сторона белая, а другая черная. Миша перевернул 48 карточек, затем Ваня перевернул 69 карточек, а после этого Петя – 71 карточек. Оказалось, что в результате все 100 карточек лежат черной стороной вверх. Сколько карточек было перевернуто трижды?

Ответ. 44.

Решение. Так как все карточки в итоге оказались перевернуты, то каждую из них переворачивали либо 1 раз, либо 3 раза. Всего было сделано 188 переворачиваний: 100 из них потребовалось, чтобы перевернуть каждую карточку 1 раз; остальные 88 – чтобы какие-то карточки перевернуть ещё по 2 раза. Значит, по 3 раза перевернули 44 карточек.

Критерии: Только верный ответ без пояснений – 1 балл.

Верный ответ с обоснованием – 7 баллов.

3. Шесть девушек водят хоровод. Сколькими различными способами они могут встать в круг? Ответ обоснуйте.

Ответ. 120.

Решение. Наденем на одну из девушек красную шапочку, чтобы отличать ее от остальных. Затем пронумеруем всех девушек, следующих за ней, против часовой стрелки — ту, которая по правую руку от Красной Шапочки, назовем первой, следующую — второй, и т.д. Тогда в качестве первой девушки может быть любая из пяти (ею могут быть все, кроме самой Красной Шапочки), на втором месте может быть любая из четырех оставшихся, и т.д. В итоге получаем 5!=120.

Критерии: Только верный ответ без пояснений – 1 балл.

Верный ответ с обоснованием – 7 баллов.

4. Вся семья выпила по одинаковой чашке кофе с молоком, причем Оля выпила 1/7 налитого по всем чашкам молока и 1/9 часть налитого кофе. Сколько человек в семье?

Ответ. 8.

Решение. Обозначим весь объём выпитого молока за х, а весь объём выпитого кофе за у. Пусть в семье n человек. Тогда вычислим объём одной чашки двумя способами и получим уравнение. . Так как объёмы есть величины положительные, то обе скобки одного знака, то есть .

Критерии: Только верный ответ без пояснений – 1 балл.

Правильно составлено уравнение – 3 балла.

Верный ответ с обоснованием – 7 баллов.

5. В треугольнике две высоты равны 12 и 20. Найдите максимальное возможное целое значение длины третьей высоты.

Ответ. 29.

Решение. Обозначив через S площадь треугольника, через , и  – высоты треугольника, опирающиеся на соответствующие стороны a, b и c, получим: , откуда, выразив стороны треугольника, мы можем записать неравенство треугольника: .

Сократив, получим. Значит, максимальное возможное целое значение высоты — 29. Пример легко получить, если взять треугольник со сторонами, обратными числам 12, 20 и 29, а затем сделать подобие с нужным коэффициентом.

Критерии: Только верный ответ без пояснений – 1 балл.

Верно получена только оценка – 3 балла.

Верно получен только пример – 3 балла.

Верный ответ с обоснованием – 7 баллов.