Готовимся к ЕГЭ-2015 по математике. Решение второй части ЕГЭ-2014 (основная волна)
презентация урока для интерактивной доски по алгебре (11 класс) на тему

Слайд 1

Готовимся к ЕГЭ-2015 по математике. ЕГЭ- 2014. основная волна 5.06.2014 вариант 1 часть С Учитель математики МБОУ СОШ № 143 г. Красноярска Князькина Т. В.

Слайд 2

С1 а) Решите уравнение б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение. а) Преобразуем исходное уравнение: б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа: Ответ: а) б)

Слайд 3

С2: В треугольной пирамиде MABC основанием является правильный треугольник ABC, ребро MB перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а ребро MB равно 6. На ребре AC находится точка D , на ребре AB точка E , а на ребре AM — точка L . Известно, что AD = AL = 2, и BE = 1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E , D и L . Решение. Рассмотрим треугольники AMB и AMC: они прямоугольные, имеют общую сторону MB и равные стороны AB и BC , следовательно, эти треугольники равны по двум катетам, значит, AM=MC=6. Рассмотрим треугольник AMC воспользовавшись теоремой косинусов найдём косинус угла CAM: Из треугольника ADL найдем сторону LD: Рассмотрим прямоугольный треугольник AMB . Найдем косинус угла MAB: Из треугольника ALE найдем сторону LE:

Слайд 4

В треугольнике ADE AE=ED , следовательно, он равнобедренный, углы при основании равны. Угол CAB равен 60º, значит ∟ ADE=∟AED=60º . Следовательно, ∆ ADE- равносторонний, AD=AE=DE=2 . Опустим высоту EH в равнобедренном треугольнике LDE на основание LD. Найдем EH: Треугольник DLE – искомое сечение, найдем его площадь: Ответ: Примечание. Площадь треугольника можно было найти по формуле Герона:

Слайд 5

С3 Решите систему неравенств: Решение. Решим первое неравенство системы. Пусть тогда имеем: откуда Решение первого неравенства Решим второе неравенство методом интервалов. Поскольку корнями уравнения являются числа −4 и 1, левая часть неравенства обращается в нуль в точках −4, 0 и 1. Учитывая, что

Слайд 6

определим знаки левой части на ОДЗ (см. рис.): Тем самым, ответ ко второму неравенству системы Пересекая решения обоих неравенств, получаем ответ: Ответ: С4 В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH из точки H, на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно. а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC. б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC , если BH = 2, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 4.

Слайд 7

Решение. а) Пусть угол Углы BAC и KHB равны, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим четырёхугольник BKHM, следовательно, четырёхугольник BKHM вписан в окружность. Значит, углы KHB и KBM — вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу, следовательно, они равны. Таким образом, Треугольники ABC и MBK имеют общий угол B и значит, эти треугольники подобны по двум углам.

Слайд 8

б) Из прямоугольного треугольника BKH находим, что Для треугольника АВС справедливо равенство Учитывая, что , получаем: Стороны ВС и ВК- сходственные в подобных треугольниках АВС и МВК, следовательно, их коэффициент подобия Найдем отношение площади треугольника МВК к площади четырехугольника АКМС: Ответ: С5 Найдите все значения параметра a , при которых уравнение имеет ровно два решения. Решение. Пусть тогда исходное уравнение принимает вид:

Слайд 9

Откуда Значит, решение исходного уравнения – это решение уравнений или Исследуем сколько решений имеет уравнение в зависимости от a и b. Заметим, что слева стоит сумма модулей, то есть при решений нет. Запишем уравнение в виде Левая часть этого уравнения- график модуля с вершиной в точке (-2; 0), график правой части – график модуля, отраженный относительно оси Ox , с вершиной в Точке ( a;b ). Это уравнение будет иметь два решения, если одновременно прямая лежит правее прямой и прямая лежит левее прямой Это достигается условиями и Таким образом, уравнение совокупности имеет два решения при условии

Слайд 10

Если вершина ( a,b ) находится внутри части плоскости отсекаемой графиком y=|x+2|, то уравнение имеет два решения , если прямые y=-x-2 и y=- x+a+b совпадают или прямые y=x+2 и y=x- a+b совпадают , то уравнение имеет бесконечно много решений , если вершина ( a,b ) совпадает с точкой (−2; 0), то уравнение имеет одно решение. Таким образом , исходное уравнение имеет ровно два решения , если одно из уравнений совокупности имеет два решения , а второе не имеет решений , либо если каждое из уравнений совокупности имеет два решения , но эти решения совпадают. Разберём каждый из этих случаев. Первый случай . При a+b >-2 или b-a<-2 , или b<0 уравнение совокупности решений не имеет. Таким образом исходное уравнение имеет два решения , если первое уравнение имеет два решения , а второе — не имеет, либо наоборот . В случае , когда первое уравнение верно система условий имеет вид:

Слайд 11

В случае, когда второе уравнение верно система условий имеет вид: Второй случай. Решения совпадут, если совпадут уравнения, то есть. Если 3a=5-3a , откуда a=5/6 . При данном значении a оба уравнения принимают вид: То есть уравнение имеет только одно решение при а равном 5/6. Таким образом, уравнение имеет ровно два решения при значениях а: Ответ:

Слайд 12

С6 На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона . Каждый посетитель голосует за одного футболиста . На сайте отображается рейтинг каждого футболиста – доля голосов , отданных за него, в процентах , округленная до целого числа. Например , числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляются до 9, 11 и 13 соответственно . а) Всего проголосовало 11 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 38? б) Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трех футболистов . Могло ли быть так, что все три футболиста получили разное число голосов , но их рейтинги одинаковы ? в) На сайте отображалось , что рейтинг некоторого футболиста равен 5. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста . При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов , включая Васин голос, такое возможно ? Решение . а) Пусть — число посетителей , проголосовавших за футболиста . Заметим , что рейтинг футболиста будет равен 38, если доля голосов , отданных за него, лежит в пределах от 37,5% до 38,5%. Таким образом , получаем двойное неравенство :

Слайд 13

Число k -целое, следовательно, оно не может лежать в полученном интервале. б ) Пусть число проголосовавших равно 999. И з них за первого футболиста-332 человека, за второго-333, за третьег334. Тогда рейтинги каждого из них равны 33%. в ) Пусть k- число голосов, отданных за футболиста, включая Васин голос, n- общее число голосов. Заметим, что после того как Вася о тдал свой голос за данного футболиста, доля голосов, отданных за этого футболиста увеличилась, а рейтинг нет, получаем: Представляя в виде системы двух неравенств получим: Так как n- целое число, то n≥96 . Учитывая, что должны выполняться все неравенства системы, получим:

Слайд 14

Так как k -целое, то k ≥6. Тогда из неравенства 200 k<11n получаем: Следовательно, n≥110 . Значит, минимальное число проголосовавших при условиях, данных в Задаче равно 110. Ответ: 110.