Рабочая программа элективного курса 11 класс
рабочая программа (11 класс) на тему

Рабочая программа

элективного курса «Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения»

Основное общее образование.

(для 11  класса)

Составитель: Гридасова Татьяна Викторовна - учитель математики первой квалификационной категории

(разработано на основе адаптированной программы элективного курса «Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения», авторы Э.П.Журавлева, С.В.Уколова, Губкин, 2012)

Срок реализации – 1 год

Год составления  программы – 2014

1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

          Неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни математическая статистика, ни экономика. Так или иначе, но неравенства встречаются как в классических разделах математики (в геометрии, в дифференциальном и интегральном исчислении, в теории чисел).

 Предлагаемый элективный курс «Замечательные неравенства: способы получения и примеры получения» ориентирован на обучающихся старших классов общеобразовательных учреждений, реализующих профильную подготовку.

Данная рабочая программа составлена на основе адаптированной программы элективного курса «Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения» авторы Э.П.Журавлева, С.В. Уколова, Губкин, 2012

        УМК элективного курса «Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения»,  состоит:

- Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения.10-11 кл.: учебное пособие / С.А. Гомонов. – М.: Дрофа, 2006. (Элективный курс)

- Замечательные неравенства: методические рекомендации к элективному курсу С.А. Гомонов «Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения»/ С.А. Гомонов. – М.: Дрофа, 2007. (Элективный курс).

Сроки реализации Рабочей программы: 1 год.

Структура Рабочей программы:

Рабочая программа состоит из 8 разделов:

1) пояснительная записка;

2) общая характеристика учебного предмета, курса;

3) описание места учебного предмета, курса в учебном плане;

4) требования к уровню подготовки учащихся;

5) учебно-тематический план;

6) содержание учебного  курса;

7) формы и средства контроля;

8) перечень учебно-методического и материально-технического обеспечения образовательного процесса

2. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА

Целью данного курса является изучение избранных классов неравенств с переменными и научное обоснование методов их получения, а также применение изученного теоретического материала при решении неравенств.

Задачи курса:

- закрепление основ знаний о неравенствах и их свойствах;

- расширение представления о неравенствах;

- формирование умений решать неравенства с переменными;

- повышение общей математической культуры;

- развитие логического мышления обучающихся.

Запланированный данной программой объем знаний,  необходим для овладения обучающимися методами решения некоторых классов задач оптимизационного характера без применения средств дифференциального исчисления, а также для ознакомления с некоторыми идеями такого раздела современной математики, как выпуклый анализ; решения примеров на установление истинности простейших  и более сложных числовых неравенств, встречающихся на ЕГЭ по математике.

Данный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления, использует ряд межпредметных связей, прежде всего с физикой.

3. ОПИСАНИЕ МЕСТА УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА В УЧЕБНОМ ПЛАНЕ

Адаптированная программа рассчитана на 35 недель, в том числе, 1 час выделен на написание итоговой контрольной работы. Но так как  учебный план школы рассчитан на 34 недели, то были уплотнены часы, выделенные на изучение темы «Основные методы установление истинности неравенств с переменными. Частные случаи неравенства Коши, их обоснование и применение».

4. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ

Знать/уметь:

-   определение числового неравенства и его свойства;

-   определение средних величин и их свойства;

-  правильно употреблять математическую терминологию;

- работать с литературными источниками, находить и использовать информацию в бумажных и электронных изданиях;

-  исследовать функцию на выпуклость, вогнутость;

- находить наибольшее и наименьшее значения функции с помощью замечательных неравенств;

- применять неравенства при решении статистических и оптимизационных задач.

5. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

6. СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА

Замечательные неравенства (12 часов)

 Числовые неравенства и их свойства. Понятие положительного и отрицательного действительного числа, число нуль. Основные законы сложения и умножения действительных чисел. Свойства суммы и произведения положительных чисел. Понятие «больше» для действительных чисел, его геометрическая интерпретация и свойства. Понятия «меньше», «не больше» и «не меньше» для действительных чисел и их свойства. Числовые неравенства.

Основные методы установления истинности числовых неравенств. Сравнение двух чисел — значений числовых выражений «по определению», путем сравнения их отношения с единицей, путем сравнения их степеней, путем сравнения их с промежуточными числами (числом), метод введения вспомогательной функции, метод использования «замечательных» неравенств и некоторые другие. Примеры.

Основные методы решения задач на установление истинности неравенств с переменными. Частные случаи неравенства Коши, их обоснование и применения. Краткое введение. О применении неравенств с параметрами и об умении подбирать, сочинять и обосновывать (а то и опровергать) неравенства с параметрами. Банк-хранилище замечательных неравенств наибольшей востребованности. Неравенство-следствие. Равносильные (эквивалентные) неравенства. Равносильные задачи на доказательство (установление) или опровержение неравенств. Методы установления истинности неравенств с переменными: метод «от противного», метод анализа, метод синтеза, метод усиления и ослабления, метод подстановки (метод введения новых переменных), метод использования тождеств, метод введения вспомогательных функций, метод уменьшения или увеличения числа переменных, метод понижения степеней выражений, образующих левую или правую части неравенства, метод интерпретаций или моделей (векторных, тригонометрических, физических). Примеры.

Метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств. Неравенство Коши для произвольного числа переменных. Индукция вообще и в математике в частности. Система аксиом Дж. Пеано. Схема применения принципа (аксиомы) математической индукции. Некоторые модификации метода математической индукции. Примеры. Две теоремы о сравнении соответствующих членов двух последовательностей с помощью сравнения разности или отношения двух соседних членов одной последовательности с разностью или отношением двух членов другой последовательности. Примеры.

Неравенство Коши—Буняковского и его применение к решению задач. Формулируется и обосновывается теорема, устанавливающая соотношение Коши—Буняковского и дающая критерий реализации этого соотношения в варианте равенства. Примеры. Геометрическая интерпретация неравенства Коши—Буняковского. Векторный вариант записи этого неравенства.

Неравенства подсказывают методы их обоснования.

а)  Метод Штурма. Примеры.

б)  Использование симметричности, однородности цикличности левой и правой частей неравенства.

в)  Геометрические неравенства, устанавливающие соотношения между длинами сторон треугольника.

Средние величин и соотношения между ними (22 часа)

Введение. «Средние» в средней школе. Многообразие средних величин.

Средние степенные величины: соотношения между ними и другие источники замечательных неравенств. Средние величины в школьном курсе математики, физики. Многообразие «средних».

а) Средние арифметическое, геометрическое, гармоническое и квадратическое и соотношение между ними в случае двух параметров. Геометрическая интерпретация. Четыре средние линии трапеции.

б)  Среднее арифметико-геометрическое Гаусса и среднее арифметико-гармоническое, их существование и свойства.

в)  Симметрические средние. Теорема Мюрхеда. Круговые неравенства и методы их доказательства.

г)  Среднее арифметическое взвешенное и его свойства. Координаты центра масс конечной системы материальных точек.

д)  Средние степенные и средние взвешенные степенные и их свойства. Примеры. Вывод неравенства Коши—Буняковского с помощью тождества Лагранжа.

Неравенство Чебышева и некоторые его обобщения.

 Введение. Исторический экскурс. П.Л.Чебышев и его научное наследие.

а)  Неравенство Чебышева: простейший вариант и его обобщение, порожденное понятием одномонотонной последовательности. Одномонотонная последовательность как результат обобщения понятия монотонных последовательностей и обнаружения некоторой «симметричности» выражений, составляющих левую и правую части неравенства Чебышева.

б) Неравенства, обобщающие как неравенство Чебышева, так и неравенство Коши—Буняковского.

Генераторы замечательных неравенств.

Перечисляются основные способы получения замечательных неравенств, причем как ранее уже изученные (идет повторение ранее пройденного), так и совершенно новые.

а)  Свойства квадратичной функции — источник простейших неравенств.

б)  Неравенство треугольника.

в)  Свойства одномонотонных последовательностей — источник замечательных неравенств:

1)  Свойства двучленных и трехчленных одномонотонных последовательностей. Примеры. Свертка двух последовательностей.

2)  Свойства одномонотонных последовательностей произвольной длины и их применение. Примеры.

3) Одномонотонность нескольких последовательностей, их свойства и применения. Примеры.

4)  Обобщения. Итоги. Применения изученных понятий и их свойств к получению новых замечательных неравенств. Неравенства, обобщающие одновременно и неравенство Коши—Буняковского, и неравенство Чебышева.

г) Неравенство Иенсона. Введение. Историческая справка. Краткий обзор результатов. Выпуклый анализ — раздел современной математики.

1)  Свойства центра масс конечной системы материальных точек.

2)  Выпуклые фигуры и выпуклые функции. Надграфик и подграфик функции. Неравенство Иенсона и его доказательство. Простейшие примеры применения.

3)  Выпуклость фигур и свойства центра масс конечной системы материальных точек.

4) Исследование функций на выпуклость и вогнутость средствами математического анализа. Неравенство Коши—Гельдера и неравенство Минковского.

Достаточные условия вогнутости и выпуклости функции, заданной на указанном промежутке, в терминах ее производных первого и второго порядка (две основные теоремы разной степени общности и «тонкости»).

Примеры (таблица) функций, чья выпуклость или вогнутость устанавливается вышеуказанными теоремами. Конкретные виды неравенства Иенсона, порожденные функциями из таблицы. Неравенство Коши—Гельдера. Неравенство Минковского и другие примеры.

Замечание. Теоретический материал данной главы достаточно труден для изучения учащимися, поэтому учитель вполне может ограничиться рассмотрением лишь части данного материала, опираясь на наглядность и очевидность соответствующих свойств графиков конкретных функций и записав именно для них неравенство Иенсона с конкретным количеством параметров и конкретными значениями весов. Например, он может это сделать для логарифмической функции с выходом на получение неравенства Коши.

Применение неравенств. Задача Дидоны (упрощенный вариант) и другие задачи на оптимизацию. Поиск наибольшего и наименьшего значений функции с помощью замечательных неравенств.

7. ФОРМЫ И СРЕДСТВА КОНТРОЛЯ

Виды и формы промежуточного, итогового контроля

Основными формами и видами контроля знаний, умений и навыков являются: устный счёт, устный опрос, фронтальный опрос, индивидуальное задание, математический тест, математический диктант, практическая работа.

Преобладающие формы текущего контроля: самостоятельные работы, тестирование. Тематика самостоятельных и тестовых работ охватывает всю программу по алгебре 7 – 9 классов, и их полный набор служит хорошим помощником при контроле и коррекции полученных знаний, навыков и умений учащихся. Самостоятельные работы используются и как карточки для индивидуальной работы, так как содержат не более 2 заданий и не занимают много времени от урока (7-10 минут).

Форма итогового контроля – экзамен в форме итоговой теста в форме ЕГЭ или контрольной работой.

Тестовые, контрольные работы, вопросы для зачета и т.д.

– устный контроль;

– письменный контроль;

– практический контроль;

– тестовый и рейтинговый контроль;

– наблюдение

Для проведения тестов, самостоятельных работ, контрольной работы используется:

1. Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения.10-11 кл.: учебное пособие / С.А. Гомонов. – М.: Дрофа, 2006. (Элективный курс)

        Критерии оценивания достижений обучающихся

Оценивая знания и умения учащихся учитываются их индивидуальные особенности.

1. Содержание и объем материала, подлежащего проверке, определяется программой. При проверке усвоения материала выявляется полнота, прочность усвоения учащимися теории и умения применять ее на практике в знакомых и незнакомых ситуациях.
2. Основные формы проверки знаний и умений учащихся по математике является письменная контрольная работа и устный опрос.

При оценке письменных и устных ответов в первую очередь учитываются показанные учащимися знания и умения. Оценка зависит также от наличия и характера погрешностей, допущенных учащимися.

3.        Среди погрешностей выделяются ошибки и недочеты. Погрешность считается ошибкой, если, она свидетельствует о том, что ученик не овладел основными знаниями, умениями, указанными в программе.

К недочетам относятся погрешности, свидетельствующие о недостаточно полном или недостаточно прочном усвоении основных знаний и умений или об отсутствии знаний, не считающихся в программе основными. Недочетами также считаются: погрешности, которые не привели к искажению смысла полученного учеником задания или способа его выполнения; неаккуратная запись; небрежное выполнение чертежа.

Граница между ошибками и недочетами является в некоторой степени условной. При одних обстоятельствах допущенная учащимися погрешность может рассматриваться как ошибка, в другое время и при других обстоятельствах – как недочет.

4.        Задания для устного и письменного опроса учащихся состоят из теоретических вопросов и задач.

Ответ на теоретический вопрос считается безупречным, если по своему содержанию полностью соответствует вопросу, содержит все необходимые теоретические факты обоснованные выводы, а его изложение и письменная запись математически грамотны и отличаются последовательностью и аккуратностью.

Решение задачи считается безупречным, если правильно выбран способ решения, само решение сопровождается необходимыми объяснениями, верно выполнены нужные вычисления и преобразования, получен верный ответ, последовательно и аккуратно записано решение.

5. Оценка ответа учащегося при устном и письменном опросе проводится по пятибалльной системе, т. е. за ответ выставляется одна из отметок: 1 (плохо), 2 (неудовлетворительно), 3 (удовлетворительно), 4 (хорошо), 5 (отлично).
6. Отметка повышается за оригинальный ответ на вопрос или оригинальное решение задачи, которые свидетельствуют о высоком математическом развитии учащегося; за решение более сложной задачи или ответ на более сложный вопрос, предложенные учащемуся дополнительно после выполнения им заданий.

Критерии ошибок

К грубым ошибкам относятся ошибки, которые обнаруживают незнание учащимися формул, правил, основных свойств, теорем и неумение их применять; незнание приемов решения задач, рассматриваемых в учебниках, а также вычислительные ошибки, если они не являются опиской;

К негрубым ошибкам относятся: потеря корня или сохранение в ответе постороннего корня; отбрасывание без объяснений одного из них и равнозначные им;

К недочетам относятся: нерациональное решение, описки, недостаточность или отсутствие пояснений, обоснований в решениях

Оценка устных ответов учащихся

Ответ оценивается отметкой «5», если ученик:

• полно раскрыл содержание материала в объеме, предусмотренном программой и учебником,
• изложил материал грамотным языком в определенной логической последовательности, точно

используя математическую терминологию и символику;

• правильно выполнил рисунки, чертежи, графики, сопутствующие ответу;
• показал умение иллюстрировать теоретические положения конкретными примерами,применять их в новой ситуации при выполнении практического задания;
• продемонстрировал усвоение ранее изученных сопутствующих вопросов, сформированность и устойчивость используемых при отработке умений и навыков;
• отвечал самостоятельно без наводящих вопросов учителя. Возможны одна – неточностипри освещении второстепенных вопросов или в выкладках, которые ученик легко исправил позамечанию учителя.

Ответ оценивается отметкой «4», если он удовлетворяет в основном требованиям на оценку «5», но при этом имеет один из недостатков:

• в изложении допущены небольшие пробелы, не исказившие математическое содержание ответа;
• допущены один – два недочета при освещении основного содержания ответа, исправленные по замечанию учителя;
• допущены ошибка или более двух недочетов при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, легко исправленные по замечанию учителя.

Отметка «3»ставится в следующих случаях:

• неполно или непоследовательно раскрыто содержание материала, по показано общее понимание вопроса и продемонстрированы умения, достаточные для дальнейшего усвоения программного материала (определенные «Требованиями к математической подготовке учащихся»);
• имелись затруднения или допущены ошибки в определении понятий, использовании математической терминологии, чертежах, выкладках, исправленные после нескольких наводящих вопросов учителя;
• ученик не справился с применением теории в новой ситуации при выполнении практического задания, но выполнил задания обязательного уровня сложности по данной теме;
• при знании теоретического материала выявлена недостаточная сформированность основных умений и навыков.

Отметка «2»ставится в следующих случаях:

• не раскрыто основное содержание учебного материала;
• обнаружено незнание или непонимание учеником большей или наиболее важной части учебного материала;
• допущены ошибки в определении понятий, при использовании математической терминологии, в рисунках, чертежах или графиках, в выкладках, которые не исправлены после нескольких наводящих вопросов учителя.

Оценка письменных работ учащихся

Отметка «5»ставится, если:

• работа выполнена полностью;
• в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок; в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «4»ставится, если:

• работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);
• допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).

Отметка «3»ставится, если:

• допущены более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметка «2»ставится, если:

допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере.

8. ПЕРЕЧЕНЬ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОГО И МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА