Методические указания к РГР "Исследование функциональной зависимости"
учебно-методический материал по теме

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ»

АВИАЦИОННО-ТРАНСПОРТНЫЙ КОЛЛЕДЖ

М А Т Е М А Т И К А

Методические указания для выполнения РГР по теме

Исследование функциональной зависимости

Для специальностей 190701  и  161007

«Организация авиационных перевозок и управление на транспорте»

«Управление движением воздушного транспорта»

Санкт-Петербург

2015

 Пояснительная записка

Данные методические указания составлены на основе примерной программы дисциплины «Математика», утверждённой Министерством РФ для специальностей 190701 «Организация авиационных перевозок и управление на транспорте» и 610007 «Управление движением воздушного транспорта». Согласно программе учащиеся должны ознакомиться с методами дифференциального исчисления. Усвоение этого материала отрабатывается и контролируется выполнением расчётно-графической работы.

  В методические указания включены теоретические сведения, необходимые для выполнения расчётно-графической работы. Даны методические рекомендации для выполнения задания, разобраны примеры решения задач, которые включены в расчётно-графическую работу. Приведено 30 вариантов заданий для расчётно-графической работы по теме «Исследование функциональной зависимости».

Введение.

Методические указания предназначены в помощь курсантам при выполнении РГР по теме «Исследование функциональной зависимости».  Они содержит требования к выполнению РГР, подробные методические указания с необходимыми теоретическими сведениями и разобранный пример. В конце приводятся варианты заданий.

Требования к оформлению РГР

Расчётно-графическую работу следует выполнять на двойных тетрадочных листах в клетку. На первой странице в середине листа:

 На второй станице записать задание своего варианта:

Для функции    . . .  провести полное исследование с построением графика.

Ниже приступить  к выполнению задания.

Работа должна быть выполнена аккуратно,  без помарок, с пояснениями  и сдана в указанный срок.

Последовательность выполнения РГР.

1. Ознакомиться с требованиями к оформлению РГР.
2. Прочитать методические указания, разобрать приведённые примеры.
3. Приступить к исследованию своей функции.

Методические указания

   Исследование функции следует проводить в определённой последовательности, т.е. по следующей схеме:

1.  Найти область определения функции ( ООФ).

2.  Исследовать на чётность (нечётность).

3.  Исследовать на периодичность.

4.   Найти точи пересечения с осями координат.

5.   Найти интервалы, на которых функция сохраняет знак.

6.  Исследовать на наличие асимптот.

7.  Найти  первую производную   ,  её критических точки, исследовать на монотонность и на наличие экстремумов.

8. Найти вторую производную  ,  провести исследование на выпуклость и вогнутость, а также на наличие точек перегиба графика функции.  

9.  Свести результаты исследования в сводную таблицу.

10.  Построить графика.

   Остановимся подробнее на этих пунктах.

1.  Напомним, что если функция задана формулой   = f (, то  ООФ составляют те значения переменной   ,  при которых эта функция имеет смысл. ООФ удобнее записывать в виде объединения  интервалов.
2. Свойства чётности (нечётности) позволяют ограничиться исследованием функции только на неотрицательной полуоси, построить график и  затем   достроить его на левой полуплоскости симметрично оси     для чётной функции  и симметрично началу координат для нечётной функции. Проверку свойства чётности (нечётности) осуществляем непосредственно, опираясь на определение

f (

Пример.

а)  f ( 

 f (f ().

б)  f (  -  , так как

f (.

в)  f (  - общего вида, так как

f (.

3.  Из простейших функций периодическими являются только тригонометрические   (,  ,  ,  ),

поэтому элементарные функции, в которых присутствуют эти функции,  могут быть периодическими, и это надо проверять.

Пример.

    а)  f (  -периодическая функция с периодом   

   f (

б)   f ( – не является периодической, так как

f (.

4. Точки пересечения графика функции с осями координат являются характерными точками графика.  Если     принадлежит  ООФ, то   в точке  f (    график функции пересекает ось   .  Точками пересечения графика функции с осью      будут  корни уравнения   f(.   Если решение уравнения   f(   вызывает  затруднения, то его корни не находят и переходят сразу к  пункту 6.
5. Корни уравнения   f (  делят    ООФ  на интервалы, где функция сохраняет свой знак, который легко установить по знаку значения функции, вычисленной в любой точке конкретного интервала. Если    f (> 0,  то график функции расположен над осью  , в противном случае  -  под осью  . .
6. Элементарные функции непрерывны в своей области определения, поэтому функцию нужно исследовать  в  граничных точках промежутков,  составляющих  ООФ, если эти точки  не входят в неё. В таких точках функция может вести себя по-разному, поэтому проводят исследования на наличие асимптот.

 а) Исследуем сначала на наличие вертикальных асимптот.

Напомним, что прямая    может быть вертикальной асимптотой графика функции   в том случае, если   -  точка разрыва или граничная точка  ООФ.   Для того чтобы прямая    была вертикальной асимптотой, нужно чтобы

 = .

 Если это условие выполняется только для одного из односторонних пределов, то существует соответствующая односторонняя асимптота.  Будем обозначать левостороннюю   асимптоту       а правостороннюю асимптоту      .

 б) Прямая    k  + b  будет являться наклонной асимптотой графика функции = f (x), если одновременно существуют пределы:

 ,     b = .

 Если   , то  асимптота    называется горизонтальной.

При нахождении асимптот может потребоваться знание следующего:

Свойства пределов

 lim c = c,  где c – const;

lim ( u  v ) = lim u  lim v;

lim (uv ) = lim u  lim v,  в частности    lim (c  u) = c lim u;

lim   =     ( lim v   0);

 lim f(()) = f (lim ()).

Величина, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой и наоборот .

  Замечательные пределы:

I.     = 1;

II.   = e            

III.   =  =  ,      = 1;          

IV.    = ,     = 1 .

Правило Лопиталя:      Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных

 =

Для выполнения пунктов 6-7  при дифференцировании  может потребоваться следующее:.

   Правила  дифференцирования

  = 0, c – cost;

  =   ,   = ;

  =   v  +  u  ,   = c   ;

 = ;

  =   .  

Таблица производных

  = ,  = 1,   = ;

  =  ,   = ;

  = ,    = ,  

  = ,   =  - ,   = ,    = -  ;

 = ,   = -  ,   = ,    = -  .  

7.       Исследования по первой производной:

1. Используя правила дифференцирования и таблицу производных,  вычисляем  первую производную   и  предельно её упрощаем.
2. Приравняв нулю первую производную, находим корни уравнения

.

3.  На числовой оси  отмечаем  ООФ  и критические точки первой производной,

 т.е. точки, в которых производная равна нулю или не существует.

4.  Отмечаем  дугами полученные интервалы монотонности,  ставим над ними  «+»  или  «-»  соответственно знаку  .  Стрелками  указываем,  возрастает ( ) или убывает  ( ) функция.
5. Из критических точек первой производной,  принадлежащих ООФ,   выделяем  те, при переходе через которые  меняет свой знак, так как в этих точках  экстремум. Если знак меняется с «+» на «-», то  -    если  меняется с «-»  на «+», то  -  .  Под точками экстремума указываем его  вид.
6. Вычисляем значения функции в точках экстремума.

Замечание. Если в точке экстремума первая производная равна нулю (), то экстремум «круглый»; если же не существует (), то экстремум «острый».  

8.  Исследования по второй производной:

      Найдём вторую производную    . Предельно упрощаем её.    Затем аналогично тому, как это делалось для  первой производной ,  находим  критические  точки второй производной,  наносим  их на числовую ось, указываем знак   и согласно ему направление выпуклости графика функции. Напоминаем, что    если    0 для  точек  интервала, то  функция является  выпуклoй, то есть её график лежит ниже любой её касательной на этом интервале (рис.1). Если же    0, то функция в  этом интервале является вогнутой, то есть её график лежит выше любой её касательной на этом интервале (рис.2).

                                          Рис.1.                                                 Рис. 2.

 Выделите критические точки, принадлежащие ООФ, при переходе через которые   меняет свой знак. Они являются абсциссами точек перегиба графика функции. Находим координаты точек перегиба.

9.Заносим  результаты исследований  в таблицу (она будет приведена  ниже, в примере).

1. Строим график функции, последовательно выполняя следующие действия

а)   наносим характерные точки (экстремума, перегиба, разрыва, пересечения с осями координат и границы  ООФ);

б)   проводим пунктирными линиями асимптоты;

в)  Строим график функции, проводя его через характерные точки с учётом монотонности, асимптотики и направления выпуклости.

Пример.

Провести полное исследование функции      =   с построением графика.

Решение

1.  Функция  определена   =   при     0, то есть при           ООФ: (-; - 1) (-1; 1)  (1; +.
2.  Функция нечётная, так как  

 =  = - ,        (1; +).

3.  Heпериодическая.
4.  График функции пересекает оси только в начале координат:    (0) = 0.
5.  При   (0; 1),    0       0,  а при     (1; + ),    0       0.
6.  Исследуем функцию на наличие

а)  вертикальных асимптот ():

 =  = -

 =  = +

      Прямая       является вертикальной асимптотой нашей функции.

          б)   наклонных асимптот  ( k  + b):                  

k =  =   =  =1,

b =  = =

= =   =  = 0,

      Прямая      является наклонной асимптотой.

7.  Вычислив первую производную  = =  =   = ,    найдём её критические точки:       = 0   при    =   1,7    и        = 0.                                                                                                                                                                                                

  0 при  (0; 1)  (1; , следовательно, функция убывает, а так как     0 при   (; +), то  функция возрастает.

Первая производная при переходе через критическую точку  =   меняет свой знак с «» на «», поэтому в этой точке   функции минимум:

    2,6.

8.  Найдём вторую производную

 =  =  =  =   =  ;     = 0  при   = 0.    

  0 при (0; 1),поэтому график функции обращён выпуклостью вверх,  и выпуклостью вниз при  (1; +),  так как    0. Точек перегиба графика функции нет.

9. Данные исследований сводим в таблицу.

10. График функции  

Построение графика начинаем с проведения осей координат. Затем  проводим асимптоты пунктирными линиями и наносим характерные точки графика функции, которые соединяем плавной линией согласно данным таблицы. Построив график функции на положительной полуоси, распространяем его на левую полуплоскость нечётным образом (симметрично относительно начала координат). Видим, что точка (0; 0) является точкой перегиба графика.

Варианты заданий

Провести полное исследование функций и  построить их графики.

1.  .                                                     16.  .
2.  ().                                  17.  .
3. .                                  18.  .
4. .                                        19.  .
5. .                                                                        20.   .
6. .                                                       21.  .
7. (.                                    22.  .
8. 2/(.                                                        23.  .
9. .                                                       24.  .
10. .                                                                  25.  .
11. (/.                                                        26.  (.
12. .                                                          27.  .
13. ).                                                     28.  .
14. ()/(                          29.  (.
15. .                                                         30.  .