Численные методы: Введение
материал на тему

Введение.

Развитие новых технологий, повсеместное распространение компьютеров привели к широкому использованию математических методов в самых разнообразных сферах деятельности - инженерной, проектной, управленческой и т.д. Для решения многих практических задач разработан математический аппарат, позволяющий не только выбрать нужный метод, алгоритм решения, но и составить представление о сходимости и точности вычислительных процессов.

К настоящему времени в вычислительной практике разработаны и используются мощные программно-математические инструменты, позволяющие существенно упростить и автоматизировать процесс решения. И все же использование компьютеров не снимает всех проблем, которые возникают в ходе подготовки и решения прикладных задач. Процесс решения так или иначе проходит ряд стадий и этапов, реализация которых предполагает хорошее знание методов вычислительной математики и основ математического моделирования.

Неотъемлемой частью процесса решения прикладной задачи является анализ погрешностей. Часть этих погрешностей связана с вычислениями: в простейших случаях - на микрокалькуляторах (МК), в более сложных - на мощных универсальных компьютерах, выполняющих решение задач с помощью специально составляемых программ или готового программного обеспечения. С увеличением скорости производства вычислений и с вовлечением в счетный процесс чисел с большим количеством значащих цифр, как это делается в ЭВМ, потребность в оценке фактической точности результата лишь возрастает. При этом следует правильно рассматривать термин «погрешность», который в данном случае выражает объективно неизбежную ошибку, сопровождающую процесс решения задачи начиная с измерения исходных значений. Ошибка в этом понимании не есть что-то неправильное, она не возникает исключительно в результате промахов вычислителя; от этих ошибок нельзя избавиться только путем усиления внимания к процессу измерений и вычислений. Задача анализа ошибок сводится по существу к отысканию их надежных границ и соблюдению условий, обеспечивающих их минимальное распространение.

Возникновение, накопление и распространение ошибок проходят через все стадии решения прикладной задачи начиная с получения значений исходных данных. В общем случае процесс решения задач с использованием ЭВМ состоит из следующих этапов:

1. моделирование (постановка задачи и построение математической модели);
2. алгоритмизация (выбор метода и разработка алгоритма);
3. программирование (запись алгоритма на языке, понятном ЭВМ);
4. реализация (отладка и исполнение программы на ЭВМ);
5. интерпретация (анализ полученных результатов).

Рассмотрим кратко содержание перечисленных этапов решения прикладной задачи и характер возникающих при этом ошибок.

Постановка практических задач изначально связана не с идеальными, а с реальными объектами: производственными процессами и явлениями природы, физическими закономерностями, экономическими отношениями и т.п. По этой причине решение задачи обычно начинается с описания исходных данных и целей на языке строго определенных математических понятий. Точную формулировку условий и целей решения называют еще математической постановкой задачи. Выделяя наиболее существенные свойства реального объекта, исследователь описывает их с помощью математических соотношений. Этот этап решения связан с математическим моделированием.

Построение математической модели является наиболее сложным и ответственным этапом решения. Если выбранная математическая модель слишком грубо отражает изучаемое явление, то какие бы изощренные методы решения вслед за этим не применялись, найденные значения не будут отвечать условиям реальной задачи и окажутся бесполезными. Математическая модель может иметь вид уравнения, системы уравнений или быть выраженной в форме иных сложных, математических структур или соотношений самой различной природы. Математические модели, в частности, могут быть непрерывными или дискретными, в зависимости от того, какими величинами - непрерывными или дискретными - они описаны.

По той причине, что математическая модель отражает лишь некоторые черты реального объекта или явления, в ряде случаев становятся актуальными вопросы существования и единственности решения в рамках математической модели. Выяснение необходимых и достаточных условий в исходной информации для существования и единственности решения имеет большое практическое значение, так как определяет цикл тех наблюдений, которые должны быть запроектированы для количественной реализации задачи. В числе общетеоретических вопросов можно нажать также вопрос об устойчивости решений по входным условиям задачи (такую устойчивость также называют корректностью решения).

Вслед за построением математической модели исследователь разрабатывает (или, что бывает чаще, подбирает из числа известных) метод решения задачи и составляет алгоритмы. Этап поиска и разработки алгоритма решения задачи в рамках заданной математической модели называют алгоритмизацией. На этом этапе могут использоваться любые подходящие средства представления алгоритмов: словесные описания, формулы, схемы и т.п. Во многих случаях вслед за построением алгоритма выполняют так называемый контрольный просчет - грубую прикидку ожидаемых результатов, которые используются затем для анализа решения.

Особые трудности на этапе разработки алгоритма заключаются в поиске метода решения задачи. Дело в том, что уже для достаточно простых моделей чаще всего не удается получить результат решения в аналитической форме. В таких случаях приходится использовать приближенные математические методы, позволяющие получать удовлетворительные результаты. Основными методами решения подобных задач являются численные методы, при использовании которых результат получается путем вычислений. По этой причине наиболее естественный путь реализации численных методов - это использование ЭВМ.

На следующем этапе, называемом этапом программирования, алгоритм задачи записывается на языке, понятном ЭВМ. В простейших случаях может оказаться, что на этом этапе вовсе не составляется новая программа для ЭВМ, а дело сводится, например, к использованию имеющегося программного обеспечения. После отладки и тестирования программы (если ее все же пришлось создавать) следует этап реализации - исполнение программы на ЭВМ и получение результатов решения. Время, требуемое на прохождение этого этапа, зависит от объема вычислений и быстродействия ЭВМ.

Этап интерпретации - завершающий этап решения задачи, на этом этапе происходит анализ, или интерпретация, результатов. На этом этапе происходит осмысливание полученных результатов, сопоставление их с результатами контрольного просчета, а также с данными, полученными экспериментальным путем. При этом одни результаты могут оказаться приемлемыми, а другие - противоречащими смыслу реальной задачи; такие решения следует отбросить. Высшим критерием пригодности полученных результатов в конечном итоге является практика.

На общую погрешность задачи влияет ряд факторов. Отметим основные из них, возвращаясь к рассмотрению общего хода решения задачи, - от построения математической модели до производства вычислений.

Пусть R - точное значение результата решения некоторой задачи. Из-за несоответствия построенной математической модели реальной ситуации, а также по причине неточности исходных данных вместо R будет получен результат, который обозначим R1. Образовавшаяся таким образом погрешность  уже не может быть устранена в ходе последующих вычислений, это так называемая неустранимая погрешность.

Приступив к решению задачи в рамках математической модели, мы избираем приближенный (например, численный) метод и, еще не приступив к вычислениям, допускаем новую погрешность, приводящую к получению результата R2 (вместо R1). Погрешность  называют погрешностью метода.

Действия над числами вносят дополнительную погрешность. Например, если складывать два числа с одинаковыми погрешностями, то погрешность суммы будет больше погрешности каждого из слагаемых. Это обстоятельство и неизбежность округлений приводит к получению результата R3, отличающегося от R2 на величину вычислительной погрешности .

Полная погрешность , очевидно, получается как сумма всех погрешностей:

При решении конкретных задач те или иные виды погрешностей могут либо отсутствовать совсем, либо влиять на окончательный результат незначительно. Тем не менее для исчерпывающего представления о точности окончательного результата в каждом случае необходим полный анализ погрешностей всех видов.

К числу причин, искажающих окончательный результат, следует отнести также всевозможные промахи, допускаемые иногда в процессе решения: использование не тех исходных данных, использование неверной программы вычислений и т.п. Сюда относятся также ошибки из-за сбоев, возникающих в самом компьютере. Средством борьбы против промахов разного рода служит предварительная, грубая прикидка ожидаемого результата. Учитывая быстродействие ЭВМ, часто используют способ двойных вычислений, а также специально организуемые системы текущего контроля, связанные с существом решаемой задачи.